В этой главе найдена метрика пространства-времени вне и внутри заряженной по поверхности бесконечной проводящей тонкой цилиндрической оболочки конечного радиуса. Найдено электрическое поле и вычислена его энергия. Произведен аналитический расчет емкости цилиндрического и шарового конденсатора, учитывающий взаимодействие зарядов с создаваемым этими зарядами полем. Найдено поле и геометрия пространства-времени вне и внутри шара, равномерно заряженного по объему. Полученные выражения содержат поправки к их классическим аналогам и допускают экспериментальную проверку.

При классическом рассмотрении электромагнитного поля излучения бегущей волны тока, распространявшегося по тонкому криволинейному проводу, не учитывается, что заряды на поверхности провода испытывают силу отрицательного давления со стороны создаваемого ими поля. Представляет интерес учесть это взаимодействие. Уравнения Максвелла в общем случае совместно с условиями Лоренца будут иметь вид

1 Ц -g  ¶ ¶yn ж и Ц   -g   Fmn ц ш =-  4pjm c ,     1 Ц -g  ¶ ¶yn ж и Ц   -g   An ц ш =0.

(15.1)

Ввиду того, что

Fmn=2¶[mAn]=2С[mAn],

другие уравнения Максвелла

¶aFbg+¶bFga+¶gFab = СaFbg+СbFga+СgFab є 0

выполняются тождественно для любой метрики.

В соотношении (15.1), в отличии от уравнений Максвелла при наличии гравитационного поля, метрический тензор не известен. Поэтому эти уравнения нельзя непосредственно интегрировать.

Ранее были получены уравнения для нахождения статической плотности зарядов на проводнике произвольной формы, геометрии пространства-времени и электростатического поля, создаваемого таким проводником. Было показано, уравнение для плотности зарядов содержит неизвестные компоненты метрического тензора СО, зависящие от плотности связанных зарядов, от массы и величины пробных зарядов, задающих СО. Для нахождения геометрии пространства-времени СО пробные заряды закреплялись неподвижными относительно заряженного тела. Поэтому силы со стороны поля уравновешивались силами реакции связей. Метрика СО определялась формулой (23.6) и условия сопутствия (23.7). Компоненты метрического тензора в силу статичности поля не зависели от временной координаты y⁰. Из за отсутствии вращения равнялись нулю g_0k.

Аналогичная процедура применима и при рассмотрении поля от нестационарного тока, но условия стационарности уже не будут выполнены. Компоненты метрического тензора должны удовлетворять еще и уравнениям структуры (1.7). Из сказанного следует, что решение поставленной задачи в общем виде аналитически затруднительно, поскольку переменный в пространстве и во времени ток обуславливает (в согласии с постулатом эквивалентных ситуаций) помимо нестационарного электромагнитного поля и поле нестационарного неоднородного метрического тензора.

Для выяснения физического смысла решения предельно упростим задачу, считая, что бегущая волна тока постоянной амплитуды J распространяется по бесконечному тонкому прямому цилиндрическому проводу. Пусть провод расположен на оси y³=z. Требуется вычислить напряженность электрического [E\vec] и магнитного [H\vec] полей вне провода.

Без учета взаимодействия зарядов на проводе с создаваемым ими электрическим полем решение тривиально. Напряженность магнитного поля определяется формулой

Hf=  2J cr

(45.1)

Для нахождения электрического поля можно исходить из того, что волна распространяется по коаксиальной линии при бесконечном радиусе внешнего провода. Поэтому для электрического поля имеем

Er=  2g r ,

(45.2)

где в силу формул (10) и (20) дополнения 1, связь между линейной плотностью заряда g и током J дается простым соотношением

J=cg,       Er=Hf.

(45.3)

(Отметим, что в (10) и (20) линейная плотность заряда обозначалась другой буквой s). Соотношения (45.1-45.3) допускают и другую интерпретацию. Из анализа формул (37-39) дополнения 1 видно, что формулы (45.1-45.3), переведенные в систему СИ, представляют собой поле излучения бесконечной антенны вблизи одного из плеч, если антенна возбуждается ступенчатым напряжением. Переходя в (37-39) к пределу при R₀,R₀ў®Ґ и используя, что вблизи антенны E_q » E_r, убеждаемся в справедливости такой интерпретации. Ясно, что для произвольной точки аналогия неприменима, так как возбуждаемая ступенчатым напряжением антенна представляет собой два полубесконечных отрезка, заряженных разноименно. В нашей модели мы имеем дело с бесконечной прямой, заряженной одноименно. Поэтому вблизи каждого из плеч антенны в точке наблюдения вдали от генератора вклад в поле от тока в другом плече пренебрежимо мал. Именно по этой причине предложенная интерпретация справедлива. Следует отметить, что статические соотношения (45.1-45.3) справедливы, когда фронт волны поля уже прошел через точку наблюдения. Поэтому динамическая задача о нахождении электрического поля от бегущей волны тока сводится к статической. Статическая задача об электрическом поле прямой заряженной нити бесконечной длины с учетом взаимодействия связанных зарядов с полем решена в разделе 19. Сравнивая тетрадную компоненту поля F₍₀₎₍₁₎ из (19.38) с радиальной компонентой поля E_r из (2d.2), убеждаемся в их тождественности.

Попытаемся ответить на вопрос: "Что нового по сравнению с (45.1) и (45.2) дает тот факт, что заряды на поверхности провода являются связанными?"

Для удобства сравнения с результатами параграфа 19, выбираем метрику в виде

dS2 = exp(n)(dy0)2- exp(l)dr2-r2 df2-dz2.

(19.28)

где n и l, исходя из симметрии задачи, зависят только от r.

Функции n(r) и l(r) нуждаются в определении. Процедура их нахождения подробно описана в разделе 19. Так как магнитное поле не действует на покоящиеся пробные заряды, то оно не изменяет силы реакции связи, удерживающие эти заряды неподвижными в электрическом поле. Однако, созданное током магнитное поле, окружающее проводник, действует на поверхность проводника, сжимая провод вдоль радиуса. Так как мы считаем проводник идеально проводящим, то текущий по проводнику ток является поверхностным током [26]. Плотность заряда g считаем отрицательной, так что по поверхности проводника движутся электроны, средняя скорость v которых ничтожно мала по сравнению с фазовой скоростью распространения бегущей волны тока, равной скорости света c. На каждый из электронов со стороны магнитного поля тока будет действовать сила Лоренца. Как известно [26], сжимающее давление определяется формулой

® P   пов  =- ® n    He2 8p ,

(45.4)

где [n\vec] - единичный вектор, направленный вдоль радиуса провода, H_e=H_f - магнитное поле снаружи провода у его поверхности. Таким образом, сжимающее давление по величине равно плотности энергии магнитного поля. Величина силы F, действующей на кусок цилиндрического провода площади S, на которой размещены N электронов равна очевидно

F=  Hf2S 8p .

(45.5)

Отсюда в согласии с (45.3) на каждый электрон действует сила

F1=  F N =  Er2S 8pN =  Er 4psS 8pN =  Er e 2 .

(45.6)

При выводе (45.6) учли, что E_r=4ps, где s - поверхностная плотность заряда. Итак, сила со стороны магнитного поля на поверхностные электроны с точностью до знака совпала с силой со стороны электрического поля, вывод которой приведен в разделе 17. Таким образом, если в электростатике силой реакции связи, удерживающей создающие поле заряды на поверхности проводника неподвижными, была сила со стороны металлической решетки, то в магнитостатике эту роль выполняет сила Лоренца. В согласии с постулатом эквивалентных ситуаций, решение для электрического поля от бегущей ступенчатой волны тока, будет такое же, как и для электростатического поля заряженной нити. Так как компоненты метрического тензора входят в уравнения Максвелла, то магнитное поле зависит от метрики.

Решение для электрического поля получено нами ранее и имеет вид

A0=2gI0(a)K0(a),      a =  ra0 2c2 =  re E0 4mc2 .

(19.27)

F01=-  ¶A0 ¶r =  ga0 c2 (K1(a)I0(a)-I1(a)K0(a)).

(19.32)

На поверхности цилиндра величина поля E₀ совпадает с тетрадной компонентой F₍₀₎₍₁₎. Поэтому для величины a имеем

a=  ra0 2c2 =  re E0 4mc2 =  re g R2mc2 ,    r і R.

(19.39)

E₀ - напряженность поля на поверхности цилиндра, I₀, I₁, K₀ K₁ - цилиндрические функции Бесселя в общепринятых обозначениях [82]. Для функций n и l было найдено

exp(n/2)=1+  qA0 m0c2 .

(19.42)

exp(l/2)=-  r 2g  ¶A0 ¶r  1 1+  qA0 m0c2 .

(19.43)

Для электрического поля бегущей волны будут справедливы все приведенные выше формулы для статического электрического поля с учетом условия g =J/c из (2d.3).

Для нахождения магнитного поля воспользуемся решением цилиндрически-симметричных статических уравнений Максвелла в форме (15.1) с использованием найденной метрики и формул для потенциала и напряженности электрического поля.

Исходя из симметрии задачи, пространственные компоненты 4-потенциала

Ak=dk3 A(r),

(45.7)

где A(r) - модуль векторного потенциала [A\vec]. Очевидно, что при независимости скалярного потенциала от времени, из (45.7) и из (15.1) следует, что условие Лоренца выполняется тождественно. Уравнения Максвелла (15.1) сводятся к виду

1 Ц -g  ¶ ¶r ж и exp ж и  n-l 2 ц ш r  ¶A ¶r ц ш =-  4p c j3,    Ц   -g   =rexp ж и  n+l 2 ц ш ,

(45.8)

где j³ - плотность тока.

