В этой главе рассматривается электродинамика как в СО с заданным законом движения, так и в СО с заданной структурой. Проводится параллельное сравнение для решений в "равноускоренной" системе Меллера и полученной нами в главе 1 равноускоренной жесткой НСО в пространстве постоянной кривизны. Формулируется критерий стационарности, на основе которого рассматривается один из "вечных вопросов физики" - о поле при равномерно ускоренном движении заряда. Обсуждаются вопросы распространения электромагнитных волн, эффект Допплера и преобразования полей.

Разработанную в разделе 10, теорию перехода в произвольную НСО, определяемую законом движения (10.1), применим для преобразования уравнений электродинамики из ИСО в НСО.

Уравнения Максвелла в пустоте в декартовых координатах ИСО имеют вид [7]

¶Fmn ¶xn =-  4p c jm,    ¶aFbg+¶bFga+¶gFab=0,    Fmn=2¶[mAn].

(13.1)

В соотношениях (13.1) F^mn - тензор электромагнитного поля, j^m - четырехмерный вектор тока, A^m - 4-потенциал.

Переход в НСО, осуществляемый с помощью (10.1), (10.2) приводит к уравнениям

~ С   [^(n)]  ~ F   [^(m)][^(n)]   =-  4p c ~ j   [^(m)]   ,    ~ С   [^(a)]  ~ F   [^b][^(g)]  + ~ С   [^b]  ~ F   [^(g)][^(a)]  + ~ С   [^(g)]  ~ F   [^(a)][^b]  =0,

~ F   [^(m)][^(n)]  = ^ F   [^(m)][^(n)]  +2C[^(m)][^(n)][^0]0 ^ A   [^0]0  ,    ^ F   [^(m)][^(n)]  =2 ^ ¶   [[^(m)]  ^ A   [^(n)]]  ,    ^ A   [^(n)]  =hm[^(n)]Am,

(13.2)

где

~ F   [^b][^(g)]  =hm[^b]hn[^(g)]Fmn,    ~ j   [^(m)]   =h[^(m)]njn.

(13.2a)

Из формулы (13.2) следует, что абсолютный тензор электромагнитного поля [F\tilde]_[^(m)][^(n)] раскладывается на относительный тензор электромагнитного поля и "переносный". Относительный тензор поля [^F]_[^(m)][^(n)] может быть также представлен в виде

^ F   [^(m)][^(n)]  =2 ^ ¶   [[^(m)]  ^ A   [^(n)]]  =2 ^ С   [[^(m)]  ^ A   [^(n)]]  ,

(13.3)

где [^(С)] вычисляется с помощью кристоффелевой части связности (10.6). "Переносный" тензор поля есть произведение скалярного потенциала [^A]_[^0]0 c объектом неголономности, т.е содержит информацию об ускорении и вращении СО в согласии с (10.11). Отметим, что разбиение тензора поля на две части весьма условно, т.к. информация о поле в виде скалярного потенциала содержится и в "переносном" поле. Распишем уравнения Максвелла более подробно.

Первое уравнение (13.2) представим в форме

~ С   [^(n)]  ~ F   [^(m)][^(n)]   = ^ С   [^(n)]  ~ F   [^(m)][^(n)]   +T[^(g)][^(n)][^(m)] ~ F   [^(n)][^(g)]   +T[^(g)][^(n)][^(g)] ~ F   [^(m)][^(n)]   = -  4p c ~ j   [^(m)]   , ^ С   [^(n)]  ~ F   [^(m)][^(n)]   =  1   ж Ц - ^ g     ^ ¶   (   ж Ц - ^ g     ~ F   [^(m)][^(n)]   ) ^ ¶   y[^(n)] .

Откуда после несложных преобразований получим

^ ¶   ^ F   [^k][^0]0   ^ ¶   x[^0]0 +\breve С[^l]( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  )- ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 (F[^k] ^ A   [^0]0  )-F[^l]( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  ) +§[^l][^l]( ^ F   [^k][^0]0   -F[^k] ^ A   [^0]0  )=-  4p c ~ j   [^k]   ,

\breve С[^k]( ^ F   [^0]0[^k]   +F[^k] ^ A   [^0]0  )+Ø[^k][^l]( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  ) = -4pr*(UmVm),

(13.4)

где \breve С_[^k] - ковариантная производная, вычисляемая с помощью трехмерной кристоффелевой связности, r^* - скалярная плотность заряда, j^m=cr^*U^m. Как известно, потенциалы A^m определяются неоднозначно. Например, известные условия Лоренца, которые в галилеевых координатах имеют вид

¶Am ¶xm =0,

(13.5)

сведутся в НСО к виду

^ ¶   ^ A   [^0]0   ^ ¶   x[^0]0 +\breve С[^k] ^ A   [^k]   +§[^k][^k] ^ A   [^0]0   -F[^k] ^ A   [^k]   =0.

(13.6)

Введем трехмерный вектор напряженности электрического поля [E\vec], вектор электрической индукции [D\vec], вектор напряженности магнитного поля [H\vec] и вектор магнитной индукции [B\vec] в согласии с определениями, заимствованными из уравнений Максвелла в НСО для заданного гравитационного поля [7] с заменой частных производных производными по направлениям.

