В этой главе, в отличие от предыдущей, не задается заранее структура НСО, приводящая в общем случае к выходу за рамки плоского пространства-времени, а рассматривается движение сплошной среды (базиса НСО) в плоском пространстве Минковского в заданном силовом поле. Однако и в этом случае возникает относительная кривизна пространства-времени, обусловленная несовпадением гиперповерхности ортогональной мировым линиям частиц базиса с гиперповерхностью одновременности. Разработке неголономного математического аппарата и его применению посвящена эта глава.

В предыдущих разделах было показано, что переход из ИСО в НСО в случае задания не только силового поля, действующего на частицы среды, но также и наложения условий на кинематические характеристики континуума, требует в общем случае выхода за рамки плоского пространства - времени. Однако, если не накладывать на характеристики континуума дополнительных условий, а ограничиться лишь интегрированием уравнений движения, например, в плоском пространстве - времени, то никакого выхода за рамки плоского пространства - времени не происходит. При использовании неголономных преобразований возникающий в неголономных координатах тензор кривизны в пространстве Минковского также тождественно равен нулю. Однако этот нулевой тензор может быть разбит на две ненулевые части, одна из которых выражается через символы Кристоффеля обычным образом, с использованием вместо частных производных производных по направлениям, а другая зависит от характеристик движущейся среды [38], [39].

Cистемам отсчета в теории гравитации в научной литературе уделяется большое внимание. Наиболее полно эти вопросы обсуждаются в монографиях В.И. Родичева [1], О.С. Иваницкой [22] и Ю.С. Владимирова [23], где приводится и обширная библиография.

Предлагаемый нами подход отображения НСО из ИСО при заданной метрике и заданному закону движения сплошной среды близок к теории хронометрических инвариантов (ТХИ) А.Л. Зельманова [24] и его монадному обобщению [23]. Суть метода отображения НСО из ИСО состоит в отыскании правил преобразования геометрических объектов, заданных в галилеевых координатах пространства Минковского (переменных Эйлера), через аффинные реперы лагранжевой сопутствующей НСО. "Пространственные" реперы такой НСО лежат в гиперповерхностях, ортогональных мировым линиям частиц среды, (неголономных при наличии вращений), а временные векторы совпадают с полем 4 - скоростей V^m, касательных мировым линиям.

Переходим к математической постановке задачи.

Пусть закон движения сплошной среды в произвольном силовом поле в пространстве Минковского определяется уравнениями

xm=Ym(y[^k],x[^0]0),

(10.1)

где x^m - эйлеровы координаты, а y^{[^k]} - лагранжевы координаты, постоянные вдоль каждой фиксированной мировой линии, (1/c)x^{[^0]0} - некоторый временной параметр, например, собственное время. Условимся, что индексы m принадлежат эйлеровым координатам, а индексы [^(m)] - лагранжевым. Дифференцируя (10.1) по y^{[^k]} и x^{[^0]0}, в каждой точке пространства- времени получим аффинный репер. Отметим, что временной ¶x^m/¶x^{[^0]0} и пространственные ¶x^m/¶y^{[^k]} векторы в общем случае не ортогональны друг другу. Однако из соотношения (10.1) могут быть построены реперы, у которых "временной" и "пространственные" векторы ортогональны, но эти реперы не являются результатом дифференцирования 4-радиуса вектора по лагранжевым координатам y^{[^k]} и x^{[^0]0}. Эти реперы неголономны, и соответствующие им коэффициенты Ламе имеют вид

hm[^k]= ж и dme-VmVe ц ш  ¶Ye ¶y[^k] ,   hm[^0]0=  ¶Ym ¶x[^0]0 =Vm,

h[^k]m=  ¶y[^k] ¶xm ,    h[^0]0m=Vm.

(10.2)

Для неголономных координат коэффициенты связности G_[^(a)][^b]^{[^(s)]} в пространстве Минковского можно представить в виде [50]

G[^(a)][^b][^(s)]=h[^(s)]e ^ ¶   he[^b] ^ ¶   y[^(a)] =-he[^b] ^ ¶   h[^(s)]e ^ ¶   y[^(a)] ,

(10.3)

где всюду в дальнейшем под символом [^(¶)]/[^(¶)]y^{[^(a)]} будем понимать производные по направлениям, определяемые как

^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 = ^ ¶ ^ ¶   x[^0]0 =Vm  ¶ ¶xm ,    ^ ¶ ^ ¶   y[^k] =hm[^k]  ¶ ¶xm

(10.4)

В формуле (10.3) предполагается, что в пространстве Минковского выбраны галилеевы координаты. Для произвольных криволинейных координат формула для связности примет вид

G[^(a)][^b][^(s)]=-he[^b] ^ ¶   h[^(s)]e ^ ¶   y[^(a)] +Gnlmh[^(s)]mhn[^b]hl[^(a)],

(10.3a)

где G_nl^m - связность в пространстве Минковского. Из коэффициентов Ламе образуем объект неголономности C^{[^(s)]}_[^(a)][^b].

C[^(a)][^b].[^(s)]=-G[[^(a)][^b]][^(s)]=  1 2 ж и he[^b] ^ ¶   h[^(s)]e ^ ¶   y[^(a)] -he[^(a)] ^ ¶   h[^(s)]e ^ ¶   y[^b] ц ш =  1 2 hn[^(a)]he[^b] ж и  ¶h[^(s)]e ¶xn -  ¶h[^(s)]n ¶xe ц ш .

(10.5)

Следуя Схоутену [50], для неголономных преобразований связность G_[^(a)][^b]^{[^(s)]} представим в форме

G[^(a)][^b][^(s)]= м н о [^(s)] [^(a)][^b] ь э ю +T[^(a)][^b][^(s)],    T[^(a)][^b][^(s)]=-C[^(a)][^b][^(s)]+g[^(a)][^(e)]g[^(s)][^(n)]C[^b][^(n)].[^(e)]+g[^b][^(e)]g[^(s)][^(n)]C[^(a)][^(n)].[^(e)].

(10.6)

Если вычислить тензор Римана-Кристоффеля в пространстве Минковского, то он тождественно равен нулю. Ясно, что переход в лагранжеву сопутствующую НСО с помощью коэффициентов Ламе (10.2) не делает тензор кривизны отличным от нуля, а приводит к тождеству [50]

R[^(a)][^b][^(g)]...[^(m)]=2 ^ ¶   [[^(a)]  G[^(m)][^b]][^(g)]+2G[^(m)][[^(a)]|[^(e)]|G[^(e)][^b]][^(g)]+2C[^(e)][^(a)][^b]G[^(m)][^(e)][^(g)] є 0.