Вне провода интегрирование (45.8) приводит к соотношению

¶A ¶r =  k r exp ж и  l-n 2 ц ш =-  k 2g  ¶A0 ¶r  1 ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш 2   ,

(45.9)

где k - постоянная интегрирования. Интегрируя (45.9) еще раз, находим

A=  m0c2k 2gq ж и  1 1+  qA0 m0c2 +c1 ц ш .

(45.10)

Сравнивая (45.9) с (45.1), используя, что в нерелятивистском приближении [H\vec]=[(С)\vec]×[A\vec], ([(С)\vec]×[A\vec])_f=-¶A_z/¶r, находим k=-2g. Постоянная c₁ - произвольна. Для определенности выберем ее так, чтобы в нерелятивистском приближении величины A и A₀ совпадали. В результате находим

A=-  m0c2 q ж и  1 1+  qA0 m0c2 -1 ц ш .

(45.11)

Тензор электромагнитного поля для рассматриваемой задачи имеет отличные от нуля компоненты F₀₁=-F₁₀, определяемые в (19.32) и F₁₃=-F₃₁, для которых имеем

F13=-  ¶A ¶r =-  ¶A0 ¶r  1 ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш 2   ,

(45.12)

Для отличных от нуля тетрадных компонент тензора поля с помощью тетрад (17.10) находим

F(1)(3) =  2J cr ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш ,    F(0)(1)=E(r)=  2J cr ,

(45.13)

Итак, напряженность электрического поля в тетрадах в точности совпадает с классическим выражением, а напряженность магнитного поля содержит релятивистскую поправку. Найдем отличные от нуля аффинные и тетрадные компоненты тензора энергии-импульса. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля в криволинейных координатах определяется формулой (17.14), а тетрадные компоненты тензора вычисляются по правилу (17.15). В результате для интересующих нас компонент плотности энергии и плотности импульса находим

T00=  1 4p ж и  ¶A0 ¶r ц ш 2   e-le-2n,    T(0)(0)=  g2 pr2 .

(45.14)

T03=  1 4p ж и  ¶A0 ¶r ц ш 2   e-le-2n,    T(0)(3)=  g2 pr2  1 1+  qA0 m0c2 .

(45.15)

Вычислим энергию поля от элемента заряженной нити длины h, воспользуясь формулами (17.16) -(17.18), (19.18). Для тетрадной компоненты T⁽⁰⁾⁽⁰⁾ тензора энергии-импульса имеем из (45.14) выражение

W= у х Ц   -g   TmnVn dSm = hg у х Ґ R  F01 dr

= -hg у х Ґ R   ¶A0 ¶r  dr = A0(R)gh-A0(Ґ)gh

(45.16)

Так как по доказанному в (19.41) A₀(Ґ)=0, а нить по условию имеет радиус R® 0, то соотношение (45.16) на основе (19.39) примет вид

W=A0(R)gh=2g2 hI0 ж и  eg 2mc2 ц ш K0 ж и  eg 2mc2 ц ш .

(45.17)

Из формулы (45.17) следует, что энергия электромагнитного поля внутри цилиндра длины h и бесконечного радиуса является конечной величиной, что резко отличается от классического значения электромагнитной энергии поля бегущей волны которая бесконечно велика.

При очень большой плотности зарядов на нити, т.е. при выполнении условия

eg 2mc2 =  eJ 2mc3 =a0 >> 1

(45.18)

имеем для энергии выражение

W=  2ghmc2 e =2Nmc2,

(45.19)

где N - число электронов на длине h нити. Неравенство (45.18) эквивалентно неравенству

J >> 105 A,

(45.20)

где ток выражен в амперах.

Итак, для очень больших токов предельная энергия электромагнитного поля внутри цилиндра высоты h и бесконечного радиуса равна удвоенной массе покоя N электронов, создающий ток на нити. Энергия электромагнитного поля поровну распределяется между энергиями электрического и магнитного полей, что следует из соотношений (19.51) и (45.19).

Ясно, что в реальном случае справедливо другое неравенство

eg 2mc2 =  eJ 2mc3 =a0 << 1

(45.21)

Для слабых полей при условии (45.21), используя известные разложения для функций Бесселя [82], имеем из (19.44), (19.45)

I0(a) @ 1,   K0(a) @ -(ln(a/2)+C),

A0(a) @ -2  J c ж и  ln  ж и  ra0 2c2 ц ш +C ц ш ,    -  ¶A0 ¶r @  2J cr ,

(45.22)

где C=0.57721566490... - есть постоянная Эйлера.

(45.22) с точностью до значения постоянных в потенциале совпадает с классическим выражением. Однако метрика пространства-времени даже в случае слабого поля остается римановой, которая в согласии с формулой (19.42) имеет вид,

exp(n/2)=1+  qA0 m0c2 .

(45.23)

а вместо (19.43) имеем

exp(l/2)=  1 1+  qA0 m0c2 .

(45.24)

Итак, как для сильного, так и для слабого полей энергия электрического поля от бегущей волны тока W_e равна энергии магнитного поля W_m. Приравнивая соответствующие соотношения для энергий их классическим аналогам,

Wm=  LmJ2h 2c2 ,   We=  Q2 2Ceh ,

(45.25)

находим погонную индуктивность L_m и погонную емкость C_e бесконечно тонкого провода

Lm=2I0 ж и  eJ 2mc3 ц ш K0 ж и  eJ 2mc3 ц ш @ 2(ln ж и  4mc3 eJ ц ш -C),   Ce=  1 Lm .

(45.26)

Вычисление погонной индуктивности и емкости бесконечно тонкого провода при классическом рассмотрении приводит к принципиальным трудностям, связанным с бесконечной энергией поля точечного заряда. В нашем случае таких трудностей не возникает как для слабого, так и для сильных полей. Рассмотрим более подробно причины возникновения трудностей.

Как известно из [83], индуктивность единицы длины бесконечно длинного провода зависит от длины провода и вычисляется в наших обозначениях по формуле

Lm = 2 ж и  ln  ж и  2h R ц ш -  3 4 ц ш .

(45.27)

Для этого же случая из работы [26] имеем

Lm = 2ln ж и  h R ц ш .

(45.28)

С другой стороны для погонной индуктивности коаксиальной линии имеем из [87] соотношение

Lm = 2ln ж и  b R ц ш ,

(45.29)

где b - внешний, а R - внутренний радиус коаксиальной линии.

Ясно, что для бесконечной коаксиальной линии погонная индуктивность не зависит от длины провода, что и следовало ожидать. Казалось бы, что переход к однопроводной линии от коаксиальной должен получиться при стремлении внешнего радиуса к бесконечности. Однако этого не происходит, индуктивность в согласии с (45.29) стремится при этом к бесконечности.

Из анализа (45.27) и (45.28) видно, что зависимость погонной индуктивности длинного провода от длины провода - явная трудность классической теории поля.

Рассмотрим к какому результату приводит анализ нашей формулы (45.26), пригодной для слабых полей (малых токов). Эта формула может быть преобразована к виду

Lm = 2 ж и  ln  ж и  4h0 r0 ц ш -C ц ш ,   h0=  h N ,

(45.30)

где N - число электронов на длине h куска провода, r₀ - классический радиус электрона. Так как концентрация зарядов на любом куске бесконечного провода очевидно постоянна, то погонная индуктивность естественно не зависит от длины провода, как и должно быть по логике вещей.

Умножив числитель и знаменатель под логарифмом в (45.30) на некий "формфактор" k, такой, чтобы выполнялось равенство

kr0=R,       4kh=2h1

(45.31)

получим получим формулу для погонной индуктивности, аналогичную (45.27), (45.28), имеющую вид

Lm = 2 ж и  ln  ж и  2h1 R ц ш -C ц ш ,   h1=  2h N  R r0 .

(45.32)

Рассмотрим физический смысл величины h₁, имеющей размерность длины. Эту величину можно представить в виде

h1=4R  h 2Nr0

(45.33)

Отношение h/2Nr₀ представляет собой отношение длины отрезка, на которой расположены N электронов к их общей длине при плотной упаковке. Сама формула (45.32) применима, когда h/2Nr₀ >> 1. Формула (45.26) может быть представлена в виде удобном для сравнения с экспериментом

Lm=21.11- 2ln ж и  J J0 ц ш ,   J0=1A,

(45.34)

где J₀ равен одному амперу и ток J измеряется в амперах. Рассчитаем по формуле (45.34) погонную емкость провода длиной 10 метров и радиуса 0.06 миллиметра при токе J=0.1 Ампер. Для этого случая имеем L_m=25.715. Увеличив ток в десять раз, получим L_m=21.11.

Расчет по формуле (45.28) дает L_m=24.048. Таким образом, несмотря на принципиально разные формулы расчета индуктивности, результаты оказались близкими.

Найдем формулу для погонной индуктивности коаксиальной линии для малых токов.

Вычисление энергии магнитного поля между центральным проводом и внешней оболочкой приводит к соотношению, вытекающему из (45.16), путем деления энергии на два и замены бесконечного внешнего радиуса на его конечное значение b.

Wm=  1 2 gh(A0(R)-A0(b))=  J2 c2 hln ж и  b R ц ш .

(45.35)

Приравнивая полученную энергию ее значению из (45.25), получаем формулу в точности совпадающую с (45.29), т.е. с классической величиной погонной емкости коаксиальной линии.

Итак, для малых токов в отличие от однопроводной линии для коаксиальной линии результаты оказались тождественными.

