В этой главе рассматривается новое направление исследования силовых полей, основанное на постулате эквивалентных ситуаций. В результате показано, что искривление пространства-времени - это не привилегия только гравитационного поля.

Математический аппарат НСО , можно использовать в задачах, которые на первый взгляд не имеют никакого отношения к системам отсчета, однако в действительности эти задачи оказываются тесно связанными. К таким задачам относятся, например, расчеты электростатических полей связанных ( несвободных ) зарядов.

В классической электродинамике принято считать, что если точечный заряд покоится в некоторой ИСО, то его электрическое поле является кулоновым вне зависимости от того является ли этот заряд свободным или сумма сил, действующих на заряд, равна нулю. Например, поле свободного точечного заряда и поле точечного заряда, подвешенного на нити над заряженной плоскостью, в плоском пространстве - времени считаются одинаковыми и изотропными. С другой стороны , для равноускоренного заряда электрическое поле в сопутствующей НСО не является изотропным, как не является изотропным и поле заряда подвешенного на нити в поле тяжести. Поэтому возникает естественный вопрос: почему поле заряда Q, подвешенного на нити в электрическом поле, изотропно, а поле этого заряда, находящегося в эквивалентных условиях в НСО или поле тяжести, - неизотропно?

На первый взгляд ответ ответ кажется очевидным. Поле сил тяжести и сил инерции имеют близкую природу и эти поля взаимодействуют как с заряженными, так и нейтральными частицами и их полями. По этой причине поле точечного электрического заряда, закрепленного в ньютоновом гравитационном поле или в НСО перестает быть сферически симметричным. В силу линейности уравнений Максвелла внешнее электрическое поле, в котором закрепляется точечный заряд, не взаимодействует с полем этого заряда, поэтому симметрия поля точечного заряда должна сохраняться. В этом ответе есть маленькая некорректность, которая противоречит экспериментальным данным при рассеянии "света на свете" [83]. Данная проблема возникла в связи с открытием позитрона и образования пар, т.е. одновременного возникновения электрона и позитрона под действием жестких g - лучей. Линейные уравнения Максвелла в принципе не могли привести к такому рассеянию, что непосредственно следует из принципа суперпозиции полей. Две волны должны были проникнуть одна через другую. Поэтому эксперимент требует некоторого изменения уравнений Максвелла в сторону их нелинейности. По этой причине должно быть взаимодействие электрических полей, собственного поля закрепленного в электрическом поле заряда с внешним полем. Это должно привести к отсутствию сферической симметрии закрепленного во внешнем поле точечного заряда.

С нашей точки зрения поле точечного заряда, подвешенного на нити, эквивалентно полю этого заряда в сопутствующей НСО (2.18), движущейся с ускорением a₀, направленным параллельно силе натяжения нити [T\vec], действующей на заряд. Иными словами мы полагаем, что поле точечного заряда привязанного на нити к одноименно заряженной плоскости, будет таким же, если эту плоскость разрядить и двигать ускоренно, сохраняя прежней значение силы натяжения нити. В обоих случаях физическая ситуация для заряда в системах отсчета, связанных с плоскостью, будет очевидно одинаковой, что и должно приводить к тождественности полей.

Ввиду важности рассматриваемых далее вопросов проведем следующий мысленный эксперимент.

Пусть подвешенный на нити точечный заряд находится между обкладками плоского конденсатора. Пусть конденсатор помещен в космический корабль, движущийся равноускоренно. Плоскости обкладок перпендикулярны ускорению. Точка закрепления нити расположена на верхней обкладке. Пусть в начальный момент времени конденсатор не заряжен, а натяжение нити обусловлено реактивной силой двигателя корабля. Ясно, что по отношению к кораблю потенциал точечного заряда определяется соотношением (15.8). Пусть ракета начинает постепенное уменьшение ускорения, а конденсатор начинает заряжаться по такому закону, чтобы сохранить натяжение нити неизменным. Тогда физическая ситуация для заряда остается неизменной. Следовательно, должно оставаться неизменным по отношению к кораблю и поле заряда (15.8). В конечном итоге ракета будет двигаться равномерно, а конденсатор зарядится до определенного напряжения, такого, чтобы натяжение нити оставалось таким же, как и до торможения. Так как характер симметрии поля точечного заряда определяется натяжением нити, то нам удалось "обмануть" заряд, подменив действие поля сил инерции в НСО, действием электростатического поля на заряд со стороны конденсатора в ИСО. Так как заряд точечный, то дополнительный дипольный момент, наведенный электростатическим полем, пропорциональный кубу радиуса и напряженности поля конденсатора стремится к нулю.