E[^k]= ~ F   [^0]0[^k]  ,   B[^k][^l]= ~ F   [^k][^l]  ,   D[^k] = -   ж Ц ^ g   [^0]0[^0]0    ~ F   [^0]0[^k]   ,    H[^k][^l]=   ж Ц ^ g   [^0]0[^0]0    ~ F   [^k][^l]

(13.7)

В отличие от [7] метрика у нас синхронна и определяется соотношением (10.9). Векторные операции вводим в согласии с определениями:

( ® С   × ® E   )[^a]=  1 2 Ц g e[^a][^b][^c] ж и ^ ¶   E[^c] ^ ¶   y[^b] - ^ ¶   E[^b] ^ ¶   y[^c] ц ш ,    H[^a]=-  1 2 Ц g e[^a][^b][^c]H[^b][^c], -  1 2 Ц g e[^c][^a][^b](F[^a]E[^b]-F[^b]E[^a]) = ® F   × ® E   ,    Ø[^a]=-  с 2 Ц g e[^a][^b][^c]Ø[^b][^c],

( ® С   × ® H   )[^a]=  1 2 Ц g e[^a][^b][^c] ж и ^ ¶   H[^c] ^ ¶   y[^b] - ^ ¶   H[^b] ^ ¶   y[^c] ц ш ,    ® С   · ® E   =  1 Ц g ^ ¶ ^ ¶   y[^a] ( Ц   g   E[^a]).

(13.8)

В (13.8)

h[^a][^b][^c]= Ц   g   e[^a][^b][^c],    h[^a][^b][^c]=  1 Ц g e[^a][^b][^c],    e123=e123=1,

где h_[^a][^b][^c] - единичный антисимметричный тензор в криволинейных координатах.

На основе сделанных замечаний, уравнения Максвелла (13.2) в системе отсчета, связанной с движущимися зарядами по закону (10.1), на которые действуют произвольные силы (не обязательно электромагнитного происхождения), сведутся к виду.

® С   × ® E   =-  1 Ц g (¶ Ц   g   ® H   ) ¶x[^0]0 - ® F   × ® E   ,    ® С   · ® E   =  2 c   ® W   · ® H   +4pr*,

® С   × ® H   =  1 Ц g (¶ Ц   g   ® E   ) ¶x[^0]0 - ® F   × ® H   ,    ® С   · ® H   =-  2 c   ® W   · ® E   .

(13.9)

Уравнения Максвелла дополняются уравнениями неразрывности, выражающими закон сохранения заряда.

1 Ц g (¶ Ц   g   r*) ¶x[^0]0 =0.

(13.10)

Заметим, что в отличие от общих уравнений Максвелла (13.2), пригодных для произвольной НСО, не обязательно связанной с движущимися зарядами, в уравнениях (13.9) (ввиду сопутствия) отсутствует пространственная компонента 4 - тока, которую следует добавить при рассмотрении общего случая.

Найденная нами трехмерная форма уравнений Максвелла, полученная с помощью неголономных преобразований, совпала с 3-мерной хронометрически инвариантной формой, приведенной в книге Н.В. Мицкевича [53].

Для решения системы уравнений Максвелла удобно ввести потенциалы электромагнитного поля. Для перехода от напряженностей полей к потенциалам приведем, полученные нами некоторые нужные формулы из неголономного векторного анализа. Для произвольного трехмерного векторного поля [a\vec](y^{[^(a)]}) и скалярного поля f(y^{[^(a)]}) справедливы следующие соотношения:

( ® С   ×( ® С   × ® a   ))[^k]=( ® С   ( ® С   · ® a   ))[^k]-Da[^k]+\breveR[^k].[^l]a[^l]+2Ø[^k][^n]  ¶a[^n] ¶x[^0]0 , ® С   × ® С   f=2 ® W c    ¶f ¶x[^0]0 ,    ® С   ·( ® С   × ® a   )=2  Ø[^k] c    ¶a[^k] ¶x[^0]0 , ® С   × ¶ ® a   ¶x[^0]0 =  ¶ ¶x[^0]0 ( ® С   × ® a   )+  D c ® С   × ® a   - ® F   × ¶ ® a   ¶x[^0]0 ,

® С   · ¶ ® a   ¶x[^0]0 =  ¶ ¶x[^0]0 ( ® С   · ® a   )-  D c ( ® F   · ® a   )- ® F   · ¶ ® a   ¶x[^0]0 - ® a c · ® С   D.

(13.11)

Величины, входящие в (13.11) определены в (10.38а).

В согласии с определением (13.7), представим напряженности для электрического и магнитного полей в векторной форме через потенциалы в виде

( ® E   )[^k]=-g[^k][^l] ¶ ^ A   [^l]  ¶x[^0]0 -( ® С   ^ A   [^0]0  )[^k]-( ® F   ^ A   [^0]0  )[^k].

(13.12)

® H   = ® С   × ® ^ A   +2 ® W c   ^ A   [^0]0  .