Для сильных токов будут проявляться различия. Общая формула для погонной индуктивности коаксиального кабеля будет иметь вид

Lm=2 ж и I0 ж и  eJ 2mc3 ц ш K0 ж и  eJ 2mc3 ц ш -I0 ж и  eJb 2mc3R ц ш K0 ж и  eJb 2mc3R ц ш ц ш .

(45.36)

Для больших токов можно воспользоваться известными асимптотическими разложениями для функций Бесселя [82].

I0(a) @   ж Ц  1 2pa   ea,   K0(a) @   ж Ц  p 2a   e-a,

что приводит к соотношению

Lm=  2mc3 eJ ж и 1-  R b ц ш .

(45.37)

Энергия магнитного поля на единице длины в коаксиальной линии между центральным проводом и внешней оболочкой для сильных токов имеет вид

Wm=  mc3J e ж и 1-  R b ц ш =  Nmc2 h ж и 1-  R b ц ш .

(45.38)

При b®Ґ или R® 0 энергия магнитного поля совпадает с энергией покоя масс зарядов на единице длины центрального провода. При этом заряды и токи из рассмотрения выпадают. Таким образом, очень сильные токи (J >> 10⁵ A) создают в пространстве магнитное поле внутри цилиндра длины h и бесконечного радиуса, энергия которого определяется произведением числа зарядов на длине h на энергию массы покоя заряда. При классическом рассмотрении магнитная энергия стремится к бесконечности, что лишено физического смысла и является принципиальной трудностью классической теории поля. Произведем расчет погонной индуктивности коаксиального кабеля для реального случая, имеющего место в полеобразующих системах, излучающих сильные импульсные электромагнитные поля. Аргумент в общей формуле (45.36) представим в виде

eJ 2mc3 =2.9·10-5J,

(45.39)

где ток J измеряется в амперах. Ясно, что для реальных токов J=10³ A и отношения b/R=10 величина аргументов в формуле (45.36) не превосходит

eJb 2mc3R =0.29.

(45.40)

При этом аргумент в первых членах (45.36) будет в десять раз меньше. Используя малость аргументов и известные разложения для модифицированных функций Бесселя [82]

I0(x) » 1+  x2 4 ,   K0(x) » - ж и  ln  ж и  x 2 ц ш +C ц ш I0(x)+  x2 4 ,

(45.41)

находим

Lm = 2ln ж и  b R ц ш +x2 ж и  ln  ж и  x 2 ц ш +C-  1 2 ц ш ,    x=  eJb 2mc3R =0.29.

(45.42)

Соотношение (45.42) для рассматриваемого случая можно представить в виде

Lm = 2ln ж и  b R ц ш ж и 1-0.033 ц ш .

(45.43)

Таким образом, с ростом токов погонная индуктивность кабеля, а следовательно и его волновое сопротивление уменьшается. Для данного примера это уменьшение составляет 3%. Величина волнового сопротивления должна зависеть и от полярности подсоединения кабеля. Уменьшение индуктивности будет происходить, если минус импульсного генератора подсоединять к центральному проводнику.

Следует отметить, что полученные формулы для индуктивности коаксиального кабеля носят чисто иллюстративный характер и не имеют непосредственного практического применения. Соотношения требуют, чтобы радиус внутреннего провода, а, следовательно, и внешнего был соизмерим с классическим радиусом электрона. Ясно, что на практике всегда рассматриваются провода конечного радиуса намного превышающего классический радиус электрона.

Вопросам исследования проводов конечного радиуса, цилиндрическим конденсаторам, коаксиальным линиям и сравнению классической и предлагаемой теорий посвящен следующий раздел.

В заключение раздела рассмотрим вопрос об электромагнитном импульсе и электромагнитной массе поля тока бегущей волны. Тетрадные компоненты электромагнитного 4 - импульса поля бегущей волны определим в согласии со следующей формулой

P(a)=  1 c у х Ц   -g   Tmnen(a) dSm =  1 c у х Ц   -g   T(0)(a) dV,

(45.44)

в которой нулевая компонента P⁽⁰⁾ равна энергии поля W (45.16), поделенной на скорость света c, а пространственные тетрадные компоненты P^(k) образуют трехмерный вектор импульса поля. В нашем случае отличной от нуля компонентой будет компонента P⁽³⁾, для которой на основе (19.42), (19.43) и (45.15), имеем в цилиндрических координатах выражение

P(3)=  1 c у х exp ж и  l+n 2 ц ш T(0)(3)rdrdfdz =  gh m0 c q  ln  ж и 1+  q A0(R) m0 c2 ц ш

(45.45)

Для слабых токов, удовлетворяющих неравенству (45.21), между импульсом поля, энергией и электромагнитной массой m_em существуют следующие хорошо известные соотношения, вытекающие из сравнения формул (45.17) и разложенной в ряд Тейлора (c сохранением двух членов разложения) формулой (45.45).

W=cP(3)=memc2.

(45.46)

В отличии от чисто классического рассмотрения, энергия, импульс поля и его электромагнитная масса от куска провода конечной длины h являются конечными величинами даже для слабых токов. При классическом рассмотрении эти величины бесконечно велики. Для сильных токов, удовлетворяющих условиям (45.18) или (45.20), энергия импульс и электромагнитная масса поля от куска провода также конечна, однако электромагнитные массы, вычисленные разными способами через импульс и через энергию - различны. Для сильных токов импульс электромагнитного поля и электромагнитная масса имеют вид

P(3)=Nmcln3,   mўem=Nmln3.

(45.47)

Из формулы (45.19) для электромагнитной массы получим другое значение

W c2 =mem=2Nm.

(45.48)

Как известно из классической теории поля [83], при вычислении электромагнитной массы поля частицы имеет место соотношение

mўem mem =  4 3 .

(45.49)

При этом, при вычислении (45.49) в качестве энергии поля частицы (электрона) рассматривалась лишь собственная электростатическая энергия поля частицы, а при вычислении импульса поля рассматривалась суммарная величина энергий электрического и магнитного полей частицы. В нашем случае энергия поля (45.19) распределена поровну между энергиями электрического и магнитного полей. Поэтому можно ввести электростатическую массу поля m_e=m_em/2. Тогда получим соотношение

mўem me =ln3=1.1.

(45.50)

Итак, при нашем рассмотрении в согласии с (45.19) электрическая энергия поля тока бегущей волны в точности равна энергии покоя электронов на проводе, а электромагнитная масса поля, вычисленная по формуле (45.47), лишь незначительно превосходит электростатическую массу поля.

В предыдущем разделе мы рассмотрели электромагнитное поле излучения бегущей волны тока, распространявшегося по тонкому криволинейному проводу. Рассмотрение было как чисто классическим, так и учитывало, что заряды на поверхности провода взаимодействуют с создаваемым ими полем. Однако расчет был произведен в пределе бесконечно тонкого провода, что не позволяет проводить сравнение результатов с реальными системами.

Представляет интерес учесть конечную толщину провода и получить формулы для емкости цилиндрического конденсатора, индуктивности и волнового сопротивления однопроводной линии и коаксиального кабеля.

Известно [87], что при классическом рассмотрении погонная емкость однопроводной линии конечного радиуса и бесконечной длины стремится к нулю, а погонная индуктивность и волновое сопротивление стремятся к бесконечности. Причина этого связана связано с тем, что при классическом подходе напряженность электрического поля вне провода убывает обратно пропорционально расстоянию от центра цилиндра, что приводит к бесконечно большой энергии поля в окружающем пространстве (в цилиндре единичной длины, но бесконечно большого радиуса).

Как мы доказали для бесконечно тонкого провода, энергия поля вне провода в цилиндре единичной высоты и бесконечного радиуса является конечной величиной. Докажем, что величина энергии будет иметь конечное значение и вне провода конечной толщины.

Решение для электрического поля тонкой нити получено нами ранее в (19.27), (19.32), (19.39). Метрика пространства-времени определялась формулами (19.28), (19.42), (19.43).

Рассмотрим поле, обладающее цилиндрической симметрией, создаваемое бесконечно длинным заряженным металлическим полым цилиндром радиуса R. Считаем, что толщина стенок цилиндра мала по сравнению с его радиусом.

Совместим ось z с осью цилиндра, выбрав начало координат в центре цилиндра. Расчет поля будем производить в цилиндрической системе координат, воспользуясь для нахождения потенциала формулой (19.1), где rў - трехмерное ( евклидово ) расстояние от заряда dQ до точки наблюдения , q - угол между радиусом - вектором [r\vec] и [i\vec] , [i\vec]=[(a₀)\vec]/ | [(a₀)\vec] | . [i\vec] для каждого элемента заряда dQ направлен к центру цилиндра перпендикулярно его поверхности. Величина "ускорения" a₀ для зарядов вычисляется по формуле (19.2).

Так как пространственная геометрия для метрики (2.18) - плоская, то из из формул евклидовой геометрии легко получить формулу, связывающую величины rў и q c радиальной координатой r и угловой координатой f цилиндрических координат.

rўcosq = R-rcosf.

(19.24)

Элемент заряда dQ на поверхности цилиндра можно представить в виде

dQ=sR dfdz=  g 2p dfdz,

(19.25)

где s и g соответственно поверхностная и линейная плотности зарядов.