(10.7)

Из (10.6) и (10.7) следует

^ R   ...[^(m)] [^(a)][^b][^(g)]  =-2 ^ С   [[^(a)]  T[^(m)][^b]][^(g)]-2T[^(m)][[^(a)]|[^(e)]|T[^(e)][^b]][^(g)]-2C[^(e)][^(a)][^b]T[^(m)][^(e)][^(g)].

(10.8)

В соотношении (10.8) тензор кривизны вычисляется с помощью символов Кристоффеля {(^{[^(s)]}) || (_[^(a)][^b])}, полученных из метрических коэффициентов

^ g   [^(a)][^b]  =gmnhm[^(a)]hn[^b],    ^ g   [^0]0[^0]0  =1,    ^ g   [^0]0[^k]  =0,

(10.9)

где g_mn - метрический тензор в эйлеровых координатах пространства Минковского. Символы Кристоффеля вычисляются обычным способом с заменой частных производных производными по направлениям, а оператор [^(С)]_[^(a)] вычисляется с помощью кристоффелевой связности.

Таким образом неголономные преобразования привели к отличному от нуля тензору кривизны, вычисляемому с помощью кристоффелевой части связности (10.6).

Как будет следовать далее из анализа уравнений движения, тензор кривизны [^R]_{[^(a)][^b][^(g)]}^{...[^(m)]} можно назвать относительным тензором кривизны НСО.

Для неголономных координат имеют место следующие коммутационные соотношения [50]

^ ¶   2   ^ ¶   y[^b] ^ ¶   y[^(a)] - ^ ¶   2   ^ ¶   y[^(a)] ^ ¶   y[^b] =2C[^(a)][^b][^(g)] ^ ¶ ^ ¶   y[^(g)] .

(10.10)

Конкретный вид объекта неголономности зависит от выбранных коэффициентов Ламе, которые определяются в зависимости от выбора временного параметра вдоль мировых линий частиц базиса. Например, если в качестве временного параметра выбрать собственное время, как это было сделано в (10.2), то вычисление объекта неголономности приводит к соотношениям

C[^k][^l][^0]0=W[^k][^l],   2C[^0]0[^k][^0]0=F[^k],   C[^(a)][^b][^k]=0,

(10.11)

где

W[^k][^l]=Ømnhm[^k]hn[^l],   F[^k]=Fmhm[^k].

(10.12)

При получении (10.12) можно воспользоваться соотношениями (1.4) и (1.5), в которых тензор угловой скорости вращения и вектор 4 - ускорения рассматриваются в эйлеровых координатах пространства Минковского и проектируются с помощью параметров Ламе в сопутствующую лагранжеву НСО. Для объекта неголономности (10.11) коммутационные соотношения (10.10) сводятся к виду

^ ¶   2   ^ ¶   y[^k] ^ ¶   y[^l] - ^ ¶   2   ^ ¶   y[^l] ^ ¶   y[^k] =2Ø[^l][^k] ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 ,    ^ ¶   2   ^ ¶   y[^k] ^ ¶   y[^0]0 - ^ ¶   2   ^ ¶   y[^0]0 ^ ¶   y[^k] =F[^k] ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 .

(10.13)

Коммутационные соотношения (10.13) эквивалентны коммутационным соотношениям ТХИ Зельманова [54]. Из вида метрики (10.9), разложения (10.6) и коэффициентов Ламе (10.2) получаем

м н о [^0]0 [^0]0[^0]0 ь э ю = м н о [^k] [^0]0[^0]0 ь э ю = м н о [^0]0 [^0]0[^k] ь э ю =0,    м н о [^0]0 [^k][^l] ь э ю =-§[^k][^l], м н о [^k] [^n][^l] ь э ю =l[^n][^l][^k],    м н о [^k] [^0]0[^n] ь э ю =§[^n][^k],    T[^0]0[^k].[^0]0=-F[^k],   T[^0]0[^0]0.[^k]=F[^k],

T[^m][^l].[^k]=T[^m][^l],[^k]=T[^k][^0]0.[^0]0=0,    T[^0]0[^l].[^k]=T[^l][^0]0[^k]=Ø[^l].[^k],    T[^k][^l][^0]0=-Ø[^k][^l].

(10.14)

Так как

§[^k][^l]+Ø[^k][^l]=hn[^k]hm[^l]СmVn,

(10.15)

то можно показать, дифференцируя по y^{[^0]0}, что имеет место следующее кинематическое тождество

^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 ж и S[^k][^l]+Ø[^k][^l] ц ш є ^ g   [^m][^n]   ж и S[^l][^n]+Ø[^l][^n] ц ш ж и S[^k][^m]+Ø[^k][^m] ц ш + ^ С   [^k]  F[^l]-F[^k]F[^l],

(10.16)

откуда, альтернируя, имеем

^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 W[^k][^l] є ^ С   [[^k]  F[^l]].

(10.17)

Симметрирование выражения (10.16) дает

^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 S[^k][^l] є ^ g   [^m][^n]   ж и S[^l][^n]+Ø[^l][^n] ц ш ж и S[^k][^m]+Ø[^k][^m] ц ш + ^ С   ([^k]  F[^l])-F[^k]F[^l].

(10.18)

Хотя относительный тензор кривизны НСО вычисляется с помощью символов Кристоффеля так же, как и обычный тензор кривизны в римановом пространстве, однако при выражении связности через метрический тензор используются не обычные частные производные, а производные по направлениям. Поэтому относительный тензор кривизны обладает специфическими особенностями, которые возникают из-за некоммутативности производных по направлениям. Например, известное тождество Риччи будет иметь вид

^ R   ...[^(m)] [^(a)][^b],[^(g)]  + ^ R   ...[^(m)] [^b][^(g)],[^(a)]  + ^ R   ...[^(m)] [^(g)][^(a)],[^b]

= 2 й л C[^(a)][^b].[^(s)] м н о [^(m)] [^(s)][^(g)] ь э ю +C[^b][^(g)].[^(s)] м н о [^(m)] [^(s)][^(a)] ь э ю +C[^(g)][^(a)].[^(s)] м н о [^(m)] [^(s)][^b] ь э ю щ ы

(10.18a)

Для тождества Бианки имеем выражение

^ С   [^(e)]  ^ R   ...[^(m)] [^(a)][^b],[^(g)]  + ^ С   [^(a)]  ^ R   ...[^(m)] [^b][^(e)],[^(g)]  + ^ С   [^b]  ^ R   ...[^(m)] [^(e)][^(a)],[^(g)]

= 2C[^(e)][^(a)].[^(s)] ^ R   ...[^(m)] [^b][^(s)],[^(g)]  +2C[^(a)][^b].[^(s)] ^ R   ...[^(m)] [^(e)][^(s)],[^(g)]  +2C[^b][^(e)].[^(s)] ^ R   ...[^(m)] [^(a)][^(s)],[^(g)]  ,

(10.19)

для доказательства которого удобно перейти в локально геодезическую систему координат.