(13.13)

Выражения (13.12) и (13.13) обращают в тождества первое и четвертое из уравнений (13.9). Это, впрочем, следует и непосредственно из (13.1), когда второе из уравнений (13.1) удовлетворяется тождественно, если тензор электромагнитного поля выразить через запаздывающие потенциалы в виде F_mn=2¶_[mA_n].

Два других уравнения Максвелла из (13.9) выразим через запаздывающие потенциалы. Для этого учтем соотношения (13.11), а также кинематические тождества (10.17), (10.34), которые представим в векторном виде

2 c Ц g (¶ Ц   g   ® Ø   ) ¶x[^0]0 - ® С   × ® F   =0,    ® С   · ® W   - ® W   · ® F   =0.

(13.14)

Учитывая также условия Лоренца (13.6), после довольно утомительных преобразований получим

[¯] ^ A   [^0]0  +  ¶ ¶x[^0]0 ( ® F   · ® ^ A   +  D c ^ A   [^0]0   )+  1 c ® ^ A   · ® С   D+  D c ( ® F   · ® ^ A   )+ ® F   · ¶ ® ^ A   ¶x[^0]0

-  2 c ^ С   [^a]  ( ^ A   [^k]  D[^a][^k])- ® С   ( ^ A   [^0]0   ® F   ) =  4Ø2 c2 ^ A   [^0]0  + 2 ® W   c ·[ ® С   × ® ^ A   ]+4pr*.

(13.15)

[¯] ^ A   [^k]   - ^ С   [^k]   ж и ¶ ^ A   [^0]0  ¶x[^0]0 + ® F   · ® ^ A   +  D c ^ A   [^0]0   ц ш +\breve R[^k].[^l] ^ A   [^l]   +2Ø[^k][^n] ¶ ^ A   [^n]  ¶x[^0]0 + й л ® С   × ж и 2 ^ A   [^0]0  ® W   c ц ш щ ы [^k]   =-  D c ж и  2 c D[^k][^l] ^ A   [^l]   + ¶ ^ A   [^k]   ¶x[^0]0 + ^ С   [^k]   ^ A   [^0]0  +F[^k] ^ A   [^0]0  ц ш

-  ¶ ¶x[^0]0 й л  2 c D[^k][^l] ^ A   [^l]   + ^ С   [^k]   ^ A   [^0]0  +F[^k] ^ A   [^0]0  щ ы - й л ® F   × й л ® С   × ® ^ A   щ ы щ ы [^k]   - 2 ^ A   [^0]0  c й л ® F   × ® W   щ ы [^k]   .

(13.16)

В формулах (13.15) и (13.16)

[¯] =  ¶2 ¶x[^0]02 -g[^k][^l] ^ С   [^k]  ^ С   [^l]

(13.17)

хронометрически инвариантный пространственно-ковариантный оператор Даламбера, а тензор \breve R_[^b][^c]=g^{[^a][^q]}\breveR_{[^a][^b],[^c][^q]}, где \breveR_{[^a][^b],[^c][^q]} трехмерный тензор кривизны, определяемый из соотношения (10.31). Выведенные уравнения справедливы в произвольной деформируемой НСО, связанной с движущимися зарядами, образующими континуум. Ясно, что решать уравнения в НСО в общем виде затруднительно, однако в некоторых частных случаях проводить исследование в НСО значительно проще и нагляднее, чем в ИСО.

Представляет интерес исследование уравнений Максвелла в релятивистски жестких НСО, определяемых как

§[^k][^l]=-  1 c D[^k][^l]=0.

(14.1)

Это приводит уравнения Максвелла к виду

[¯] ^ A   [^0]0  +  ¶ ¶x[^0]0 ( ® F   · ® ^ A   )+ ® F   · ¶ ® ^ A   ¶x[^0]0 - ® С   ( ^ A   [^0]0   ® F   )

=  4Ø2 c2 ^ A   [^0]0  + 2 ® W   c ·[ ® С   × ® ^ A   ]+4pr*.

(14.2)

[¯] ^ A   [^k]   - ^ С   [^k]   ж и ¶ ^ A   [^0]0  ¶x[^0]0 + ® F   · ® ^ A   ц ш +\breve R[^k].[^l] ^ A   [^l]   +2Ø[^k][^n] ¶ ^ A   [^n]  ¶x[^0]0 + й л ® С   × ж и 2 ^ A   [^0]0  ® W   c ц ш щ ы [^k]   =

-  ¶ ¶x[^0]0 й л ^ С   [^k]   ^ A   [^0]0  +F[^k] ^ A   [^0]0  щ ы - й л ® F   × й л ® С   × ® ^ A   щ ы щ ы [^k]   - 2 ^ A   [^0]0  c й л ® F   × ® W   щ ы [^k]   .