Потенциал от заряженного элемента поверхности проводящего цилиндра в согласии с (19.1) запишем в виде

dA0=  g 2prў exp м н о -  a0rў(1-±cosq) 2c2 ь э ю dfdz,

(46.1)

В последней формуле при выборе знака в экспоненте мы учитываем две возможности. Верхний знак означает, что заряды находятся на поверхности цилиндра с "ускорением", направленным к центру цилиндра (например, на внутреннем электроде цилиндрического конденсатора). Нижний знак соответствует зарядам, находящимся на внутренней поверхности цилиндрической трубы (например, на наружном электроде цилиндрического конденсатора). Очевидно, что "ускорения" зарядов, направленные всегда внутрь металла на внутренней и внешней обкладках конденсатора имеют диаметрально противоположные направления, с чем и связан выбор знаков в (46.1)

Из (46.1) имеем

A0=  2g p e±pR у х p 0  e-±prcosf ж и у х +Ґ r2   e-prў Ц rў2-r22  drў ц ш d f,

(46.2)

где введены обозначения

p=  a0 2c2 ,   r2= Ц   r2+R2-2rRcosf   .

(46.3)

Вычисление внутреннего интеграла приводит к соотношению

A0=  2g p e±pR у х p 0  e-±prcosfK0(r2 p)d f

(46.4)

Если R=0, то последнее соотношение приводится к виду, полученному нами ранее

A0=2gI0(a)K0(a),      a =  ra0 2c2 =  re E0 4mc2 .

(19.27)

E₀ - напряженность поля на поверхности цилиндра, I₀, K₀ - цилиндрические функции Бесселя в общепринятых обозначениях [82].

Для вычисления интеграла (2d1.4) воспользуемся известной "теоремой сложения" для цилиндрических функций [105]. Предварительно введем следующие обозначения.

R1=Rp,   R2=r2 p,   r1=R1  r R =rp.

(46.5)

В частности для цилиндрических функций Ханкеля H⁽¹⁾₀(iR₂) справедливо соотношение

H(1)0(i R2)=J0(iR1)H(1)0(i r1)+2 Ґ е k=1  Jk(iR1)H(1)k(ir1)coskf.

(46.6)

Последняя формула справедлива при условии R₁ < r₁. Учитывая связь между функциями Ханкеля и модифицированными функциями Бесселя

Kn(z)=  pi 2 exp ж и  pin 2 ц ш Hn(1)(iz),    Jk(iz)=ik Ik(z),

(46.7)

находим

K0(R2)=I0(R1)K0(r1)+2 Ґ е k=1  Ik(R1)Kk(r1)coskf.

(46.8)

Учитывая последнюю формулу, вычислим интеграл (46.4)

A0=2ge±R1 й л I0(R1)I0(r1)K0(r1)+2 Ґ е k=1  (-±1)k Ik(R1)Ik(r1)Kk(r1) щ ы .

(46.9)

Найденная формула справедлива при r > R, т.е. для потенциала вне цилиндра. Для потенциала внутри цилиндра при r < R формула примет вид

A0=2ge±R1 й л I0(r1)I0(r1)K0(R1)+2 Ґ е k=1  (-±1)k Ik(r1)Ik(r1)Kk(R1) щ ы .

(46.9a)

На границе цилиндра при r = R обе формулы очевидно совпадают.

Найдем поведение потенциала (46.9) на больших расстояниях от цилиндра, т.е. полагая r >> R. Используя известное асимптотическое разложение [47], применимое для больших z

In(z)Kn(z) ~  1 2z ,

(46.10)

а также известную формулу суммирования

2 Ґ е k=1  (-±1)k Ik(z)=e-±z-I0(z),

(46.11)

находим

A0(r1 >> 1)=  g r1 =  2gc2 a0r =  2mc2R er ,

(46.12)

где m - масса электрона, если цилиндр заряжен отрицательно, или масса ядра металла, при положительном заряде, e - заряд электрона, принимающий отрицательное значение при отрицательном заряде цилиндра и положительное значение (по величине равное заряду электрона) при положительном заряде цилиндра. Очевидно, что при r®Ґ потенциал стремится к нулю, а не логарифмически расходится, как имеет место при классическом рассмотрении. Таким образом, поведение потенциала на бесконечности резко отличается от классического аналога, что в конечном итоге и приводит к устранению расходимости для энергии электромагнитного поля.

Отметим, что формула (46.12) применима не только для больших расстояниях от провода. Дело в том, что величины r₁, R₁ могут быть очень большими и на самой поверхности цилиндра малого радиуса, если плотности зарядов на проводе велики. Это следует непосредственно из равенств (46.3) и (46.5). Итак, для больших плотностей зарядов потенциал на поверхности цилиндра конечного радиуса из (46.12) имеет вид

A0(R)=  g R1 =  2gc2 a0R =  2mc2 e .

(46.13)

Энергия электрического поля вне цилиндрической оболочки может быть вычислена по общей формуле (19.18f) и приводит к соотношению

W=Nmc2.

(46.14)

Величина энергии поля вне проводящей при большой плотности зарядов на оболочке оказалась независимой от знака и величины заряда. Из приведенной формулы следует, что энергия поля отрицательно заряженной оболочки с зарядом Q=Ne на длине h определяется суммарной энергией покоя ее N электронных масс. Для положительно заряженной оболочки роль массы играет масса ядра.

При классическом рассмотрении энергия поля вне оболочки стремится к бесконечности.

Исследуем поведение поля внутри цилиндрической оболочки.

Как известно, при классическом рассмотрении потенциал внутри оболочки постоянен и равен потенциалу оболочки, а напряженность электрического поля равна нулю. В поле связанных зарядов это не так. Как видно из решения (46.9a) потенциал внутри оболочки не является постоянной величиной. Поэтому отлична от нуля и напряженность поля, которая будет вычисляться по формуле

F01=-4gp e±R1 й л I0(r1)I1(r1)K0(R1)+

+2 Ґ е k=1  (-±1)k Kk(R1)Ik(r1) ж и Ik-1(r1)-  k r1 Ik(r1) ц ш щ ы .

(46.15)

Исследуем поведение потенциала внутри оболочки для случая слабых полей. Используя известные разложения для малых значений аргумента [47]

Ik(r1) ~  r1k 2k G(k+1) ,   Kk(R1) ~  1 2 G(k)  2k R1k ,

(46.16)

где G(k) - гамма-функция, получим после суммирования выражение

F01=-  2ga0 c2 e±R1 й л -  r1 2  ln R1+  1 r1 Ґ е k=1  (-±1)k  1 k! ж и  r12 2R1 ц ш k   щ ы =

= -  2ga0 c2 e±R1 й л -  r1 2  ln R1+  1 r1 ж и exp ж и -±  r12 2R1 ц ш -1 ц ш щ ы .

(46.17)

Ограничиваясь членами, содержащими множитель 1/c², получим для величины напряженности электрического поля выражение

F01=-  ¶A0 ¶r =E(r)=±E0  a0r 2c2 =±E0  E0 e r 4mc2 ,   E0=  2g R .

(46.18)

Здесь E₀ классическое значение напряженности на поверхности заряженного проводящего цилиндра. Из формулы следует, что в отличие от классического случая поле внутри полости не равно нулю. Поле линейно возрастает с ростом расстояния от центра, однако в отличие от потенциала напряженность на границе цилиндра терпит разрыв. Разность напряженностей вне и внутри цилиндра меньше, чем при классическом рассмотрении. Отношение внутренней напряженности E_вну. внутри цилиндра к внешней напряженности на границе E_вне.=Е₀ дается формулой

Eвну. Eвне. =  e E0 r 4mc2 .

(46.19)

Очевидно, что это отношение равно нулю в центре цилиндра и максимально на границе раздела при r = R. Рассмотрим пример. Пусть цилиндр заряжен отрицательно и величина E₀=10⁶ V/m, а радиус цилиндра R=0.05 m. Тогда

Eвну.(R) Eвне.(R) =  e E0R 4mc2 =R1=0.024.

(46.20)

Для цилиндра, заряженного положительно, это отношение при тех же параметрах ~ 10^-6. При классическом рассмотрении это отношение равно нулю и не зависит от знака заряда. В соотношении (46.19) берется отношение аффинных компонент F₀₁ тензора поля по разным областям от границы раздела оболочки, однако "физическими" величинами, измеряемые приборами в римановом пространстве-времени, являются тетрадные компоненты тензора поля.

Поэтому встает задача нахождения метрического тензора и поля тетрад во внутренней и внешней областях цилиндрической оболочки.

1. Метрический тензор внутри и вне цилиндрической оболочки

Совокупность электронов на поверхности цилиндрической оболочки не принадлежит конгруенции мировых линий базиса НСО (2.18), а включаются в совокупность мировых линий частиц базиса, принадлежащих цилиндрически - симметричной лагранжевой сопутствующей НСО с метрикой вида

dS2 = exp(n)(dy0)2- exp(l)dr2-r2 df2-dz2,

(19.28)

где n и l зависят только от r.

Функции n(r) и l(r) нуждаются в определении. Для их нахождения воспользуемся решением цилиндрически-симметричных статических уравнений Максвелла с использованием метрики (19.28), аналогичных по записи уравнениям электродинамики в "заданном гравитационном поле" [7]. Затем сравним полученное решение с выражением для поля, получаемом из (46.9a).

Для отличной от нуля радиальной компоненты "индукции" D¹ имеем уравнение

1 Ц g  ¶ ¶r ж и rexp(l/2)D1 ц ш =4pd.

(46.21)

В отличии от уравнения (19.29), используемого нами для нахождения поля от заряженной нити, в правой части равенства последнего уравнения стоит не ноль, а плотность источника, в которой d есть плотность "фиктивных" зарядов внутри цилиндрической полости. Введение "фиктивной" плотности зарядов является необходимым условием для удовлетворения внутри полости уравнению Максвелла (46.21), поскольку напряженность электрического поля внутри полости отлична от нуля. В классическом случае внутри полости решение тривиально и имеет вид D¹=0.

Решение (46.21) будет иметь вид

D1=  4pexp(-l/2) r у х dexp(l/2)rd r.