Тензор кривизны (10.8) можно представить в другой эквивалентной форме

^ R   ...[^(m)] [^(a)][^b],[^(g)]  =2 ^ ¶   [[^(a)]  м н о [^(m)] [^b]][^(g)] ь э ю +2 м н о [^(m)] [[^(a)]|[^(e)]| ь э ю м н о [^(e)] [^b]][^(g)] ь э ю +2C[^(a)][^b].[^(e)] м н о [^(m)] [^(e)][^(g)] ь э ю

є K[^(a)][^b],[^(g)]...[^(m)]+2C[^(a)][^b].[^(e)] м н о [^(m)] [^(e)][^(g)] ь э ю .

(10.20)

K_{[^(a)][^b],[^(g)]}^{...[^(m)]} не является тензором относительно голономных преобразований лагранжевых переменных, хотя по виду не отличается от обычного тензора кривизны. Однако замена частных производных производными по направлениям приводят к изменению трансформационных свойств.

Так как мы рассматриваем два рода ковариантных производных [^(С)]_[^(a)] и [(С)\tilde]_[^(a)], вычисляемых соответственно с помощью кристоффелевой части связности (10.6) и полной неголономной связности (10.3), то должны выполняться условия согласования. Можно доказать, что таким условием согласования является непосредственно проверяемое соотношение

~ С   [^(a)]  ^ g   [^b][^(g)]  = ^ С   [^(a)]  ^ g   [^b][^(g)]  =0.

(10.21)

Проведем дальнейший анализ относительного тензора кривизны. Рассмотрим выражение

0= ^ С   [[^(a)]  ^ С   [^(m)]]  ^ g   [^(l)][^(n)]  =C[^(m)][^(a)].[^(g)] ^ ¶   ^ g   [^(l)][^(n)]  ^ ¶   y[^(g)] -K[^(a)][^(m)],([^(l)][^(n)]).

(10.22)

Используя (10.20), находим

^ R   [^(a)][^b],([^(g)][^(m)])  =0.

(10.23)

Свертывая (10.18) по [^(m)] и [^(g)], получим

^ R   [[^(a)][^b]]  = C[^(a)][^b].[^(s)] м н о [^(m)] [^(s)][^(m)] ь э ю +C[^b][^(g)].[^(s)] м н о [^(g)] [^(s)][^(a)] ь э ю +C[^(g)][^(a)].[^(s)] м н о [^(g)] [^(s)][^b] ь э ю .

(10.24)

Из (10.25) следует, что относительный тензор Риччи не является симметричным. Отсутствие симметрии тензора Риччи косвенно связано с тем, что

^ R   [^(a)][^b],[^(g)][^(m)]  № ^ R   [^(g)][^(m)],[^(a)][^b]  .

(10.25)

Образуем тензор, обладающий такими же свойствами симметрии, как и обычный тензор Римана-Кристоффеля. Для этого построим тензор

~ R   [^(a)][^b],[^(g)][^(m)]  =  1 2 ж и ^ R   [^(a)][^b],[^(g)][^(m)]  + ^ R   [^(g)][^(m)],[^(a)][^b]  ц ш ,

(10.26)

обладающий такими же свойствами симметрии, как и тензор Римана-Кристоффеля. Воспользуясь предыдущими формулами, можно показать, что построенный тензор удовлетворяет обычному тождеству Риччи

~ R   [^(a)][^b],[^(g)][^(m)]  + ~ R   [^b][^(g)],[^(a)][^(m)]  + ~ R   [^(g)][^(a)],[^b][^(m)]  =0,

(10.27)

из которого вытекает симметрия тензора Риччи [R\tilde]_[^(a)][^b]. Отметим равенство

^ R   [^b][^(m)],[^(g)][^(a)]  - ^ R   [^(g)][^(a)],[^b][^(m)]  =C[^(g)][^b].[^0]0 ^ ¶   ^ g   [^(m)][^(a)]  ^ ¶   y[^0]0 +

+C[^b][^(a)].[^0]0 ^ ¶   ^ g   [^(g)][^(m)]  ^ ¶   y[^0]0 +C[^(m)][^(g)].[^0]0 ^ ¶   ^ g   [^b][^(a)]  ^ ¶   y[^0]0 +C[^(a)][^(m)].[^0]0 ^ ¶   ^ g   [^b][^(g)]  ^ ¶   y[^0]0 .

(10.28)

Вычисление компонент тензора кривизны [R\tilde]_{[^(a)][^b],[^(g)][^(m)]} дает

~ R   [^a][^b],[^c][^q]  = Ø[^q][^b]Ø[^a][^c]-Ø[^q][^a]Ø[^b][^c]-2Ø[^a][^b]Ø[^c][^q], ~ R   [^a][^b],[^c][^0]0  =2 ^ С   [[^a]  W[^b]][^c]+2Ø[^a][^b]F[^c]-  1 2 F[^b]§[^a][^c]+  1 2 F[^a]§[^c][^b],

~ R   [^0]0[^b],[^c][^0]0  = F[^b]F[^c]- ^ С   ([^b]  F[^c])-2§[^n]([^b]Ø[^c])[^n]+Ø[^n][^c]Ø[^b].[^n].

(10.29)

Пространственные компоненты относительного тензора кривизны могут быть представлены в форме

~ R   [^a][^b],[^c][^q]  =\breveR[^a][^b],[^c][^q]-2§[^q][[^a]§[^b]][^c],

(10.30)

где \breveR_{[^a][^b],[^c][^q]} - трехмерный тензор кривизны на гиперповерхности ортогональной мировым линиям частиц среды. Эта гиперповерхность неголономна при наличии вращений. Из (10.29) и (10.30) находим

\breveR[^a][^b],[^c][^q] = 2§[^q][[^a]§[^b]][^c]+Ø[^q][^b]Ø[^a][^c]-Ø[^q][^a]Ø[^b][^c]-2Ø[^a][^b]Ø[^c][^q].