(14.2a)

Выясним, какими свойствами должна обладать жесткая НСО с "вмороженными" в нее зарядами, чтобы система Максвелла допускала в ней независящие от времени решения? (Мы считаем, что внешние поля отсутствуют и поле определяется только "вмороженными" зарядами). Очевидно, что уравнения Максвелла могут иметь стационарные относительно жесткой НСО решения, если характеристики, определяющие НСО, не зависят от времени x^{[^0]0} явно. Т.е. наряду с равенством нулю тензора скоростей деформаций (14.1) должны выполняться условия:

¶Ø[^k][^l] ¶x[^0]0 =0,     ¶F[^(a)] ¶x[^0]0 =0.

(14.3)

В согласии с тождеством (10.17), (14.3) и равенствами F_[^0]0=0, Ø_[^0]0[^(a)]=0 имеем

^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 W[^(a)][^b] є ^ С   [[^(a)]  F[^b]]= ^ ¶   [[^(a)]  F[^b]]= ~ С   [[^(a)]  F[^b]]=0.

(14.4)

Откуда

h[^(a)]mh[^b]n ~ С   [[^(a)]  F[^b]]=0,

(14.5)

что дает

¶Fm ¶xn -  ¶Fn ¶xm =0.

(14.6)

Равенство (14.6) определяет лоренц-ковариантное условие стационарности возможных решений уравнений Максвелла.

Умножая (14.6) на Vⁿ, получим при условии, что §_mn=0 равенство

dFm dS +FnFnVm-FaØam=0.

(14.7)

Введем 4-вектор силы g^m, определяемый равенством

gm є  2e2 3c ж и  dFm dS +FnFnVm-FaØa.m ц ш

(14.8)

и назовем его обобщенной силой радиационного трения. В этом равенстве e - заряд частицы, "вмороженной" в НСО, (для простоты рассматриваем только одинаковые частицы).

Для одного заряда, движущегося поступательно, Ø_mn=0 и обобщенная сила g^m переходит в обычную силу торможения излучением [7]. Если электромагнитное поле в НСО стационарно, то g^m=0.

Выясним, какие простейшие НСО удовлетворяют сформулированным условиям стационарности.

а). Рассмотрим прямолинейное, жесткое по Борну, равноускоренное (для каждой фиксированной частицы среды) движение континуума. Такому движению, как было показано в разделе 2, удовлетворяет поступательное перемещение среды, получаемое с помощью преобразования Меллера.

Для преобразования Меллера закон движения имеет вид (2.11) а метрика Меллера выражается элементом интервала (2.12), при этом роль времени T выполняет параметр, нумерующий ортогональные мировым линиям частиц базиса гиперповерхности [4]. Так как при преобразованиях Меллера пространственные векторы, соединяющие две любые близкие лагранжевы частицы, все время остаются в "физическом" пространстве, то переход в НСО Меллера, в согласии развиваемой нами схемой перехода, можно осуществить с помощью голономных преобразований (частный случай неголономных). Однако, в целях общности изложения получим с помощью формул (10.2) с учетом, что V_e[(¶Y^e)/(¶y^{[^k]})]=0, а 4 - скорость V^m=Q[(¶Y^m)/(¶x^{[^0]0})], x^{[^0]0} = cT, следующие коэффициенты преобразования:

hm[^k]=  ¶Ym ¶y[^k] ,   hm[^0]0=Q  ¶Ym ¶x[^0]0 =Vm,    h[^k]m=  ¶y[^k] ¶xm ,    h[^0]0m=Vm,   Q =  1 1+  a0y[^1] c2 ,    ^ g   [^k][^l]  =-d[^k][^l],    ^ g   [^0]0[^0]0  =1,

F[^1]=  a0 c2 Q,   F[^2]=F[^3]=0,    F[^k]= ^ ¶    ln Q ^ ¶   y[^k] .

(14.9)

Отметим, что псевдоевклидовость интервала (14.9), (в отличие от интервала Меллера (2.12)) обусловлена очевидным равенством

ds2=  (dx[^0]0)2 Q2 ,

(14.10)

справедливым вдоль каждой из фиксированных мировых линий частиц базиса.

Как показано в работе [4], поле 4 - скорости базиса Меллера в пространстве Минковского в переменных Эйлера может быть представлено в виде

V1=  a0t c   ж Ц ж и 1+  a0x1 c2 ц ш 2   -  a02t2 c2   .

(14.11)

Непосредственным вычислением можно убедиться, что (14.11) удовлетворяет условию стационарности (14.6). Следовательно, уравнения Максвелла в такой НСО допускают стационарные решения.

Cтационарные уравнения Максвелла в такой НСО могут быть получены из формул (14.2), (14.2а) и формул (13.11).

D ^ A   [^0]0  + ® С   ( ^ A   [^0]0   ® F   )=-4pr*.

(14.12)

D ® ^ A   + ® С   ж и ® F   · ® ^ A   ц ш = й л ® F   × й л ® С   × ® ^ A   щ ы щ ы .

(14.12a)

Условие Лоренца (13.6) для стационарных решений сводится к виду

+\breve С[^k] ^ A   [^k]   -F[^k] ^ A   [^k]   =0.

(14.13)

Для дальнейшего анализа воспользуемся тождеством (10.16), которое для случая жестких безвихревых движений эквивалентно

^ С   [^k]  F[^l] є F[^k]F[^l].