(46.22)

Между "индукцией" D¹ напряженностью поля E¹ и компонентой тензора поля F₀₁ существуют известные соотношения [7]

D1=g11D1=  1 Ц g00 E1,   E1=F01,   gkl=-gkl ,

(46.22a)

где g_kl - пространственный метрический тензор с определителем равным g.

Ясно, что D¹ нельзя вычислить без знания функций d(r) и l(r). Допустим, что рассматриваемый "фиктивный" заряд как и реальный должен удовлетворять уравнению неразрывности. В согласии с нашей общей идеологией незаряженная оболочка находилась в плоском пространстве -времени. Сразу после зарядки оболочки пространство время стало римановым и появился "эффективный" заряд. Через некоторое время, равное времени реллаксации, метрика стала статической, представимой в форме (19.28). Первоначально "фиктивный" заряд находился в недеформированном состоянии внутри цилиндрической полости и его плотность была постоянной. После реллаксации, плотнось фиктивного заряда стала различной в разных точках полости, имеющих разные радиальные координаты. Из закона сохранения "эффективного" заряда до и после деформаций среды (35.14a) вытекает равенство

d Ц   g   =d0 Ц   g   0  .

(46.23)

Из последней формулы следует

del/2=d0 = const.

(46.24)

Интегрируя (46.22), получим

D1=  4pexp(-l/2) r у х dexp(l/2)rd r = 2pexp(-l/2)rd0+C1,

(46.25)

где d₀ - плотность фиктивных зарядов в недеформированном состоянии, C₁ - постоянная интегрирования. Постоянную интегрирования определим из соображений симметрии, учитывая что поле в центре оболочки должно быть равно нулю. Откуда C₁=0. Из (46.22a) находим

F01=E1=2pd0exp ж и  l+n 2 ц ш r.

(46.26)

Подстановка (46.15) в левую часть (46.26) позволяет отыскать первое уравнение, связывающие компоненты метрического тензора внутри цилиндрической оболочки.

exp ж и  l+n 2 ц ш =  F01 2pd0r .

(46.26)

Для нахождения второго уравнения, связывающего эти функции, рассмотрим силу со стороны поля, действующую на пробный заряд q, находящийся внутри оболочки, закрепленный в точке с координатой r от оси цилиндра. Ясно, что при классическом рассмотрении эта сила равна нулю, так как поле внутри полости отсутствует. Для нашего случая это не так. Пусть масса пробного заряда m₀. Тогда вектор первой кривизны F¹ мировой линии этого заряда можно найти из соотношения (1.5), записав для закрепленных зарядов условие сопутствия для метрики (19.28) в виде

Vk=Vk=0,      V0=(g00)-1/2,

V0=(g00)1/2,   F1 = F(r),   F0=F2=F3=0.

(19.34)

Откуда из (1.5) имеем

F1=  1 2  dn dr exp(-l).

(19.35)

Эту же величину можно найти и из силы, действующей на заряд со стороны связи, удерживающей заряд в поле неподвижным. Эта сила численно равна силе со стороны поля и противоположна ей по знаку. Это следует из равенства нулю сил. В римановом пространстве из равенства нулю сил отнюдь не следует равенства нулю вектора первой кривизны (4 - ускорения).

F1=  1 2  dn dr exp(-l) = -  q m0c2 F10V0.

Откуда имеем

exp(n/2)=-  q m0c2 у х F01 dr =  qA0 m0c2 +С2,

(46.27)

где C₂ - постоянная интегрирования.

Постоянную интегрирования определим из естественного требования псевдоевклидовости метрики на оси цилиндрической оболочки, так как напряженность поля в центре цилиндра равна нулю. В результате имеем

exp(n/2)=1+  qDA0 m0c2 ,    DA0=A0(r)-A0(0),

(46.28)

где DA₀ - разность потенциалов между точкой наблюдения и и точкой на оси цилиндра, A₀ определяется формулой (46.9a). Для функции l получим соотношение

exp ж и  l 2 ц ш =  F01 2pd0r  1 1+  qDA0 m0c2 .

(46.29)

В предыдущих формулах является неопределенной еще одна постоянная величина d₀ - "фиктивная" плотность заряда, которую также определим из требования псевдоевклидовости пространства-времени на оси цилиндра. Из сказанного следует

d0= lim r® 0   F01(r) 2pr ж и 1+  qDA0 m0c2 ц ш .

(46.30)

Для вычисления предела воспользуемся формулой (46.17), что дает

d0=±E0  a0e±R1 4pc2 (1 ±R1lnR1),    E0=  2g R .

(46.31)

Выясним происхождение и физический смысл "фиктивной" плотности заряда.

В классической электростатике напряженность поля внутри проводника и внутри любой замкнутой полости всегда равна нулю. Заряды внутри проводника также отсутствуют. Этот факт является следствием справедливости закона Кулона для поля точечного заряда, что приводит к справедливости уравнения Лапласа для потенциала вне заряда. С наших позиций, связанные заряды не создают вокруг себя сферически симметричного кулоновского поля, что приводит к нарушению уравнения Лапласа и к появлению отличного от нуля поля внутри замкнутой проводящей оболочки. Оставаясь в рамках квазимаксвелловской теории, аналогичной теории Максвелла в "заданном гравитационном поле", мы были вынуждены вводить "фиктивные" заряды. Без этого было не возможно удовлетворить уравнениям Максвелла в полости. Попытка в уравнении (46.21) с нулевой правой частью использовать тривиальное решение D¹=0, как в классике, обречена на неудачу, поскольку внутри полости F₀₁ в согласии с (46.15) отлична от нуля. Особенностью "фиктивных" зарядов является то, что они создают поле только внутри оболочки и не влияют на поле вне оболочки. Поле "фиктивных" зарядов замкнуто и меняет геометрию пространства-времени внутри полости. Это резко отличается от классической теории поля, так как поле реальных зарядов, насильственно введенных внутрь полости, изменяет и внешнее решение. В принципе поле "фиктивных" зарядов можно измерить. Существует ли на самом деле поле в полости может решить только эксперимент.

Вычислим "физические" , т.е. тетрадные компоненты поля внутри оболочки. В тетрадах (17.10) на основе формул (46.22), (46.22a) F₍₀₎₍₁₎ компонента тензора электромагнитного поля имеет вид

F(0)(1)=exp ж и -  l+n 2 ц ш F01=2pd0r.

(46.31)

Таким образом, тетрадная компонента поля, которую и измеряет физический прибор, оказалась отличной от нуля. Вычислим отношение тетрадной компоненты поля внутри цилиндра F₍₀₎₍₁₎ к тетрадной компоненте поля вне цилиндра F₍₀₎₍₁₎ў на границе раздела, т.е. устремляя к R значения r вне и внутри цилиндра.

F(0)(1) F(0)(1)ў =  F(0)(1) E0 =  a0Re±R1 2 c2 (1 ±R1lnR1)

Отношение тетрадных компонент тензора поля отличается от отношения аналогичных аффинных компонент (46.20). Рассмотрим пример, приведенный раннее. Пусть цилиндр заряжен отрицательно и величина E₀=10⁶ V/m, а радиус цилиндра R=0.05 m. Тогда отношение (46.20a) равно 0.022, вместо 0.024 для отношения аффинных компонент тензора поля.

Вычислим энергию поля внутри цилиндрической оболочки радиуса R и высоты h. Тетрадная компонента тензора энергии-импульса внутри цилиндра T⁽⁰⁾⁽⁰⁾ в согласии с (17.14), (17.15) и полем тетрад (17.10) имеет вид

T(0)(0)=  1 8p 4p2d02r2

(46.32)

Энергия поля внутри полости в согласии с (17.16f) имеет вид

W= у х V1  Ц   -g   T(0)(0)d3y =  pd0 h 2 у х R 0  F01r2dr,

(46.33)

где F₀₁ определяется из (46.15). При классическом рассмотрении энергия поля внутри цилиндра равна нулю. Для слабых полей E₀ ~ 10⁶ V/m или меньше для вычисления энергии поля можно воспользоваться формулой (46.17), которая с учетом (46.31) приводится к виду

W1=W0  a02R2 8c4 e±2R1(1±R1lnR1)2,    W0=  pR2 h E02 8p

(46.34)

В последней формуле ввели величину W₀ численно равную величине энергии электрического поля внутри цилиндра высоты h и радиуса R при условии постоянства поля внутри цилиндра напряженности E₀. Вычислим энергию поля вне цилиндра, воспользовавшись общей формулой

W2=  1 2 A0 у х r Ц   g    dV=  1 2 A0Q.

(19.18f)

Из формулы (46.9) находим для A₀(R) в случае слабых полей выражение

A0(R)=2ge±R1[-lnR1 -±R1/2].

(46.35)

Выражение для энергии поля вне цилиндра примет вид

W2=2W0 e±R1[-lnR1 -±R1/2].

(46.36)

Найдем отношение внутренней энергии поля в цилиндре к внешней энергии вне цилиндра.

W1 W2 =  a02R2 16c4  (1±R1lnR1)2 [-lnR1 -±R1/2] e±R1.

(46.37)

Пусть цилиндр заряжен отрицательно и величина E₀=10⁶ V/m, а радиус цилиндра R=0.05 m. Тогда отношение энергий

W1 W2 =3·10-5.

(46.38)

Для случая слабых полей потенциал внутри цилиндра меняется по закону

A0(r)=-2ge±R1 й л  ln R1 ±  R1 2  r2 R2 щ ы .

(46.39)

Разность потенциалов DA₀(r) между центром цилиндра и произвольной точкой внутри цилиндра

DA0(r)=-±2ge±R1  R1 2  r2 R2 .