(10.31)

При отсутствии вращений (10.31) переходит в выражение полученное ранее автором из других соображений [46].

Введем ряд полезных в дальнейшем тождеств

^ V   [^(a)]  =hm[^(a)]Vm=d[^0]0[^(a)],    ~ С   [[^(a)]  ~ С   [^b]]  ^ V   [^(g)]  =0= = ^ С   [[^(a)]  ~ С   [^b]]  ^ V   [^(g)]  -T[[^(a)][^b]].[^(e)] ~ С   [^(e)]  ^ V   [^(g)]  -T[[^(a)]|[^(g)]|.[^(e)] ~ С   [^b]]  ^ V   [^(e)]  ,

~ С   [^k]  ^ V   [^l]  =§[^k][^l]+Ø[^k][^l],    ~ С   [^0]0  ^ V   [^l]  =F[^l],    ~ С   [^k]  ^ V   [^0]0  = ~ С   [^0]0  ^ V   [^0]0  =0.

(10.32)

Из (10.32) следует

^ С   [[^a]  S[^b]][^c]+ ^ С   [[^a]  W[^b]][^c] = -Ø[^a][^b]F[^c].

(10.33)

Произведя циклическую перестановку индексов [^a], [^b], [^c] в (10.33), получим два дополнительные тождества, складывая которые с (10.33), имеем тождество

^ С   [^a]  W[^b][^c]+ ^ С   [^b]  W[^c][^a]+ ^ С   [^c]  W[^a][^b]+F[^a]Ø[^b][^c]+F[^b]Ø[^c][^a]+F[^c]Ø[^a][^b] є 0.

(10.34)

Аналогичное тождество получено в работе [24]. Используя выражения (10.18) и (10.33), запишем (10.29) в виде

~ R   [^a][^b],[^c][^0]0  =- ^ С   [[^a]  S[^b]][^c]-  1 2 F[^b]§[^a][^c]+  1 2 F[^a]§[^c][^b],

~ R   [^0]0[^b],[^c][^0]0  =- ^ ¶   S[^b][^c] ^ ¶   y[^0]0 +§[^n][^c]§[^b][^n].

(10.35)

Из (10.29) и (10.35) следует, что для жестких в смысле Борна безвихревых НСО относительный тензор кривизны равен нулю. Для компонент тензора Риччи имеем ¹

~ R   [^b][^c]  = - ^ ¶   S[^b][^c] ^ ¶   y[^0]0 +§[^n][^n]§[^b][^c]+2§[^n][^c]§[^b][^n]+\breveR[^b][^c] є F[^b]F[^c]- ^ С   ([^b]  F[^c])-2§[^n]([^b]Ø[^c])[^n]+Ø[^n][^b]Ø[^c].[^n], ~ R   [^b][^0]0  = - ^ С   [^a]  W[^b].[^a]-2Ø[^a][^b]F[^a]-  1 2 F[^a]§[^a][^b]+  1 2 F[^b]§[^c][^c] є ^ С   [^a]  S[^a][^b]- ^ С   [^b]  S[^a][^a]+  1 2 F[^b]§[^a][^a]-  1 2 F[^a]§[^a][^b],

~ R   [^0]0[^0]0  = - ^ ¶   S[^b][^b] ^ ¶   y[^0]0 -§[^n][^c]§[^n][^c] є F[^n]F[^n]- ^ С   [^n]  F[^n]+Ø[^n][^b]Ø[^b][^n].

(10.36)

Для скалярной кривизны получим

~ R   = 2F[^n]F[^n]-2 ^ С   [^n]  F[^n]-Ø[^n][^b]Ø[^b][^n].

(10.37)

Из тождества (10.19) найдем укороченное тождество Бианки.

^ С   [^(a)]  ж и ~ R   [^(e)][^(a)]   -  1 2 ^ g   [^(e)][^(a)]   ~ R   ц ш =- ^ С   [^(a)]  ^ R   [[^(e)][^(a)]]

+2C[^(e)].[^(a)][^(s)] ж и ^ R   [^(s)][^(a)]   + ^ R   [[^(s)][^(a)]]   ц ш +C[^b][^(a)],[^(s)] ^ R   [^(e)][^(s)],[^b][^(a)]   .

(10.38)

Из выражения (10.38) видно, что тензор Эйнштейна для НСО, стоящий в круглых скобках в левой части равенства, существенно отличается от тензора Эйнштейна в ОТО, для которого правая часть равенства тождественно равна нулю.

Сравним полученные результаты с результатами А.Л. Зельманова [24], введя для удобства сравнения обозначения, используемые в [24].

^ g   [^a][^b]  =-hab,   §[^a][^b]=-  1 c Dab,    Ø[^c][^(a)]=-Aca,   §[^a][^a]=  1 c D, §[^n][^c]=  1 c Dnc,   Ø[^c].[^(a)]=  1 c Ac.a,    F[^b]=  1 c2 Fb,   F[^a]=-  1 c2 Fa,

^ ¶ ^ ¶   y[^k] =  *¶ ¶xk ,    ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 =  1 c  *¶ ¶t .

(10.38 a)

Используя соотношения (10.36), получим следующие тождества в обозначениях Зельманова

*¶Dik ¶t - ж и Dij+Aij ц ш ж и Djk+Ajk. ц ш +DDik-DijDjk +3AijAjk.+ ^ С   (i  Fk)-  1 c2 FiFk+c2\breveRik є 0, ^ С   j  ж и hijD-Dij-Aij ц ш +  2 c2 FiAij є 0,

*¶D ¶t +DjkDkj+AjkAkj+ ^ С   j  Fj-  1 c2 FjFj є 0.

(10.39)

Левые части тождеств в (10.39) представляют компоненты тензора Риччи, задающие левую часть уравнений Эйнштейна в ТХИ. В нашем случае эти компоненты равны нулю. Полученный результат не является неожиданным. Исходное пространство, в котором изучалось движение сплошной среды, было плоским пространством Минковского. Возникновение отличного от нуля относительного тензора кривизны обусловлено разделением нулевого неголономного тензора кривизны плоского пространства-времени на две ненулевых части.

Если бы исходное пространство было римановым, что имеет место в ОТО, то в левой части равенства (10.8) добавился бы тензор кривизны исходного пространства, заданный в неголономной сопутствующей лагранжевой НСО. Это должно было привести и к изменению некоторых кинематических тождеств. В частности, в правой части тождества (10.33) добавится член

~ С   [[^a]  ~ С   [^b]]  ^ V   [^c]  =-  1 2 R[^a][^b],[^c].[^0]0.