(14.14)

Т.к. для метрики Меллера \breve С_[^k]=[^(С)]_[^k], то, сравнивая (14.13) и (14.14), находим решение для векторного потенциала [^A]^{[^k]} в виде

^ A   [^k]   =aF[^k],   a =const.

(14.15)

Из соотношений (13.13), (13.14) и решения (14.15) следует, что заряды, "вмороженные" в жесткую безвихревую НСО, для которой справедливы условия стационарности (14.6), не создают в этой системе магнитного поля, т.е.

® H   =0.

(14.16)

Рассмотрим решение уравнения (14.2) для частного случая точечного заряда, помещенного в начало координат НСО. Вместо тетрадной временной компоненты [^A]_[^0]0=h^m_[^0]0V_m из (14.9), введем аффинную временную компоненту [^A]ў_[^0]0=[^A]_[^0]0/Q, для которой уравнение (14.12) сведется к виду

¶2 ^ A   ў[^0]0 ¶y[^k]¶y[^k] +F[^k] ¶ ^ A   ў[^0]0 ¶y[^k] =-4pQd(y[^1])d(y[^2])d(y[^3]).

(14.16a)

Решение уравнения (14.16a) в сопутствующих системах Меллера и Уйттекера получено Ц.И. Гуцунаевым (см. [34] и библиографию к ней). Для нашего случая имеем

^ A   ў[^0]0=  Qa0 c2  r2+(y[^1]+c2/a0)2+c4/a02 м н о й л r2+(y[^1]+c2/a0)2-c4/a02 щ ы 2   +4c4/a02r2 ь э ю 1/2   ,

(14.16b)

где r²=(y^{[^2]})²+(y^{[^3]})².

Переход в ИСО в согласии с нашим методом осуществим по правилу

Am=hm[^(a)] ^ A   [^(a)]   =Vm ^ A   [^0]0   +  ¶Ym ¶y[^1] ^ A   [^1]   .

Постоянную a в (14.15) определим из принципа соответствия, которая оказывается равной величине заряда -Q.

В результате вычислений, используя закон движения (2.11), учитывая, что поле 4-скоростей V¹ в переменных Эйлера имеет вид (14.11), а также легко проверяемые выражения

ж и 1+  a0y[^1] c2 ц ш 2   = ж и 1+  a0x1 c2 ц ш 2   -  a02t2 c2 ,

(14.17)

получим

A0=Q м н о (x1+c2/a0) й л r2+(x1+c2/a0)2-c2t2+c4/a02 щ ы й л (x1+c2/a0)2-c2t2 щ ы R -  ct (x1+c2/a0)2-c2t2 ь э ю , A1=Q м н о ct й л r2+(x1+c2/a0)2-c2t2+c4/a02 щ ы й л (x1+c2/a0)2-c2t2 щ ы R -  x1+c2/a0 (x1+c2/a0)2-c2t2 ь э ю ,    r2=(x2)2+(x3)2,

R=   ж Ц й л r2+(x1+c2/a0)2-c2t2-c4/a02 щ ы 2   +4r2c4/a02   .

(14.18)

Приведенное в (14.18) решение было впервые получено Борном [28], и позднее с помощью запаздывающих потенциалов Шоттом [55]. C помощью перехода в меллеровскую НСО и обратного преобразования в ИСО, решение (14.18) получено также Гуцунаевым.

б). Легко проверить, что классическая равномерно вращающаяся СО также удовлетворяет условию стационарности (14.6). Следовательно, для системы зарядов или для одного заряда "вмороженных" в равномерно вращающийся диск, т.е. "обращенных" всегда одной стороной к центру диска, обобщенная сила радиационного трения (14.8) g^m=0. Поэтому уравнения Максвелла в такой системе допускают статические решения.

Критерий стационарности позволяет свести уравнения Максвелла к решению одного уравнения для комплексного потенциала. Это следует из того факта, что для стационарного случая векторные уравнения Максвелла из (13.9) инвариантны относительно замены [E\vec]«[H\vec]. Поэтому [H\vec] можно искать в двояком виде

® H   = ® С   × ® ^ A   +2 ® W c   ^ A   [^0]0  = - ® С   y- ® F   y,

(14.19)

а вектор [E\vec] для стационарного случая будет иметь вид

® E   =- ® С   f- ® F   f,   f є ^ A   [^0]0  .

(14.20)

Используя тождества (13.14), выражения (14.19) и (14.20), находим для скалярных уравнений Максвелла из (13.9) выражения

Dy+ ® С   · ж и y ® F   + 2f ® W   c ц ш =0,

(14.21)

Df+ ® С   · ж и f ® F   - 2y ® W   c ц ш =-4pr*.

(14.22)

Введем комплексный потенциал F в согласии с определением

F = f+iy,   i2=-1.

(14.23)

Cкладывая, умноженное на i уравнение (14.21), с уравнением (14.22) получим

DF+ ® С   · ж и F ® F   + 2iF ® W   c ц ш =-4pr*.