На основании сказанного сформулируем

Постулат эквивалентных ситуаций

Поле точечного заряда, находящегося в равновесии в постоянном электрическом поле, эквивалентно полю от этого заряда в равноускоренной НСО, если силы реакции связей, ускоряющие заряд и удерживающие заряд в поле неподвижным, равны.

Физический смысл постулата состоит в том, что внешнее поле действует не только на заряд (источник поля), но также и на его ближайшее окружение, т.е. поле заряда. Это приводит к нелинейности уравнений Максвелла в малой области вокруг пробного заряда, что и подтверждается экспериментом при рождении пары электрон - позитрон. Так как связь препятствует заряду двигаться, то окружающее этот заряд его собственное поле деформируется, что должно привести (далее будет показано, что это так и есть) к возрастанию "физической" напряженности собственного поля заряда в направлении обратном силе реакции.

Уравнение для скалярного потенциала A₀ точечного заряда, вмороженного в в начало координат НСО (2.18), получено в (15.4), а его решение приведено в (15.8), (15.9), (15.10). Формулы (15.4), (15.8-15.10) являются ключевыми для расчета электростатических полей связанных зарядов.

В качестве примера вычислим поле, создаваемое заряженной бесконечной металлической пластиной толщины h и определим геометрию пространства- времени для пробных зарядов q, подвешенных на нитях в поле пластины и неподвижных относительно ее. Очевидно, что по обе стороны пластины плотность заряда будет постоянной и равной некоторой величине s. На каждый из зарядов на поверхности пластины будет действовать сила со стороны создаваемого пластиной поля, направленная по внешним нормалям к пластине. С другой стороны со стороны решетки металла на заряды будет действовать сила, препятствующая зарядам покинуть поверхность пластины. Эти силы эквивалентны действию "нитей" стремящихся удержать заряды на поверхностях пластины. Таким образом, поле от рассматриваемой системы эквивалентно полю системы зарядов "движущихся" равноускоренно с ускорениями направленными внутрь пластины. Т.е. "ускорения" зарядов на разных сторонах пластины направлены навстречу друг другу. Т.к. в метрике (2.18) пространственное сечение является плоским, то вклад в скалярный потенциал A₀ от всей пластины можно вычислить, путем интегрирования вклада от элементарных зарядов dQ каждой из сторон пластины в плоском пространстве ( но в римановом пространстве- времени ). Совместим начало координат с центром пластины, направив ось y¹ перпендикулярно пластине в сторону верхней поверхности. Разобъем плоскости пластины на элементарные концентрические кольца и рассмотрим одно из колец с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Внутри элементарного кольца расположен элементарный заряд dQ=2prdrs с поверхностной плотностью заряда от одной стороны пластины s. Найдем вклад в потенциал от верхней плоскости в точке с координатой y¹+h/2 от центра пластины

Выполнив простое интегрирование с помощью (15.8), находим вклад в скалярный потенциал от верхней плоскости пластины в верхнем полупространстве Aў₀

Aў0=  4psc2 a0 exp м н о -  a0y1-h/2 c2 ь э ю .

Вклад от нижней плоскости в скалярный потенциал Aўў₀ равен

Aўў0=  4psc2 a0

Вклад от обеих плоскостей в потенциал внутри пластины равен [(A₀)\tilde]

~ A0   =  8psc2 a0

Суммарный потенциал в верхнем полупространстве определим как разность потенциалов A₀=Aў₀+Aўў₀-[(A₀)\tilde].