Произведя в новом тождестве свертку по [^a] и [^c], поднимая индекс [^b], получим выражение R^{[^b][^0]0} компоненты тензора Риччи в теории Зельманова.

Целью предлагаемого в этом разделе исследования является выделение вклада в кривизну пространства-времени, обусловленного неинерциальностью наблюдателей, движущихся вместе с средой в произвольном силовом поле. Так как поле 4-скоростей V_m появилось, как результат интегрирования релятивистского уравнения движения сплошной среды в плоском пространстве- времени, то разложение (1.1) выступает в качестве математического тождества. Хотя закон движения сплошной среды в переменных Лагранжа (10.1) голономен, однако "пространственные" векторы аффинных реперов, соединяющие соседние лагранжевы частицы, не могут появиться как результат дифференцирования 4-радиуса вектора x^m по лагранжевым координатам y^{[^k]}, так как гиперповерхность одновременных событий, когда в качестве временного параметра используется собственное время, не ортогональна мировым линиям частиц среды. Поэтому из физического требования "размещения" пространственных реперов на ортогональной мировым линиям гиперповерхности, возникает отличный от нуля объект неголономности.

Вид объекта неголономности зависит и от выбора временного параметра. Для элемента интервала с помощью (1.10) и (9.10) находим

dS2=dy[^0]02+g*mn  ¶Ym ¶y[^n]  ¶Yn ¶y[^k] dy[^n]dy[^k],   g*mn = gmn-VmVn.

(10.40)

g^*_mn - проекционный оператор в пространстве Минковского, проектирующий тензоры на ортогональную мировым линиям частиц базиса гиперповерхность.

dy[^0]0=dx[^0]0+Vm  ¶Ym ¶y[^n] dy[^n]=Vmdxm.

(10.41)

Из (10.41) видно, что dy^{[^0]0} не является полным дифференциалом, т.е. y^{[^0]0} - неголономная координата.

Элемент интервала (10.40) эквивалентен разбиению в сопутствующей НСО четырехмерного интервала на две части, одна из которых dy^{[^0]0}=V_mdx^m есть элемент времени наблюдателя, движущегося вместе с средой, а другая - элемент трехмерного интервала на ортогональной мировым линиям частиц среды гиперповерхности. Аналогичное разбиение приводится в [24] и [40]. Так как в сопутствующей НСО справедливы очевидные соотношения

V[^k]=h[^k]mVm=  dy[^k] dx[^0]0 =0,

V[^k]=Vm  ¶Ym ¶y[^k] = g[^k][^(a)]V[^(a)]=g[^k][^0]0V[^0]0=  g[^k][^0]0 Ц g[^0]0[^0]0 ,

(10.42)

то элемент пространственного интервала в лагранжевой сопутствующей НСО имеет вид

dl2= ж и  g[^n][^0]0g[^k][^0]0 g[^0]0[^0]0 -g[^n][^k] ц ш dy[^n]dy[^k].

(10.43)

Элемент интервала (10.43) совпадает с хорошо известным соотношением [7]. Отметим, что соотношения (10.42) и (10.43) являются общими и не зависят от конкретного вида параметров Ламе (10.2).

Построенный нами относительный тензор кривизны является тензором относительно неголономных преобразований. Представляет интерес построить относительный тензор кривизны, который соответствует обычному общековариантному тензору Римана-Кристоффеля относительно произвольных голономных преобразований.

В согласии с (10.6) неголономная связнось раскладывается на кристоффелеву часть связности и сумму объектов неголономности. При этом кристоффелева часть связности вычисляется через метрический тензор (10.9) по формуле

м н о [^(s)] [^(a)][^b] ь э ю =  1 2 ^ g   [^(s)][^(g)]   ( ^ ¶   [^(a)]  ^ g   [^b][^(g)]  + ^ ¶   [^b]  ^ g   [^(g)][^(a)]  - ^ ¶   [^(g)]  ^ g   [^(a)][^b]  ),

^ ¶   [^(a)]  є ^ ¶ ^ ¶   y[^(a)] .

(10.44)

Очевидно, что связность (10.44) отличается от обычной голономной связности тем, что в связности (10.44) вместо частных производных стоят производные по направлениям. Исходя из определения производной по направлениям, имеем c использованием (10.2)

^ ¶   [^(a)]  =hm[^(a)]  ¶ ¶xm =  ¶ ¶y[^(a)] +L[^(a)]  ¶ ¶s ,   L[^(a)] є ^ V   [^(a)]  -V[^(a)],

^ V   [^(a)]  =hm[^(a)] Vm=d[^0]0[^(a)],   V[^(a)]=Vm  ¶xm ¶y[^(a)] ,

(10.45)

где дифференцирование по y^{[^0]0} эквивалентно дифференцированию по x^{[^0]0} или по длине s вдоль мировых линий базиса.

Из (10.45) следует, что L_[^0]0=0.

Из (10.6) и (10.45) находим

м н о ^ a   ^ b   , ^ g   ь э ю = ~ G   [^(a)][^b],[^(g)]  + ~ T   [^(a)][^b][^(g)]  ,    ~ T   [^(a)][^b][^(g)]  =L[^b]§[^(g)][^(a)]+L[^(a)]§[^(g)][^b]-L[^(g)]§[^(a)][^b],

§[^(g)][^(a)]=  1 2 ¶ ^ g   [^(a)][^b]  ¶s ,   §[^0]0[^0]0 = §[^0]0[^k]=0,

(10.46)

где [(G)\tilde]_{[^(a)][^b],[^(g)]} - голономная кристоффелева связность, вычисляемая по метрике (10.9). На основе проведенного анализа неголономная связность, определяемая разложением (10.6), может быть представлена в виде

G[^(a)][^b][^(s)]= ~ G   [^(s)] [^(a)][^b]  +P[^(a)][^b][^(s)],    P[^(a)][^b][^(s)]=T[^(a)][^b][^(s)]+ ~ T   [^(s)] [^(a)][^b]  .

(10.47)

Заменив в формуле (10.7) неголономную связность G_[^(a)][^b]^{[^(s)]} на сумму связностей из (10.47), получим с учетом (10.45) и (10.6) разложение

R[^(a)][^b][^(g)]...[^(m)]=2¶[[^(a)] ~ G   [^(m)] [^b]][^(g)]  +2¶[[^(a)]P[^(m)][^b]][^(g)]

+2L[[^(a)]  ¶G[^b]][^(g)][^(m)] ¶s +2G[^(m)][[^(a)]|[^(e)]|G[^(e)][^b]][^(g)]+2C[^(e)][^(a)][^b]G[^(m)][^(e)][^(g)] є 0.