(46.40)

Метрика пространства-времени, если в качестве пробных частиц внутри цилиндра поместить электроны с зарядом e и массой m, для этого случая имеет вид

exp(n/2)=1-±  E02r2 e2 8m2c4 =exp(-l/2).

(46.41)

Итак, для слабых полей метрика пространства-времени внутри цилиндра близка к метрике пространства Минковского, так как содержит метрические коэффициенты, отличающиеся от единицы на величины, пропорциональные 1/c⁴.

Вне цилиндра метрика будет иметь вид

exp(n/2)=1+  qA0 m0c2 .

(19.42)

exp(l/2)=-  r 2g  ¶A0 ¶r  1 1+  qA0 m0c2 ,

(19.43)

где A₀ определяется формулой (46.9). Для малых значений аргумента в A₀ (т.е. для слабых полей и небольших расстояний от центра цилиндра), имеем

A0(r)=2ge±R1[-lnr1 -±R1/2].

(46.42)

Откуда для метрики получим

exp(n/2)=1+  qA0 m0c2 =exp(-l/2).

(46.43)

Для больших расстояний от оси цилиндра (даже и в случае слабых полей) аргумент в (46.9) велик. Поэтому для A₀(r) можно воспользоваться асимптотической формулой (46.12). Если в качестве пробных частиц, задающих СО, выбрать электроны, то для больших расстояний от оси цилиндра метрика примет вид

exp(n/2)=1+  2R r ,    exp(l/2)=  2mc2 erE0  1 1+  2R r .

(46.44)

Любопытно отметить, что и на больших расстояниях от оси цилиндра метрика не является плоской. Полагая R/r® 0, находим для метрики выражение

dS2 = (dy0)2-  (2mc2)2 (eE0r)2 dr2-r2 df2-dz2.

(46.45)

Вычислим погонную емкость бесконечного цилиндра радиуса R. При классическом рассмотрении эта величина равна нулю, поскольку энергия поля вне цилиндра стремится к бесконечности. При нашем подходе погонная емкость C_p отлична от нуля и определяется формулой

Cp=  Q2 2Wh =  g A0(R) =

=  1 2eR1 й л I20(R1)K0(R1)+2 Ґ е k=1  (-1)k I2k(R1)Kk(R1) щ ы .

(46.46)

При выводе воспользовались формулой (2d1.9) при r = R и выбрали верхний знак. Для слабых полей R₁ << 1 формула упрощается и сводится к виду

Cp =  1 2 e R1[-lnR1 - R1/2] =  1 lnR1-2 .

(46.47)

Для очень сильных полей R₁ >> 1

Cp =  ge 2mc2 =  E0eR 4mc2 =R1.

(46.48)

Например, для цилиндра, заряженного отрицательно, величине E₀=10⁶ V/m, и радиус цилиндра R=0.05 m получим для емкости 1 метра длины величину емкости C_p=13.4 сантиметра. Для цилиндра, заряженного положительно, имеем

R1+=  R1 N ,   N=  mp m A,

(46.49)

где m_p - масса протона, m - масса электрона, A - число нуклонов в ядре. Для погонной емкости положительно заряженного цилиндра C_p⁺ находим

Cp+ =  1 lnN2+lnR1-2 .

(46.50)

Для алюминиевого цилиндра, заряженного положительно, при напряженности поля и размерах, указанных выше, расчет по формуле (46.50) дает при N=5*10⁴ значение емкости 1 метра длины C_p⁺=3.4 сантиметра.

Рассмотрим цилиндрический конденсатор бесконечной длины, представляющий собой две коаксиальные цилиндрические оболочки радиусов b и d, b < d. Требуется вычислить погонную емкость такого конденсатора для следующих двух случаев:

а). Внутренний цилиндр заряжен положительно, а внешний - отрицательно,

б). Внутренний цилиндр заряжен отрицательно, а внешний - положительно.

а). Для слабых полей, которые мы здесь и будем рассматривать, имеем из (46.9) вклад в потенциал поля между обкладками, созданный внутренним положительно заряженным цилиндром в виде

A0+(r) @ -2g ж и  ln  ж и  ra0 2c2 ц ш +C ц ш ,

(47.1)

где C=0.577... - есть постоянная Эйлера. Потенциал поля в зазоре, обусловленный внешним отрицательно заряженным полым цилиндром имеет вид

A0-(r)=2|g| e- d1 й л  ln d1 -  d1 2  r2 d2 щ ы .

(47.2).

Формула (47.2) получена из формул (46.5), (46.39) выбором нижних знаков, заменой d₁=R₁, d₁=dp, d=R и учетом того, что g < 0.

Разность потенциалов между внутренней и внешней обкладками конденсатора

DA0+=A0+(b)-A0+(d)=2|g|ln  d b ,

DA0-=A0-(b)-A0-(d)=2|g|e-d1  d1 2 ж и 1-  b2 d2 ц ш ,

DA0=DA0++DA0-=2|g| ж и e-d1  d1 2 ж и 1-  b2 d2 ц ш +ln  d b ц ш .

(47.3)

Откуда находим выражение для погонной емкости C⁺

C+=  |g| DA0 =  1 2 ж и e-d1  d1 2 ж и 1-  b2 d2 ц ш +ln  d b ц ш .

(47.4)

Учитывая, что

d1=  eE0d 4mc2 ,    C0=  1 2ln  d b ,    U=bE0ln  d b ,

(47.5)

где C₀ - классическое значение погонной емкости бесконечного цилиндрического конденсатора, а U - классическое выражение для приложенного к нему напряжения, получим

C+=  С0 1+  eC0U 4mc2 ж и 1-  b2 d2 ц ш .

(47.6)

б). Пусть внутренний цилиндр заряжен отрицательно, а внешний - положительно. Для этого случая находим из (46.42)

A0-(r)=2|g| e b1 й л  ln  ж и  reE0 4mc2 ц ш +  b1 2 щ ы ,    b1=  eE0b 4mc2 .

(47.7)

"Релятивистская" разность потенциалов потенциалов

A0-(b)-A0-(d)=-2|g| e b1ln ж и  d b ц ш ,   A0+(b)-A0+(d)=0.

(47.8)

Откуда находим для емкости C^- выражение

C-=С0exp ж и -  eC0U 2mc2 ц ш .

(47.9)

Следует отметить, что в отличие от классики, понятие емкости в нашем случае неоднозначно. При классическом рассмотрении заряженной проводящей оболочки поле внутрь полости не проникает. Поэтому при классическом рассмотрении для емкости уединенного проводника C справедливы соотношения

C=  Q U =  Q2 2W ,

(47.10)

где Q - заряд, U - потенциал, W - энергия поля вне проводника. При нашем рассмотрении поле может проникать и внутрь проводящей оболочки, поэтому расчет по формуле (47.10) как для уединенной оболочки, так и для конденсатора приводит к разным значениям емкости. В качестве альтернативы можно указать еще одну формулу для емкости уединенной проводящей оболочки.

C=  Q A(0) ,

(47.11)

где A₍₀₎ - тетрадная временная компонента 4-потенциала на поверхности проводника. Только эксперимент позволит выяснить какая из приведенных формул выражает действительную емкость оболочки.

Внутрь сплошного заряженного проводника в электростатике поле проникать не может. В противном случае это бы привело к возникновению внутри проводника электрического тока. В отличие от классического рассмотрения, при нашем подходе не все заряды расположены на поверхности проводника. Часть зарядов расположены внутри проводника с таким распределением внутренних зарядов, которые компенсируют плотность "фиктивных" зарядов (см. например (47.21)), создавая в совокупности с "фиктивными" зарядами нулевое поле внутри проводника. Для уединенной емкости сплошного проводника оба выражения (47.10) эквивалентны, где под величиной заряда Q понимается заряд на поверхности проводника.

Таким образом, при нашем подходе емкость сплошного проводника и емкость проводящей оболочки такой же формы, как и поверхность сплошного проводника, могут не совпадать.

В отличие от плоского конденсатора или уединенного проводника, емкость цилиндрического конденсатора уменьшается при возрастании напряжения. Это связано с характером изменения поля проводника. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора (47.8) больше, чем при классическом рассмотрении, что и приводит к уменьшению емкости. В случае плоского конденсатора разность потенциалов между обкладками меньше, чем в классике. Откуда следует возрастание емкости по сравнению с классическим выражением. Если, сохраняя расстояние между обкладками цилиндрического конденсатора h неизменными, неограниченно увеличивать его радиус b, то цилиндрический конденсатор вырождается в плоский. Из формулы (46.12) справедливой не только для больших расстояний от цилиндра, но также и для цилиндров больших радиусов, находим

DA0=  E0c2h a0r ,   C-=C0  a0b c2 ,

(47.12)

где C₀ - классическое значение емкости плоского конденсатора. Ясно, что C^- > C₀, т.к. асимптотическая формула (46.12) применима при условии a₀b/c² >> 1.

Емкость любого уединенного проводника можно рассматривать как емкость конденсатора, одна из обкладок которого удалена в бесконечность. Так как энергия поля связанных зарядов во всех рассмотренных примерах оказалась меньше энергии поля свободных зарядов, то емкость уединенных проводников любой формы должна быть больше их классической емкости. Величины емкости должны зависеть от знака заряда и возрастать от прикладываемого напряжения.