A0=-  4psc2 a0 й л 1-exp м н о -  a0y1-h/2 c2 ь э ю щ ы .

(17.1)

При выводе последней формулы учли, что метрика в нижнем полупространстве определяется из (2.18), а в верхнем полупространстве a₀®-a₀. Полагая h®0, находим потенциал в верхнем полупространстве от заряженной плоскости, считая при этом под плотностью заряда плоскости величину s₀=2s.

A0=-  2ps0c2 a0 й л 1-exp м н о -  a0y1 c2 ь э ю щ ы .

(17.2)

Значение напряженности поля заряженной плоскости можно найти из выражения для тензора электромагнитного, что дает

E1=F01=-  ¶A0 ¶y1 =2ps0exp м н о -  a0y1 c2 ь э ю .

(17.3)

Анализируя (17.3), можно убедиться, что при малых a₀y¹/c² найденное выражение совпадает с обычным.

Определим метрику пространства-времени, выбрав в качестве базиса НСО невзаимодействующую заряженную пыль над одноименно заряженной плоскостью. Пусть каждая из частиц связана с заряженной плоскостью невесомой и нерастяжимой нитью. Заряженная пыль в данной модельной задаче задает базис системы отсчета, структура которого определяется совместным решением уравнений "движения" и уравнений Максвелла, решение которого дается формулой (17.3). Очевидно, что частицы пыли будут взаимно неподвижны, так что тензор скоростей деформаций и тензор угловой скорости вращения равен нулю, а натяжения нитей отличны от нуля. Примем, что плоскость бесконечна, плотность заряда на ней постоянна, а отношения зарядов к массам для всех частиц базиса одинаковы. По определению считаем, что пыль поля не создает, а поле определяется только зарядами плоскости в согласии с (17.3). Очевидно, что физическая ситуация для частиц пыли в верхнем полупространстве эквивалентна ситуации в некоторой НСО "движущейся" вниз в направлении плоскости, что математически описывается метрикой (2.18) с отрицательным знаком в экспоненте, т.е. заменой a₀®-a. Величины a₀ и a требуется вычислить и подтвердить справедливость метрики (2.18).

Элемент интервала, исходя из симметрии задачи, будем искать в более общем виде, чем (2.18).

ds2=exp(n(y1))dy02-exp(l(y1))dy12-dy22-dy32,

(17.4)

где функции n(y¹) и l(y¹) требуется определить. Для их нахождения воспользуемся решением уравнений Максвелла в трехмерной форме, совпадающей по виду с уравнениями Максвелла в заданном гравитационном поле [7]. Решение уравнения вне плоскости для вектора индукции D¹ имеет вид D¹=constexp(-l/2). Воспользуясь соотношениями

D1=- Ц   g00   F01,       E1=F01, D1=  E1 Ц g00 ,        ® D   = ® E Ц g00 .

вытекающими из [7], а также формулой (17.3), находим

n+l 2 =-  a0y1 c2 .

(17.5)

Второе уравнение, связывающее функции n и l определим из уравнения "движения"

F1=-  q m0c2 F10V0,

(17.6)

где V₀=exp(n/2) - нулевая компонента 4 - скорости частицы базиса массы m₀ с зарядом q в лагранжевой сопутствующей НСО. Знак минус в (17.6) означает, что вектор первой кривизны частицы базиса F¹ определяется только натяжением нити, действующей в противоположную сторону, чем сила со стороны поля. При этом, сила натяжения нити по величине совпадает с силой действия со стороны поля. С другой стороны, F¹ можно найти непосредственно из вида метрики (17.4), как единственную отличную от нуля компоненту 4-ускорения в лагранжевой сопутствующей НСО. Это приводит к соотношению

1 2  ¶n ¶y1 =-  E0q m0c2 exp(l/2),

(17.7)

где E₀=2ps₀. Решение системы (17.5), (17.7) при условии, что при y¹=0 n = 0 имеет вид

exp(n/2)=1-  E0q m0a0 ж и 1-exp ж и -  a0y1 c2 ц ш ц ш ,

exp(l/2)=exp ж и -  n 2 -  a0y1 c2 ц ш .