(10.48)

Из разложения (10.48) можно выделить в явном виде член вида

~ K   ...[^(m)] [^(a)][^b][^(g)]  =2¶[[^(a)] ~ G   [^(m)] [^b]][^(g)]  +2 ~ G   [^(m)] [[^(a)]|[^(e)]|  ~ G   [^(e)] [^b]][^(g)]  ,

(10.49)

который соответствует обычному общековариантному относительно голономных преобразований тензору Римана-Кристоффеля. Из (10.48) и (10.49) имеем

- ~ K   ...[^(m)] [^(a)][^b][^(g)]  =2С[[^(a)]P[^(m)][^b]][^(g)]+2P[^(m)][[^(a)]|[^(e)]|P[^(e)][^b]][^(g)]+2C[^(e)][^(a)][^b]G[^(m)][^(e)][^(g)]+2L[[^(a)]  ¶G[^b]][^(g)][^(m)] ¶s .

(10.50)

По поводу формулы (10.50) необходимо сделать следующие замечания:

1. Ковариантная производная в правой части (10.50) вычисляется обычным образом (как для тензора) по голономной кристоффелевой связности от объекта P_[^(a)][^b]^{[^(s)]}, который не является тензором относительно голономных преобразований.

2. Все величины, входящие в правую часть равенства (тождества) (10.50), также не являются тензорами относительно голономных преобразований, однако их комбинация является общековариантным тензором.

Таким образом, в лагранжевой сопутствующей системе отсчета можно ввести в общей координации три связности: абсолютную неголономную связность G^{[^(m)]}_[^(e)][^(g)], вычисляемую по формуле (10.3), относительную неголономную связность {(^{[^(s)]}) || (_[^(a)][^b])}, задаваемую с помощью разложения (10.6) и относительную голономную связность [(G)\tilde]_{[^(a)][^b],[^(g)]}, получаемую из разложения (10.46).

Ясно, что это возможно только в том случае, если ковариантные производные от метрического тензора (10.9) для каждой из связностей равны нулю. Докажем, что это именно так. Используя формулы (10.3) и (10.9), подставляя их в выражение

~ С   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  = ^ ¶   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  -G[^(m)][^(a)][^(n)] ^ g   [^(n)][^b]  -G[^(m)][^b][^(n)] ^ g   [^(a)][^(n)]  ,

(10.51)

убеждаемся, что [(С)\tilde]_[^(m)][^g]_[^(a)][^b] є 0.

Используя разложение (10.6) находим с помощью (10.51)

^ С   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  = ~ С   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  +T[^(m)][^(a)][^(n)] ^ g   [^(n)][^b]  +T[^(m)][^b][^(n)] ^ g   [^(a)][^(n)]  .

(10.52)

Так как сумма двух тензоров аффинной деформации связности ² в последней формуле дает ноль, то [^(С)]_[^(m)][^g]_[^(a)][^b]=[(С)\tilde]_[^(m)][^g]_[^(a)][^b]=0. Наконец из равенства

С[^(m)] ^ g   [^(a)][^b]  = ^ С   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  +T*[^(m)][^(a)],[^b]+T*[^(m)][^b],[^(a)]-2L[^(m)]§[^(a)][^b],

T*[^(m)][^(a)],[^b]=L[^(m)]§[^(a)][^b]+L[^(a)]§[^(m)][^b]-L[^b]§[^(m)][^(a)]

(10.53)

следует, что

T*[^(m)][^(a)],[^b]+T*[^(m)][^b],[^(a)]-2Lm§[^(a)][^b]=0.

(10.54)

Поэтому имеем окончательно

~ С   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  = ^ С   [^(m)]  ^ g   [^(a)][^b]  =С[^(m)] ^ g   [^(a)][^b]  =0.

(10.55)

Развитый в этом параграфе математический аппарат, описывающий свойства лагранжевых сопутствующих систем отсчета с заданным законом движения (10.1), предполагал, что в (10.1) в качестве временного параметра фигурировало собственное время. Однако часто при описании перехода из ИСО в НСО используется другой временной параметр, например, время ИСО. Поэтому интересно разработать такой аппарат, который был бы пригоден для произвольного временного параметра. Будем считать, в (10.1), что x^{[^0]0} - произвольный временной параметр. Для 4 - скорости V^m в переменных Лагранжа справедливо соотношение

Vm=Q  ¶Ym ¶x[^0]0 ,

(10.56)

где множитель Q определяется из условия нормировки 4 - скорости на единицу.

Q2=  1 gmn  ¶Ym ¶x[^0]0  ¶Yn ¶x[^0]0 ,

(10.57)

Cоответствующие коэффициенты Ламе имеют вид

hm[^k]= ж и dme-VmVe ц ш  ¶Ye ¶y[^k] ,   hm[^0]0=  ¶Ym ¶x[^0]0 =  Vm Q ,

h[^k]m=  ¶y[^k] ¶xm ,    h[^0]0m=QVm.

(10.58)

Для неголономных координат коэффициенты связности G_[^(a)][^b]^{[^(s)]} в пространстве Минковского можно представить в виде (10.3) и разложения (10.6) Из коэффициентов Ламе образуем объект неголономности C^{[^(s)]}_[^(a)][^b] (10.5). Конкретный вид объекта неголономности зависит от выбранных коэффициентов Ламе, которые определяются в зависимости от выбора временного параметра вдоль мировых линий частиц базиса. Для случая (10.58) находим

C[^k][^l][^0]0=QW[^k][^l],   2C[^0]0[^k][^0]0=F[^k]- ^ ¶    ln Q ^ ¶   y[^k] ,   C[^(a)][^b][^k]=0,

(10.59)

где

W[^k][^l]=Ømnhm[^k]hn[^l],   F[^k]=Fmhm[^k].