(14.24)

Уравнение (14.24) позволяет искать поля от зарядов, "вмороженных" в релятивистски жесткие движущиеся тела.

Следует отметить, что из коммутационных соотношений (10.10) и объектов неголономности (10.11) вытекает, что для стационарных решений производные по направлениям [^(¶)]/[^(¶)]y^{[^k]} можно заменить на обычные частные производные ¶/¶y^{[^k]}.

Рассмотрим пример расчета стационарного поля в классической жесткой вращающейся системе отсчета. Пусть заряд или система зарядов вморожены в эту НСО. Уравнения Максвелла (13.4) для этого случая сведутся к виду

\breve С[^l]( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  )-F[^l]( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  ) = 0,

\breve С[^k]( ^ F   [^0]0[^k]   +F[^k] ^ A   [^0]0  )+Ø[^k][^l]( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  ) = -4pr*,

(14.25)

Первое уравнение (14.25) можно записать в виде

\breve С[^l] ~ F   [^k][^l]   = F[^l] ~ F   [^k][^l]   ,    ~ F   [^k][^l]   =( ^ F   [^k][^l]   +2Ø[^k][^l] ^ A   [^0]0  )

(14.26)

Для решения (14.26) воспользуемя тождеством (10.33), из которого для жестких движений следует

1 2 ( ^ С   [^a]  W[^b][^c]- ^ С   [^b]  W[^a][^c]) = -Ø[^a][^b]F[^c],

(14.27)

что эквивалентно

\breve С[^l]Ø[^k][^l] = 2F[^l]Ø[^k][^l],

(14.28)

Сравнение (14.26) и (14.28) позволяет искать решение (14.26) в виде

~ F   [^k][^l]   =eØ[^k][^l].

(14.29)

Подстановка (14.29) в (14.26) приводит к равенству

ж и ^ ¶    ln e ^ ¶   y[^l] +F[^l] ц ш W[^k][^l]=0,

(14.30)

из которого в частности следует

^ ¶    ln e ^ ¶   y[^l] =-F[^l].

(14.31)

Для решения уравнения (14.31) необходимо выполнение условия интегрируемости. Как видно из (10.17), условие интегрируемости будет выполнено в случае жестких стационарных движений. В частности, этому условию отвечает классическая жесткая вращающаяся СО, для которой

0= ^ ¶ ^ ¶   y[^0]0 W[^k][^l] є ^ С   [[^k]  F[^l]] .

(14.32)

Рассмотрим более подробно переход от ИСО к классической жесткой вращающейся НСО. Рассмотрим элемент интервала ИСО в цилиндрических координатах

dS2=c2 dt2-drў2-rў2 dfў2-d zў2,

(14.33)

для которого компоненты метрического тензора g_mn и координаты имеют вид

g00=1,   -g11=g11=1,    -g22=g22=rў2,   -g33=g33=1,

y[^1]=r,   y[^2]=f,   y[^3]=z,   y[^0]=ct,

x1=rў,   x2=fў,   x3=zў,   x0=ct.

(14.33)

Переход во вращающуюся НСО и обратно в ИСО зададим в обычном виде

x2=y[^2]+  Ø c x0,    y[^2]=x2-  Ø c x0,   x1=y[^1],   x3=y[^3].

(14.34)

Поле 4-скоростей V^m базиса вращающейся НСО относительно ИСО имеет вид

V0=  1 Ц 1-b2 =V0,   V2=  Ø c V0,    V2=-  Ø r2 c V0,

V3=V3=0,   V1=V1=0,   b є  Ø r c .

(14.34)

По заданному закону скоростей и преобразовниям координат найдем коэффициенты Ламе.

h[^0]m=Vm,   h[^k]m=  ¶y[^k] ¶xm ,    h[^1]m=d[^1]m,   h[^3]m=d[^3]m,

h[^2]m=d[^2]m -  Ø c d[^0]m,    hm[^0]=Vm,   h2[^k]=  1 1-b2 d2[^k],

h1[^k]=d1[^k],   h3[^k]=d3[^k],    h0[^k]=  Ø r2 c(1-b2 d2[^k].

(14.35)

Используя найденные коэффициенты Ламе, вычислим метрические коэффициенты во вращающейся НСО.

^ g   [^(a)][^(b)]  =gmnhm[^(a)]hn[^(b)],    - ^ g   [^1][^1]  = ^ g   [^1][^1]  =1,    - ^ g   [^2][^2]  = ^ g   [^2][^2]  =  r2 1-b2 ,

- ^ g   [^1][^1]  = ^ g   [^1][^1]  =1,    ^ g   [^0][^0]  =1,    - ^ g   [^1][^1]   = ^ g   [^1][^1]   =1,    ^ g   [^0][^0]   =1.

- ^ g   [^2][^2]   = ^ g   [^2][^2]   =r-2 ж и 1-b2 ц ш .