(17.8)

Метрика (17.4) допускает очевидное упрощение, если вместо координаты y¹ ввести другую лагранжеву координату по формуле

~ y   1   = у х y1 0  exp(l/2) dy1

В результате получаем

dS2=exp ж и - 2E0q ~ y   1   m0c2 ц ш dy02- ~ y1   2   -dy22-dy32.

(17.9)

Из (17.9) видно, что эта формула аналогична (2.18) с отрицательным ускорением a=-E₀q/m, направленным к плоскости, если заряд плоскости и пробный заряд q одного знака и положительным ускорением при разноименных зарядах. Пространство-время будет плоским, если пробная частица нейтральна. Таким образом, в отличие от ОТО метрика зависит не только от напряженности поля заряда, создающего поле, но также и от величины и знака пробного заряда в поле. Это связано с тем очевидным обстоятельством, что в теории тяготения между телами действует только сила взаимного притяжения (в ньютоновском смысле) и все пробные тела вне зависимости от массы в гравитационном поле движутся с одинаковым ускорением (принцип эквивалентности).

Если для частиц базиса отношение пробных зарядов к массам для всех частиц одинаково, а заряды плоскости и пробных частиц разноименны, то метрика (17.9) тождественна с (2.18) при a=a₀.

Для сравнения теории с экспериментом нужно выразить поля в "физических" или тетрадных компонентах вне заряженной плоскости. Сопутствующие тетрады для метрики удобно выбрать так, что вектор [e\vec]₍₀₎ направлен вдоль линии времени, а триада [e\vec]_(k) вдоль координатных осей y^k ( калибровка Ламе [22], [23] ). Тетрадные индексы будем заключать в скобки. Выражение для тетрад будет иметь вид:

e(a)m=  dam Ц |gaa| ,    e(a)m=dma Ц   |gaa|   ,    e(0)m=Vm,    em(0)=Vm,

(17.10)

где суммирование по a отсутствует. Для "физических" компонент тензора поля находим

F(0)(1)=E(1)=em(0)en(1)Fmn=2ps0 = const.

(17.11)

Из (17.11) следует, что в локальных тетрадах поле заряженной плоскости точно такое же, как и при обычном рассмотрении в декартовых координатах. Это приводит к одинаковым значениям силы, действующей на пробный заряд, при различных рассмотрениях. Но геометрия пространства-времени , обусловленная электростатическим полем, оказалась псевдоримановой, а не псевдоевклидовой, как при обычном рассмотрении. Неевклидовость пространства- времени другой природы, чем в ОТО. Она не связана непосредственно с решением уравнений Эйнштейна- Максвелла, а связана с совместным решением уравнений Максвелла, уравнений структуры (1.7) и уравнения "движения". Это обстоятельство должно проявиться в экспериментах.

Предложим простейшие эксперименты, которые могут либо подтвердить, либо опровергнуть предлагаемый подход. Для начала рассмотрим экзотическую модель, проведя расчет для поля, создаваемого электроном, "подвешенным" на нити над положительно заряженной плоскостью. Очевидно, что ситуация с "подвешенным" над плоскостью электроном массы m и зарядом e эквивалентна его помещению в НСО (2.18), движущуюся с ускорением, направленным вдоль оси y¹ и равным по величине a₀=eE/m.