(10.60)

Метрические коэффициенты для параметров Ламе (10.58), имеют вид

^ g   [^(a)][^b]  =gmnhm[^(a)]hn[^b],    ^ g   [^0]0[^0]0  =  1 Q2 ,    ^ g   [^0]0[^k]  =0,

(10.61)

где g_mn - метрический тензор в эйлеровых координатах пространства Минковского. Символы Кристоффеля вычисляются обычным способом с заменой частных производных производными по направлениям, а оператор [^(С)]_[^(a)] вычисляется с помощью кристоффелевой связности. Коммутационные соотношения для производных по направлениям даются общими формулами, (10.10), которые для нашего случая дают

^ ¶   2   ^ ¶   y[^k] ^ ¶   y[^l] - ^ ¶   2   ^ ¶   y[^l] ^ ¶   y[^k] =2QØ[^l][^k] ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 = 2Ø[^l][^k]  ¶ ¶s ,

^ ¶   2   ^ ¶   y[^k] ^ ¶   y[^0]0 - ^ ¶   2   ^ ¶   y[^0]0 ^ ¶   y[^k] = ж и F[^k]- ^ ¶    ln Q ^ ¶   y[^k] ц ш ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 =  1 Q ж и F[^k]- ^ ¶    ln Q ^ ¶   y[^k] ц ш  ¶ ¶s .

(10.62)

Для компонент тензора аффинной деформации связности находим

T[^0]0[^k],[^0]0=- ж и F[^k]- ^ ¶    ln Q ^ ¶   y[^k] ц ш  1 Q2 ,   T[^0]0[^0]0,[^k] = ж и F[^k]- ^ ¶    ln Q ^ ¶   y[^k] ц ш  1 Q2 ,

T[^m][^l],[^k]=T[^k][^0]0,[^0]0=0,    T[^0]0[^l],[^k]=T[^l][^0]0,[^k]=  1 Q W[^l][^k],    T[^k][^l],[^0]0=-  1 Q W[^k][^l].

(10.63)

Построение относительного неголономного и голономного тензора кривизны производится по тем же правилам, что и ранее. Производные по направлениям связаны с частными производными формулой

^ ¶   [^(a)]  =hm[^(a)]  ¶ ¶xm =  ¶ ¶y[^(a)] +L[^(a)]  ¶ ¶x[^0]0 ,

L[^(a)] є ж и d[^0]0[^(a)]-QV[^(a)] ц ш ,   V[^(a)]=Vm  ¶xm ¶y[^(a)] .

(10.64)

В согласии с (10.6) неголономная связнось раскладывается на кристоффелеву часть связности и сумму объектов неголономности. При этом кристоффелева часть связности вычисляется через метрический тензор (10.9) по формуле (10.44) Очевидно, что связность (10.44) отличается от обычной голономной связности тем, что в связности (10.44) вместо частных производных стоят производные по направлениям. Исходя из определения производной по направлениям, c использованием (10.2) и (10.64) находим

м н о ^ a   ^ b   , ^ g   ь э ю = ~ G   [^(a)][^b],[^(g)]  + ~ T   [^(a)][^b][^(g)]  , ~ T   [^(a)][^b][^(g)]  =  1 Q й л L[^b]§[^(g)][^(a)]+L[^(a)]§[^(g)][^b]-L[^(g)]§[^(a)][^b] щ ы ,

§[^(g)][^(a)]=  1 2 Q ¶ ^ g   [^(a)][^b]  ¶x[^0]0 ,   §[^0]0[^0]0 = §[^0]0[^k]=0,

(10.65)

где [(G)\tilde]_{[^(a)][^b],[^(g)]} - голономная кристоффелева связность, вычисляемая по метрике (10.61), для которой имеем

~ G   [^0]0,[^k][^l]  =-  1 2 ¶ ^ g   [^k][^l]  ¶x[^0]0 ,    ~ G   [^0]0,[^0]0[^l]  =  1 2 ¶ ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^l] ,    ~ G   [^0]0,[^0]0[^0]0  =  1 2 ¶ ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^0]0 ,

~ G   [^n],[^0]0[^l]  =  1 2 ¶ ^ g   [^n][^l]  ¶y[^0]0 ,    ~ G   [^n],[^0]0[^0]0  =-  1 2 ¶ ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^n] ,    ~ G   [^n] [^k][^l]  = ~ L   [^n] [^k][^l]  ,

(10.65a)

где [(L)\tilde]^{[^n]}_[^k][^l] трехмерные символы Кристоффеля, образованные из трехмерного тензора [^(g)]_[^k][^l]=-[^g]_[^k][^l].

Относительный голономный тензор кривизны может быть вычислен по формулам (10.49) или (10.50). Расчет по формуле (10.49) приводит к соотношениям

- ~ K   [^0]0[^k],[^l][^m]  =   ж Ц ^ g   [^0]0[^0]0    (С[^m]§[^k][^l]-С[^l]§[^k][^m]), ~ K   [^i][^k],[^l][^m]  =P[^i][^k],[^l][^m]-(§[^k][^l]§[^i][^m]-§[^k][^m]§[^i][^l]), - ~ K   [^0]0[^k],[^0]0[^m]  =- ^ g   [^0]0[^0]0  ж и  ¶§[^k][^m] ¶s - ^ g   [^q][^r]   S[^k][^q]§[^m][^r] ц ш

-  1 2 й л ¶2 ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^k]¶y[^m] -  1 2 ^ g   [^0]0[^0]0   ¶ ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^l] ¶ ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^m] -L[^n][^k][^m] ¶ ^ g   [^0]0[^0]0  ¶y[^n] щ ы .

(10.65b)

Как следует из (10.65), для жестких в смысле Борна движений ( т.е. при §_[^(a)][^b]=0) голономные и неголономные символы Кристоффеля совпадают, однако относительные неголономные и голономные тензоры кривизны отличны друг от друга за счет неголономной добавки (см. (10.20)).

В качестве примера рассмотрим движение классически жесткого тела с законом движения

xa= у х t 0  v(t) dt+ya,    x0=ct=x[^0]0.

(10.66)

Здесь в качестве временного параметра x^{[^0]0} выбрано время ИСО. Элемент относительного интервала может быть построен из метрических коэффициентов (10.61)

d ~ S   2   =  1 Q2 dx[^0]02+g*mn  ¶Ym ¶y[^n]  ¶Yn ¶y[^k] dy[^n]dy[^k],   g*mn = gmn-VmVn.

(10.67)

g^*_mn - проекционный оператор в пространстве Минковского, проектирующий тензоры на ортогональную мировым линиям частиц базиса гиперповерхность.

Относительный элемент интервала d[S\tilde]² отличается от абсолютного элемента интервала (10.40) нормирующим множителем перед временным коэффициентом и, что более существенно, вместо неголономного элемента dy^{[^0]0}, определяемого из (10.41), входит голономный элемент dx^{[^0]0}=cdt. Ясно, что абсолютный и относительный интервалы не равны по величине. Использование метрики для абсолютного интервала, полученного с помощью неголономных преобразований, приводит к нулевому неголономному тензору кривизны, из которого с помощью процедуры, разобранной выше, получаются отличные от нуля неголономные и голономные тензоры кривизны.