Рассмотрим электростатическое поле, обладающее центральной симметрией. Пусть такое поле создано, например, шаром, равномерно заряженным по объему. Как известно из классической электростатики, напряженность электрического поля в центре шара равна нулю, возрастая по линейному закону внутри шара и убывая вне шара, как поле от точечного заряда, помещенного в центр шара. В нашей модельной задаче считаем для простоты диэлектрическую проницаемость равной единице. К такой задаче можно подойти, рассматривая облако постоянной плотности из зарядов, связанных невесомыми нитями длин от нуля до R, закрепленных в общем центре. Следовательно, поле, создаваемое каждым из зарядов будет таким же, как если бы каждый из зарядов двигался равноускоренно с ускорением направленным к центру шара. Ясно, что хотя "ускорение" каждого отдельного заряда постоянно, однако эти "ускорения" не равны друг другу. Чем ближе заряд расположен к центру шара, тем с меньшей силой действует на него электрическое поле, созданное другими зарядами системы.

В нашей задаче требуется найти напряженность и энергию электрического поля внутри и вне шара и геометрию пространства- времени в этих областях. Из раздела 19 ясно, что геометрия пространства - времени вне и внутри шара - риманова. Получаемая кривизна пространства - времени в общем случае другой природы, чем в ОТО. Она обусловлена электромагнитным полем связанных зарядов, физическая ситуация которых эквивалентна их "размещению" в некоторой НСО. Хотя пространство-время и искривлено, однако напряженность поля в "физическом" репере (тетрадах) совпадает с кулоновой. Так как любой экспериментатор фактически измеряет поля в "физических" координатах, то непосредственное измерение напряженности, например, с помощью крутильных весов, не отличается от кулоновского значения. Римановость пространства - времени проявляется при вычислении энергии поля. Как мы указывали ранее, для положительно заряженного тела реальные релятивистские поправки малы, а для отрицательно заряженного шара эти поправки могут оказаться значительными. Для отрицательно заряженного по объему тела элементарным связанным зарядом является электрон. Для расчета потенциала A₀ заряженного по объему шара будем исходить из формулы (19.1), в которой ускорение a₀ связанной заряженной частицы внутри шара определим по формуле

a0=  F1 m ,

(48.1)

в которой требуется определить F₁, действующей со стороны связи на электрон массы m. Очевидно, что эта сила равна по величине и противоположна по знаку силе на электрон со стороны поля, созданного другими зарядами системы. Для ее нахождения используем известный максвелловский тензор напряжений электрического поля в пустоте [26], который в локальных тетрадах представим в виде

s(i)(k)=  1 4p ж и E(0)E(k)-  E2 2 d(i)(k) ц ш .

(48.2)

Рассмотрим в шаре мысленно выделенную концентрическую сферу радиуса x и найдем силу со стороны поля на внутреннюю поверхность этой сферы

F(i)(x)=- у (з) х s(i)(k)n(k)df=-  Q2x4 2R6 n(i),   E(i)=-En(i).

(48.3)

Здесь n_(i) - единичный вектор, направленный по радиусу от центра, df - элемент поверхности сферы, Q - полный заряд шара. На внешнюю поверхность концентрической сферы радиуса x+dx очевидно действует сила F_(i)(x+dx)

F(i)(x+dx)=  Q2(x+dx)4 2R6 n(i)=  Q2x4 2R6 n(i)+  2Q2x3dx R6 n(i).

(48.4)

Отсюда на dN электронов, расположенных в слое толщины dx действует сила со стороны поля dF_(i)

dF(i)(x) =  2Q2x3dx R6 n(i).

(48.5)

Очевидно, что число частиц dN в шаровом слое толщины dx так относится к полному числу частиц в шаре N, как отношение объема шарового слоя к объему шара, т.е.

dN =  3Nx2dx R3 .

(48.6)

Отсюда сила F_1(i) действующая со стороны поля на электрон с зарядом e вычисляется по формуле

F1(i)(x) =  2eQx 3R3 n(i).

(48.7)

"Ускорение" a₀, обусловленное силой связи, направлено к центру сферы и вычисляется по формуле

a0(x) =  2eQx 3mR3 .

(2d3.8)

В плоском пространстве Минковского при равновесии заряда в поле ускорение равно нулю. В римановом пространстве при равновесии зарядов их мировые линии искривлены и роль ускорений играют векторы первой кривизны мировых линий зарядов. В принципе, подставляя 48.8 в (19.1) и произведя интегрирование по объему шара, можно найти потенциал A₀ в любой точке вне и внутри шара. Однако можно воспользоваться уже найденными нами ранее результатами из раздела 19, как промежуточными, где мы нашли потенциал вне заряженной сферы радиуса R в согласии с формулой (19.3а).

Формула (19.3а) может быть представлена в явном виде, пригодном как для потенциала вне так и внутри сферы, а именно

A0=  Qe-s2 2Rs у х s s(|1-a|-a)  exp(u2)du,   s=   ж Ц  a0r2 4c2R   ,    a=  R r .

(48.9)

Для a > 1, т.е. для потенциала внутри сферы имеем

A0=  Qe-s2 2Rs у х s -s  exp(u2)du= Qe-s2 Ц   p   F(is) 2iRs ,   a > 1.

(48.10)

Для потенциала вне сферы (a < 1) получим

A0=  Qe-s2 2Rs у х s -s(2a-1)  exp(u2)du = Qe-s2 Ц   p   (F(is)-F(-is(2a-1)) 4iRs .

(48.11)

Для расчета потенциала заряженного по объему шара разобъем шар на множество концентрических шаровых слоев и суммируя вклады от каждого слоя найдем искомые потенциалы вне и внутри шара. Рассмотрим шаровой слой с внутренним радиусом x и внешним радиусом x+dx. В согласии с (48.8) и (48.9) для s находим

s=  r 2R   ж Ц  2Qe 3Rmc2   .

(48.12)

Величина s оказалась независимой от x. Если использовать формулу (48.11) применительно к слою толщины dx, содержащий заряд dQ и просуммировать по всем слоям, то получим потенциал вне шара Aў₀

A0ў=  3Qe-s2 2R3s у х R 0  x ж и у х s -s(2x/r-1)  exp(u2)du ц ш dx =

= 3Qe-s2 Ц p 4iR3s у х R 0  (F(is)-F(-is(2x/r-1))xdx =

= 3Qe-s2 Ц p 4iR3s ж и  F(is)R2 2 - у х R 0  F(-is(2x/r-1))xdx ц ш .

(48.13)

Для потенциала A₀ў внутри заряженного шара на расстоянии x от центра шара следует учесть, что часть слоев лежит вне x, а часть - внутри x. Поэтому потенциал представим в виде

A0ў=  3Qe-s2 2R3s й л у х r 0  x у х s -s(2x/r-1)  exp(u2)dudx+ у х R r  x у х s -s  exp(u2)dudx щ ы =

= 3Qe-s2 Ц p 4iR3s й л у х r 0  (F(is)-F(is(1-2x/r))xdx+F(is)(R2-r2) щ ы

= 3Qe-s2 Ц p 4iR3s ж и F(is)(R2-r2/2)- у х r 0  F(-is(2x/r-1))xdx ц ш .

(48.14)

Используя известное разложение, справедливое для малых значений s

F(is)=  2is Ц p es2

(48.15)

и переходя к пределу при s® 0, получим для потенциалов Aў₀ (48.13) и (48.14) классические значения

Aў0(r)=  Q r ,    r > R,   Aў0(r)=  3Q 2R3 ж и R2-  r2 3 ц ш ,   r < R.

(48.16)

Отметим во избежание недоразумений, что на каждый из электронов в шаре действуют постоянные (для каждого!) силы реакции связи. Поэтому в согласии с постулатом эквивалентных ситуаций и (2.18) каждый из электронов внутри шара, находится в касательном плоском пространстве но римановом пространстве-времени. Поэтому корректна операция интегрирования по объему в плоском пространстве. С другой стороны, совокупность частиц, задающих СО как внутри тела, так и вне его, включим в совокупность мировых линий СО, принадлежащей сферически-симметричной лагранжевой сопутствующей СО с метрикой вида (19.4)

dS2 = exp(n)(dy0)2- r2(dq2+sin2qdf2) - exp(l)(dr)2,

(19.4)

где n и l зависят только от r.

Функции n(r) и l(r) нуждаются в определении. Для их нахождения воспользуемся решением сферически-симметричных статических уравнений Максвелла с использованием метрики (19.4), аналогичных по записи уравнениям электродинамики в "заданном гравитационном поле" [7]. Затем сравним полученное решение с выражением для поля, получаемом из (48.13), (48.14).

Для отличной от нуля радиальной компоненты "индукции" D¹ вне шара имеем уравнение

1 Ц g  ¶ ¶r ж и r2sinqexp(l/2)D1 ц ш =0,

(19.5)

решением которого будет

D1=  Q r2 exp(-l/2).

(19.6)

В (19.5) и (19.6) между "индукцией" D¹ напряженностью поля E¹ и компонентой тензора поля F₀₁ существуют известные [7] соотношения

D1=g11D1=  Q r2 exp(l/2)=  1 Ц g00 E1,   E1=F01,   gkl=-gkl ,

(19.7)

где g_kl - пространственный метрический тензор с определителем равным g. Из рассмотренного следует соотношение

F01=-  ¶A0ў ¶r =  Q r2 exp ж и  l+n 2 ц ш ,

(48.17)

в котором F₀₁ определяется дифференцированием по радиусу выражения (48.13). Последнее соотношение является уравнением, связывающим две неизвестные функции l(r) и n(r). Для нахождения второго уравнения для этих функций рассмотрим силу со стороны поля, действующую на пробный заряд q, закрепленный в точке с координатой r от центра шара. Эти заряды определяют базис СО вне заряженного шара. Пусть масса пробного заряда m₀. Тогда вектор первой кривизны F¹ мировой линии этого заряда можно найти из соотношения (1.5), записав для закрепленных зарядов условие сопутствия для метрики (19.4) в виде

Vk=Vk=0,      V0=(g00)-1/2,

V0=(g00)1/2,   F1 = F(r),   F0=F2=F3=0.