Если перейти в (15.10) к тетрадным "физическим" компонентам с помощью тетрад (17.10), то получим

F(a)(b)=em(a)en(b)Fmn =  Fab Ц |gaa| Ц |gbb|

(17.11a)

или

F(0)(k)=  Q r2 exp м н о -  a0r(1+cosq) 2c2 ь э ю й л nk+  a0r 2c2 ж и nk-d1k ц ш щ ы ,

(17.11b)

Расчет по формуле (17.11b) для напряженности поля плоскости E=100 кВ/м дает для точек в направлениях обратных полю к точкам поперек поля на расстоянии 1 м относительную разность значений порядка 10%. Сравнение формул (15.10) с (17.11b) показывает, что они отличаются знаком в экспоненте перед косинусом. Несмотря на это обстоятельство, при любом определении напряженности поля, оно не является изотропным. Из (17.11b) следует, что "физическая" напряженность поля больше по величине в направлении обратном ускорению, чем в направлениях по вектору ускорения. Силовые линии электрического поля как бы "сдуваются" под действием ускорения, плотность силовых линий в направлении ускорения меньше, чем в обратном. Расчет электрического поля по формуле (17.11b) при q = 0 приводит к выражению,

F(0)(1)=  Q r2 exp м н о -  a0r c2 ь э ю

(17.11с)

а при q = p имеем

F(0)(1)=-  Q r2 м н о 1+  a0r c2 ь э ю

(17.11d)

Расчет электрического поля по формуле (15.9) при q = 0 приводит к кулоновскому закону, а при q = p имеем

® E   =  Q r2 exp м н о -  a0r c2 ь э ю ® r r й л 1+  a0r c2 щ ы ,

(17.11e)

Расчет электрического поля по формуле (17.11b) при q = p/2 приводит к выражению,

F(0)(1)=-  Qa0 2rc2 exp м н о -  a0r 2c2 ь э ю

(17.11f)

F(0)(2)=F(0)(3)=  Q r2 м н о 1+  a0r 2c2 ь э ю exp м н о -  a0r 2c2 ь э ю .

(17.11g)

Точно такие же соотношения при q = p/2 имеют место и при расчете по формуле (15.10).

При стандартном расчете поле электрона должно быть изотропным и кулоновым, таким же как и поле свободного электрона.

Следует отметить, что и для реальных заряженных отрицательно элементов металлических тел поправка учета анизотропии не является малой, как это может показаться с первого взгляда. Дело в том , что под ускорением a₀ в (15.4), примененном к отрицательно заряженным элементам реальных проводников, следует понимать величину a₀=0.5Ee/m, где E - величина напряженности суммарного поля - собственного и внешнего , e - заряд электрона , m - масса электрона.

Действительно, для заряженного проводника, как известно [26], на поверхность действует сила "отрицательного давления", значение которой на единицу поверхности равно F_пов = 0.5sE. Очевидно, что s = Ne/S, где S - площадь элемента поверхности, N - число электронов на ней. Отсюда со стороны поля на каждый из электронов действует сила F_e=0.5eE. Сила со стороны решетки металла направлена в обратную сторону и ее действие эквивалентно силе реакции со стороны тела, "движущегося с ускорением" a₀=0.5eE/m, в которое "вморожен" электрон. Т.к. каждый из поверхностных электронов находится в равновесии, то сила их взаимодействия с проводником (что соответствует в модели натяжению нити Т) определяет эффективное ускорение при " обрыве нити ", вычисляемое по приведенной выше формуле и направленное нормально поверхности. Для проводников, заряженных положительно, на поверхности находятся не электроны, а положительные ионы с массой значительно большей, чем у электронов. Поэтому их эффективное ускорение а₀, а следовательно, и анизотропия поля будет гораздо меньше .

Рассмотрим еще любопытный пример об электростатическом поле в плоском конденсаторе, пренебрегая краевыми эффектами. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника. Положительные заряды на одной из обкладок, в согласии с рассмотренным выше, создают между обкладками поле Е/2. Заряды на отрицательной обкладке ( электроны ) находятся под действием двух сил : со стороны суммарного поля Е и силы со стороны решетки отрицательной обкладки, стремящейся удержать электроны на поверхности. Последняя сила направлена по полю [Е\vec], а физическая ситуация для электронов на отрицательной обкладке эквивалентна их "ускоренному движению" вдоль [Е\vec] с ускорением а₀=0.5eE/m.