(14.36)

Отметим, что найденная нами метрика отличается от метрики для относительного интервала (10.72) коэффициентом [^g]_{[^0] [^0]}, который в нашем случае равен единице. Это означает, что в качестве времени в НСО мы выбрали по определению собственное время, а в (10.72) в НСО использовалось время ИСО. Найденная нами метрика, для получения которой использовались неголономные преобразования, сильно отличается и от стандартной метрики (10.73). Как было отмечено ранее, для стационарных процессов и стационарных полей производные по направлениям коммутируют, что является следствием коммутационных соотношений (10.13). Поэтому при дифференцировании эти производные можно рассматривать как обычные частные производные.

Исходя из сделанных замечаний, попытаемся проинтегрировать систему (14.25). Первое уравнение этой системы мы почти решили. Осталось определить лишь функцию e(r). Для определения этой функции необходимо знать 4-ускорения F^m вращающейся СО. Вычислим предварительно символы Кристоффеля во вращающейся НСО по формуле (10.44)

м н о [^0]0 [^0]0[^0]0 ь э ю = м н о [^k] [^0]0[^0]0 ь э ю = м н о [^0]0 [^0]0[^k] ь э ю = м н о [^0]0 [^k][^l] ь э ю =0,

м н о [^1] [^2][^2] ь э ю = -  1 2 ¶ ^ g   [^2] [^2]  ¶r =-  r ж и 1-b2 ц ш 2   ,    м н о [^2] [^1][^2] ь э ю =  1 2 ^ g   [^2][^2]   ¶ ^ g   [^2][^2]  ¶r =  1 r ж и 1-b2 ц ш .

(14.37)

В ИСО в цилиндрических координатах символы Кристоффеля получатся из формул (14.37) при b =0. Воспользуясь этим свойством, вычислим 4-ускорение F^m базиса НСО относительно ИСО. Ввиду постоянства угловой скорости вращения и ортогональности вектора скорости и вектора ускорения в каждой точке, отличной от нуля будет единственная компонента 4-ускорения F¹, эквивалентная центростремительному ускорению. Очевидно, что

F1=  D V1 d s =  d V1 d s + м н о 1 2 2 ь э ю V2 V2=-  Ø2 r c2(1-b2) ,   F1=-F1.

(14.38)

Относительно вращающейся НСО отличной от нуля компонентой будет

F[^1]=hm[^1]Fm=F1=  Ø2 r c2(1-b2) .

(14.39)

Это позволяет проинтегрировать уравнение (14.31), что дает

lne=- у х  Ø2 r c2(1-b2)  d r,   e =c3 Ц   1-b2   ,

(14.40)

где - с₃ - произвольная постоянная, которую определим далее. Таким образом, решение уравнения (14.26) сводится к виду

~ F   [^k][^l]   =c3 Ц   1-b2   W[^k][^l].

(14.41)

Второе уравнение (14.25) представим в виде

\breve С[^k]( ^ F   [^0]0[^k]   +F[^k] ^ A   [^0]0  )+c3 Ц   1-b2   W[^k][^l]Ø[^k][^l] = -4pr*,

(14.42)

которое после использования равенства

Ø[^k][^l]Ø[^k][^l]=  2b2 r2(1-b2)2 ,

(14.43)

и раскрытия ковариантных производных с помощью вычисленных нами символов Кристоффеля, после простых, но довольно утомительных преобразований, сводятся к одному уравнению вида

¶2 Y ¶r2 +  1-b2 r2  ¶2 Y ¶f2 +  ¶2 Y ¶z2 +  1 r  1+b2 1-b2  ¶Y ¶r +  2c3b2 r2(1-b2)2 =-  4pr* V0 ,

^ A   [^0]0  =YV0,    V0=  1 Ц 1-b2 .

(14.44)

Уравнение (14.44) позволяет в принципе решать любые задачи для системы зарядов, вмороженных в классическую жесткую равномерно вращающуюся СО, однако для доказательства работоспособности предложенного нами метода, мы решим простейшую задачу, вращая вокруг оси длинный полый тонкостенный диэлектрический цилиндр с электростатическим зарядом на стенке. Ясно, что по характеру распределения магнитного поля, эта задача должна быть эквивалентна задаче о магнитном поле бесконечного соленоида со сплошной намоткой. Постоянный ток, текущий по виткам соленоида, эквивалентен конвективному току вращающегося цилиндра. Будем искать электромагнитное поле вне зарядов как вне, так и внутри цилиндра.

Уранение (14.44) для рассмотренной задачи сводится к виду

d P d r +  1 r  1+b2 1-b2 P = -  2c3b2 r2(1-b2)2 ,    P=  ¶Y ¶r .

(14.45)

Легко проверить непосредственной подстановкой, что сумма общего решения однородного уравнения (14.45) и частного решения неоднородного представима в виде

P=  c1(1-b2) b -  c3 r ,

(14.46)

где c₁ - произвольная постоянная, которую определим далее. Можно убедиться также, что

-V0  ¶Y ¶r =- ¶ ^ A   [^0]0  ¶r + ^ A   [^0]0  F[^1] = ~ F   [^0][^1]  .

(14.47)

Вычислим тензор электромагнитного поля F_mn вращающегося полого цилиндра в цилиндрических координатах ИСО.