(19.10)

Откуда из (1.5), (19.4) и (19.10) имеем

F1=  1 2  dn dr exp(-l).

(19.11)

С другой стороны, эту величину можно найти и из силы, действующей на заряд со стороны связи, удерживающей заряд в поле неподвижным. Эта сила численно равна силе со стороны поля и противоположна ей по знаку.

F1=  1 2  dn dr exp(-l) = -  q m0c2 F10V0 =

-  Qq m0c2r2 exp(-l/2).

(19.12)

Из (19.8)-(19.12) находим

exp(n/2)=-  q m0c2 у х F01 dr=  q m0c2 Aў0(r)+C1,

(48.18)

где A₀ў(r) определена в (48.13). Постоянную интегрирования C₁ определим из требования евклидовости пространства на бесконечности. Так как Aў₀(Ґ)=0, то C₁=1, поэтому имеем

exp(n/2)=1+  qAў0 m0c2 .

(48.19)

Используя (48.17), получим

exp ж и  l 2 ц ш = =-  r2 Q  ¶Aў0 ¶r 1+  qAў0 m0c2 .

(48.20)

Точно таким же способом, как и выше, можно определить геометрию и внутри заряженного шара, используя значения для потенциала (48.14). Индукцию D¹ определим из уравнения Максвелла (19.18с), которое в нашем случае сведется к виду

1 Ц g  ¶ ¶r ( Ц   g   D1)=4pr

(48.21)

Формальное решение имеет вид

D1=  4p Ц g у х r Ц   g   dr,

(48.22)

однако для вычисления интеграла нужно знать значение rЦ{g}. Естественно, что рассматриваемые заряды должны удовлетворять уравнению неразрывности. В согласии с нашей общей идеологией незаряженный шар находился в плоском пространстве -времени. Сразу после зарядки шара зарядом с постоянной плотностью r₀ пространство время стало римановым и плотность заряда r вообще говоря изменилась. Через некоторое время, равное времени реллаксации, метрика стала статической, представимой в форме (19.4). Из закона сохранения заряда до и после деформаций среды (35.14a) вытекает равенство

r Ц   g   =r0 Ц   g   0  ,

(48.23)

где Ц{g}₀=r²sinq - якобиан перехода в сферической системе координат плоского пространства. Последняя формула позволяет произвести интегрирование (48.22). В результате находим

D1=  Q R3 rexp ж и -  l 2 ц ш .

(48.24)

F01=-  ¶A0ў ¶r =  Qr R3 exp ж и  l+n 2 ц ш ,

(48.25)

где A₀ў(r) определяется из (48.14). По аналогии с (48.18), определяя постоянную интегрирования C₁ из требования евклидовости пространства в нуле, (что естественно, так как в центре сферы сила на заряд со стороны поля равна нулю) получим

C1=1-  qAў0(0) m0c2 ,

(48.26)

exp(n/2)=1+  qAў0(r) m0c2 -  qAў0(0) m0c2 ,

(48.27)

exp(l/2)=-  ¶A0ў ¶r R3 Qr ж и 1+  qAў0(r) m0c2 -  qAў0(0) m0c2 ц ш .

(48.28)

Займемся анализом полученных соотношений.

Если в метрики (48.19), (48.20), (48.27), (48.28) подставить классическое значение для потенциала (48.16) то получим выражения

expn = ж и 1+  qQ rm0c2 ц ш 2   .

(48.29)

Используя (48.17), получим

expl = =  1 ж и 1+  qAў0 m0c2 ц ш 2   .

(48.30)

expn = ж и 1-  3qQr2 2R3m0c2 ц ш 2   .

(48.31)

expl = =  1 ж и 1-  3qQr2 2R3m0c2 ц ш 2   .

(48.32)

Очевидно, что для слабых полей вне заряженной сферы геометрия пространства-времени подобна геометрии поля Шварцшильда в ОТО (после переобозначения постоянных взаимодействия), а внутри шара при тех же условиях совпадает с геометрией пространства постоянной кривизны де Ситтера [20]. Любопытно отметить, что точные решения уравнений Эйнштейна в нашем случае эквивалентны нерелятивистскому приближению. Следует отметить также, что потенциал вне заряженного по объему шара отличается от потенциала заряженной сферы, имеющей одинаковые с шаром радиус и заряд.

Представляет интерес вычислить энергию электрического поля заряженного шара. Для этого воспользуемся формулой (19.18e), отбрасывая интеграл по объему от дивергенции, дающий ноль.

W =  1 2 у х rA0ў Ц   g    dV,

(48.33)

где A₀ў определяется из (48.14). В согласии с (48.23) интеграл сведется к виду

W = 2pr0 у х R 0  r2 A0ў(r) dr.

(48.34)

Если подставить в последнюю формулу классическое значение потенциала (48.16) то получим

W = 2pr0 у х R 0  r2  3Q 2R3 ж и R2-  r2 3 ц ш  dr=  3Q2 2R

(48.35)

классическое выражение для энергии заряженного по объему шара. Для нашего случая получим для безразмерной энергии поля на один электрон W₀=W/(Nm₀c²) выражение

W0=  9 4 z й л у х 1 0   y2e-s2 s у х y 0  v у х s (s(1-2v)  eu2dudvdy+

+2 у х 1 0   y2e-s2 s у х 1 y  v у х s 0  eu2dudvdy щ ы ,

y=  r R ,   z=  r0 r ,   s=  y 2   ж Ц  2z 3   ,   r0 =  eQ m0c2 .

(48.36)

Если последнюю формулу применить к одному точечному электрону , то получим не бесконечную величину, как при классическом рассмотрении, а конечную, не превышающую W₀=5.7 Численное вычисление интеграла (48.36) приводит к значениям W₀(1/6000) = 9.167*10^-5, W₀(1)=0.516, W₀(25)=4.411, W₀(500)=5.555, W₀(1000)=5.588, W₀(5000)=5.637, W₀(10000)=5.675. Из анализа значений следует, что для малых значений z имеет место классическое выражение, а для очень больших z, соответствующих значению радиуса много меньшего классического, энергия не является расходящейся величиной. Следует отметить, что поле электрона, "заряженного" по объему, обладает большей энергией, чем поле электрона, "заряженного" по поверхности, как и при классическом рассмотрении. В классике это отношение равно 6/5, при нашем рассмотрении 5.67/2.

Рассмотрим сферический конденсатор, представляющий собой две концентрические радиусов R₁ и R₂, R₂ > R₁. Требуется вычислить емкость такого конденсатора для следующих двух случаев:

а). Внутренняя оболочка заряжена положительно, а внешняя - отрицательно,

б). Внутренняя оболочка заряжена отрицательно, а внешняя - положительно.

а). Для слабых полей, которые мы здесь и будем рассматривать, имеем из классики (напомним, что для слабых полей поле положительных зарядов совпадает с классическим) вклад в потенциал поля между сферами, созданный внутренней положительно заряженной оболочкой в виде

Aў10=  Q r ,    R1 Ј r Ј R2.

(49.1)

Отрицательные заряды (электроны), находящиеся на внутренней стороне внешней оболочки, будут притягиваться полем к центру сфер. Следовательно, сила со стороны металлической решетки, удерживающая электроны на поверхности металла, будет направлена по радиусу от центра сферы и поэтому будет вызывать положительное "ускорение". Внешний потенциал от такой сферы определяется формулой (19.3). Можно показать, что формула для потенциала, справедливая вне и внутри сферы радиуса R с положительным "ускорением" зарядов будет иметь вид

A0ў=  Qez2 2Rz у х z(2a+1) z(a+|1-a|)  exp(-u2)du,   a=  R r ,   z =  r R   ж Ц  eQ 8mc2R

(49.2)

Последняя формула может быть представлена в виде

A0= Qexp(z2) Ц p 4Rz й л F(z(1+2a))-F(z(a+|1-a|) щ ы ,

(49.3)

которая переходит в (19.3) при a < 1. Для нас интересен сейчас обратный случай, когда a > 1. Для этого случая имеем

A0= Qexp(z2) Ц p 4Rz й л F(z(1+2a))-F(z(2a-1) щ ы ,

(49.4)

Для случая слабого поля, используя известное разложение

F(z)=  2 Ц p e-z2 Ґ е n=0   2n 1·3...(2n+1) z2n+1,

(49.5)

поучим

A0-(r)=-  |Q| R2 ж и 1+z22 ж и  2 3 -4a2 ц ш ц ш ,    z2=  r R2   ж Ц  |e||Q| 8mc2R2

(49.6)

Разность потенциалов между внутренней и внешней обкладками конденсатора

DA0+=A0+(R1)-A0+(R2)=|Q| ж и  1 R1 -  1 R2 ц ш ,

DA0-=A0-(R1)-A0-(R2)=  |Q| R2  2 3 ж и 1-  R12 R22 ц ш d22,    d2=   ж Ц  |e||Q| 8mc2R2   ,

(49.7)

DA0=DA0++DA0- =  |Q| R1 -  |Q| R2 +  |Q| R2  2 3 d2(1-R12/R22).

(49.8)

Используя очевидное равенство

Q R2 =  |U|R1 R2-R1 ,

(49.9)

где |U| - величина подаваемого на конденсатор напряжения, находим выражение для емкости C⁺

C+=  |Q| |DA0| =  C0 1+  C0R1(R1+R2)|U||e| 12R23mc2

(49.10)

где C₀ - классическое значение емкости сферического конденсатора.