Поставим задачу вычисления емкости плоского конденсатора. Выберем начало координат в центре отрицательной обкладки с осью y¹, направленной перпендикулярно обкладкам в сторону положительной. Т.к. электроны на отрицательной обкладке "движутся ускоренно" в обратную сторону оси y¹ , то метрика пространства-времени между обкладками совпадает с (2.18) с отрицательным знаком в экспоненте. Напряженность поля между обкладками в согласии с (17.3) имеет вид

E1=F01=4ps0exp м н о -  a0y1 c2 ь э ю .

(17.12)

Емкость конденсатора вычислим по формуле

C=Q2/2W,

(17.13)

где Q - заряд, а W - энергия поля между обкладками. Так как пространство- время внутри конденсатора псевдориманово то при определении плотности энергии ( в отличие от СТО ) нужно выбирать между T₀₀, T⁰⁰ и T₀⁰ компонентами тензора энергии-импульса электромагнитного поля. В СТО эти компоненты одинаковы, как одинаковы и в сопутствующих тетрадах . С точки зрения монадного метода [23] плотность энергии r электромагнитного поля является скаляром по отношению к произвольным преобразованиям y^m=f^m(xⁿ). В нашем случае r соответствует T₍₀₎₍₀₎ = T⁽⁰⁾⁽⁰⁾=T⁽⁰⁾₍₀₎ компонентам тензора энергии-импульса. Напомним, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля в криволинейных координатах имеет вид [7]

Tmn=  1 4p ж и -FmbFnb+  1 4 FbgFbggmn ц ш ,

(17.14)

где тетрадные компоненты тензора вычисляются по правилу

T(m)(n)=ea(m)eb(n)Tab.

(17.15)

Энергию поля между обкладками конденсатора конденсатора можно вычислить по формуле [23]

W= у х Ц   -g   TmnVn dSm,

(17.16)

где g определитель метрического тензора, dS_m=V_mdV. dS_m - геометрический объект, равный произведению элемента площади гиперповерхности ортогональной мировым линиям базиса, построенной на базе трех бесконечно малых смещений, на единичный вектор нормали ( т.е. 4-скорость V_m ).

Ввиду важности соотношения (17.16) обсудим его более подробно.

Так как мы рассматриваем тензор энергии импульса электромагнитного поля вне зарядов, создающих поле, то должно выполняться соотношение

СmTmn=0.

(17.16a)

В плоском пространстве - времени в галилеевых координатах это соотношение выражает закон сохранения энергии - импульса электромагнитного поля. В римановом пространстве - времени это соотношение в общем случае не выражает никакого закона сохранения, так как вместо частной производной от тензора энергии - импульса стоит ковариантная. Это обстоятельство хорошо известно в литературе по ОТО.

При вычислении энергии в (17.16) мы фактически используем не "закон сохранения" (17.16a), а истинный закон сохранения, напоминающий внешне закон сохранения заряда.

Это вытекает из равенства

Сm ж и TmnVn ц ш =VnСmTmn+TmnСmVn=TmnVmFn=0.

(17.16b)

При выводе (17.16b) мы учли, что конгруенция мировых линий частиц базиса СО, определяемая законом "движения" (17.6), является безвихревой и жесткой, что векторы V_m и F^m ортогональны и что равна нулю свертка антисимметричного тензора поля F_mn с произведением векторов первой кривизны.

Отметим, что при выводе (17.16b) поле не обязательно предполагается статическим, потому что жесткую безвихревую СО можно создать и в силовом поле явно зависящем от времени, если жестко закрепить частицы базиса в поле при помощи внешних связей. Для такого случая векторы 4 - ускорения частиц базиса будут зависеть от времени, а тензоры скоростей деформаций и угловой скорости вращения будут равны нулю. Ясно, что такая ситуация возможна только в римановом пространстве - времени. В плоском пространстве - времени, закрепленные жестко в переменном поле частицы, будут обладать и нулевым ускорением.