Нормирующий множитель 1/Q² можно вычислить по формуле (10.57). Использование закона движения (10.66) приводит квадрат элемента интервала (10.66) к виду

d ~ S   2   =  1 V02 dx02-(dnk+VnVk)dyndyk.

(10.68)

Cоотношение (10.68) из других соображений было получено ранее В.И. Родичевым [1], в которое вместо лагранжевых координат y^k входили эйлеровы координаты Х^k и движение не считалось обязательно классически жестким.

Для частного случая падения в центрально-симметричном поле Солнца из бесконечности жесткого ящика, имеющего на бесконечности нулевую скорость, формула для интервала, аналогичная (10.68), приведена в известной книге А. Зоммерфельда [83] со ссылкой на неопубликованную работу Ленца. Исходя из этой формулы, Зоммерфельд получил интервал в форме Шварцшильда, используя в первом приближении закон Ньютона.

Интервал (10.68) в форме Родичева можно получить из интервала (10.67) и для произвольного закона движения сплошной среды вида

xa=Ya(y[^k],x0),    x0=ct=x[^0]0,

(10.69)

если ввести следующее обозначение [38]

¶Yk ¶y[^n] dy[^n]=dXk,

(10.70)

которое означает, что элемент, соединяющий две близкие лагранжевы частицы, рассматривается в координатах Эйлера в фиксированный момент времени t. Именно так поступают в классической механике сплошных сред при выводе тензора деформаций в лагранжевой сопутствующей СО.

Для произвольного движения сплошной среды в виде (10.69) элемент относительного интервала в переменных Лагранжа имеет вид

d ~ S   2   =  1 V02 dx[^0]02-(dmn+VmVn)  ¶Ym ¶y[^l]  ¶Yn ¶y[^k] dy[^l]dy[^k].

(10.71)

Рассмотрим некоторые частные случаи СО, реализуемых с помощью закона движения (10.69) и метрики (10.71)

1. Равномерно вращающаяся СО.

В отличие от релятивистской жесткой НСО, рассмотренной в предыдущем разделе, и реализуемой в римановом пространстве-времени, будем следовать стандартному методу перехода [7].

Выберем неподвижную систему отсчета, в которой введем цилиндрические координаты r₀, j₀, z₀, t₀ и перейдем к вращающейся системе отсчета r, j, z, t согласно формулам:

r0 = r,    j0 = j+Wt,    z0 = z,    t0 = t,

где угловая скорость вращения W относительно оси z считается постоянной.

Перейдя от галилеевых координат в (10.71) к цилиндрическим, получим выражение для относительного интервала во вращающейся НСО в виде. Элемент интервала имеет вид

d ~ S   2   = ж и 1-  W2r2 c2 ц ш c2dt2 - dr2 -  r2dj2 1-  W2r2 c2 -dz2.

(10.72)

Для сравнения приводим величину интервала при стандартном рассмотрении

dS2= ж и 1-  W2r2 c2 ц ш c2dt2 -2Wr2djdt - dz2 - r2dj2 -dr2.

(10.73)

Обе формулы справедливы, если rW/c < 1 и удовлетворяют критерию жесткости как классическому, так и релятивистскому (в смысле Борна). Однако между метриками имеется существенное различие: метрика (10.72) реализуется в римановом пространстве времени, а метрика (10.73) - в плоском пространстве Минковского. При t=const метрика (10.72) соответствует элементу "физического" пространственного интервала во вращающейся системе отсчета в согласии с формулой (10.43). В (10.72) в отличие от (10.73) отсутствуют g_0k компоненты метрического тензора, что означает возможность синхронизовать часы вдоль любого замкнутого контура [7].

Связь между истинным t временем и временем пространства Минковского t у обеих метрик одинакова.

dt2= ж и 1-  W2r2 c2 ц ш dt2

(10.74)

Обе метрики, в отличие от релятивистской жесткой НСО, справедливы лишь для конечных расстояний от оси вращения.

Метрика (10.72) допускает простое геометрическое толкование.

Элемент относительного интервала, так же как и в ИСО в декартовых координатах, определяется по теореме Пифагора для псевдориманова пространства времени: из квадрата собственного времени (умноженного на квадрат скорости света) вычитается квадрат элемента "физической" длины.

2. Релятивистская (нежесткая) равноускоренная НСО.

Как доказано в главе 1, в пространстве Минковского не существует такого закона движения, который бы приводил к одновременному выполнению двух условий: релятивистской жесткости и равноускоренности. Поэтому в качестве равноускоренной СО рассмотрим движение заряженной пыли в постоянном электрическом поле, приводящей к метрике Логунова (2.7), (2.8).

Подстановка закона движения (2.5) в формулу (10.71) (заменив в (10.71) y^{[^k]}®y^k) приводит к элементу интервала в виде

d ~ S   2   =  c2dt2 1+a02t2/c2 -(1+a02t2/c2)(dy1)2+(dy2)2+(dy3)2.

(10.75)

Подстановка закона движения (2.6) в (10.71) (c заменой Q = 1, t®t) приводит к квадрату интервала

d ~ S   2   =c2dt2-cosh2 ж и  a0t c2 ц ш (dy1)2+(dy2)2+(dy3)2.

(10.76)

Формула (10.75) была получена из других соображений В.И. Родичевым [1], правда, в координатах Эйлера, а не Лагранжа, как в нашем случае. Ясно, что (10.76) может быть получена из (10.75) простым преобразованием времени, которое в согласии с (2.6) определяется равенством t = (c/a₀)sinh(a₀t/c).

Анализ формул (10.75) и (10.76) и сравнение с аналогичными соотношениями (2.7) и (2.8) показывает, что элементы относительных интервалов (как и в случае вращательного движения) вычисляются в согласии с теоремой Пифагора для псевдориманова пространства, когда из квадрата собственного времени (умноженного на квадрат скорости света) вычитается квадрат элемента "физической" длины, заданный соотношениями (2.9) и (2.10).

Метрики Логунова (2.7) и (2.8), получаемая из псевдоевклидова интервала (2.4) с помощью законов движения (2.5) и (2.6), содержат отличные от нуля g₀₁ компоненты метрического тензора. С нашей точки зрения это означает, что для наблюдателей, находящихся в ИСО и использующих координаты НСО, гиперплоскость t=const в (2.7) и гиперповерхность t = const в (2.8) не ортогональны мировым линиям частиц базиса.