Fmn=hm[^(a)]hn[^b] ~ F   [^(a)][^b]  =hm[^k]hn[^l] ~ F   [^k][^l]  +hm[^0]hn[^l] ~ F   [^0][^l]  +hn[^0]hm[^l] ~ F   [^l][^0]  =

= eØmn+ ¶ ^ A   [^0]0  ¶r (Vn d1m-Vm d1n)+ ^ A   [^0]0  (Vm Fn- Vn Fm).

(14.48)

Отличными от нуля в последнем выражении будут только F₀₁=-F₁₀ и F₁₂=-F₂₁ компоненты тензора электромагнитного поля, для которых имеем:

F01=eØ01- ж и ¶ ^ A   [^0]0  ¶r V0- ^ A   [^0]0  V0 F1 ц ш =  1 b ж и c3  Ø c -c1 ц ш ,

(14.49)

F12=eØ12+V2V0  ¶Y ¶r =-c1 r.

(14.50)

Отметим, что последние выражения для тензора поля заданы в пространстве Минковского в цилиндрических координатах. Удобнее для сравнения со стандартной записью для тензора поля перейти к декартовым координатам. Так как x¹=rcosj, x²=rsinj, x³=z, то компонента Fў₁₂ в декартовых координатах связана с компонентой F₁₂ в цилиндрических координатах в согласии с законом преобразования трехмерных тензоров

F12=Fў12  ¶x1 ¶r  ¶x2 ¶j +Fў21  ¶x2 ¶r  ¶x1 ¶j =rFў12.

(14.51)

Но в декартовых координатах ИСО в согласии сопределением [7], которое здесь используется, Fў₁₂=- H_z. Отсюда и из (14.50) имеем для магнитного поля выражение

Hz=c1.

(14.52)

Определим постоянные c₁ и c₃. Рассмотрим решение для электромагнитного поля внутри оболочки цилиндра. Электрическое поле F₀₁=E_r внутри цилиндра в ИСО должно быть равно нулю. Откуда находим из (14.49), приравнивая это выражение нулю, что

c1=с3  Ø c .

(14.53)

Hz=с3  Ø c .

(14.54)

Постоянную c₃ можно определить из внешнего решения для электрического поля, которое при отсутствии вращения из принципа соответствия должно совпадать со статическим полем вне заряженного цилиндра. Откуда имеем при c₁=0

Er=  2c r =  c3 r ,   c3=2c,

(14.55)

где c - плотность заряда на единицу длины цилиндра. Итак, получили заранее ожидаемый результат. Внутри цилиндра электрическое поле равно нулю, а магнитное постоянно, отлично от нуля и равно

Hz=  2Øc c =const,    ® E   =0   при   r < R,

(14.56)

где R - радиус цилиндра. Вне цилиндра в силу c₁=0 равно нулю магнитное поле, а электрическое поле отлично от нуля.

Er=  2c r ,    ® H   =0    при   r > R,

(14.57)

Вычислим величину магнитного поля через конвективный ток на единицу длины. Очевидно, что c = j T, где j - конвективный ток через единицу длины, а T - период обращения цилиндра. Подставляя в (14.56), находим

Hz=  4pj c =const,   при   r < R,

(14.58)

что в точности совпадает с полем внутри бесконечного идеального соленоида. Проведенный здесь подробный расчет является некоторой тестовой задачей правомерности построенного неголономного аппарата преобразования уравнений электродинамики из ИСО в НСО и обратно. Вычислив значения постоянных c₁ и c₃, возвратимся к анализу электромагнитного поля вращающегся полого цилиндра с точки зрения наблюдателя, связанного с этим цилиндром. Очевидно, что соотношение между постоянными (14.53) будет справедливым внутри цилиндра как в ИСО, так и в НСО, однако это уже не приведет к обращению в ноль электрического поля внутри цилиндра. Электрическое поле внутри цилиндра в НСО отлично от нуля и меняется по закону

~ E   r  = ~ F   [^0][^1]  =- ¶ ^ A   [^0]0  ¶r + ^ A   [^0]0  F[^1] =  2cb2 r  1 Ц 1-b2 ,      при   r < R,

(14.59)

Для малых b последнее соотношение сводится к виду

~ E   r  = ~ F   [^0][^1]  =  2cb2 r =  2cØ2r c2 .      при   r < R,

(14.60)

Из последней формулы видно, что в НСО электрическое поле в центре цилиндра равно нулю, и далее линейно возрастает, достигая на радиусе цилиндра максимума, однако поле на внутренней границе составляет величину порядка b² от поля на наружной границе. Вне цилиндра в НСО (как и в ИСО) c₁=0. Равенство нулю c₁ вытекает также из физического требования уменьшения поля с ростом r. Поэтому получаем для электрического поля выражение

~ E   r  = ~ F   [^0][^1]  =  2c r  1 Ц 1-b2 ,    при   r > R,

(14.61)

Из последнего соотношения следует, что формула применима для конечных расстояний, для которых b < 1. Эта трудность является типичной для классической вращающейся СО. При нашем описании вращающейся жесткой СО, изложенном в главе первой, такой трудности возникнуть в принципе не может.