Соотношение (17.16b) можно переписать в форме

СmTm(0)=  1 Ц -g  ¶ ¶ym ж и Ц   -g   Tm(0) ц ш =0.

(17.16c)

Проинтегрируем выражение (17.16c) по инвариантному 4 - объему.

у х Ц   -g   СmTm(0)d4y= у х  ¶ ¶ym ж и Ц   -g   Tm(0) ц ш d4y=0.

(17.16d)

Используя теорему Гаусса и полагая, что на "боковой" временноподобной охватывающей пространственный объем гиперповерхности интеграл стремится к нулю, (что имеет место в задачах с зарядами, расположенными в конечном объеме) получаем

у (з) х Ц   -g   Tm(0)dSm= у х V1  Ц   -g   T(0)(0)d3y- у х V2  Ц   -g   T(0)(0)d3y=0.

(17.16e)

Откуда имеет место закон сохранения величины типа "заряда"

у х V1  Ц   -g   T(0)(0)d3y = у х V2  Ц   -g   T(0)(0)d3y=W,

(17.16f)

в которой V₁ и V₂ трехмерные объемы занимаемые полем в разные моменты времени.

Сравнение (17.16) с (17.16f) говорит о тождественности этих величин, которые представляют энергию электромагнитного поля.

Вычислим энергию поля отрицательно заряженной плоскости. При стандартном вычислении энергия поля плоскости напряженности E, заключенная в цилиндре с площадью основания S и высоты h по обе стороны плоскости с образующими, перпендикулярными плоскости, очевидно равна

W0=  E2 8p 2hS=s0Qh,      Q=s0S.

(17.16g)

При h®Ґ, W₀®Ґ.

Для нашего случая энергия поля в указанном объеме

W= у х Ц   -g   T(0)(0) dV=2  E2Sc2 8pa0 ж и 1-exp ж и -  a0h c2 ц ш ц ш ,

(17.16h)

где E=2ps₀.

Очевидно, что при малых расстояниях h от плоскости, т.е. при

a0h c2 << 1

энергия поля в объеме, вычисленная в согласии с (17.16h) совпадает с классическим выражением (17.16g). Однако, если при классическом рассмотрении при h®Ґ, W₀®Ґ, то в нашем случае энергия поля внутри бесконечно длинного цилиндра остается конечной величиной, определяемой равенством

W= у х Ц   -g   T(0)(0) dV=2  E2Sc2 8pa0 =  ESc2m 2pe =  Qmc2 e =Nmc2.

(17.16i)

Итак:

Энергия электрического поля внутри бесконечно длинного цилиндра оказалась равной энергии покоя N электронов, расположенных на заряженной поверхности площади S внутри цилиндра. В эту энергию не входит величина заряда Q элемента площади.

Формула (17.16i) остается в силе и для плоскости, заряженной положительно, В этом случае роль массы (т.к. позитроны не являются устойчивыми) играет масса атома проводника, потерявшего один электрон.

Таким образом, собственная энергия зарядов на плоскости оказалась равной их энергии покоя!

Учитывая, что пространственное сечение для метрики (2.18) является плоским, а ускорение отрицательным и используя формулы (17.14), (17.15), (17.4),(17.9) для тензора энергии - импульса в сопутствующих тетрадах находим выражение

T(0)(0)=  E2 8p ,    T(1)(1) = -  E2 8p ,   T(2)(2)=T(3)(3)=  E2 8p ,   E=4ps0

(17.17)

Последнее соотношение в локальных тетрадах в точности совпадает с тензором энергии-импульса постоянного однородного поля в ИСО пространства Минковского в галилеевых координатах.

Энергия поля в конденсаторе в согласии с (17.16), (17.17) имеет вид

W= у х Ц   -g   T(0)(0) dV=  E2Sc2 8pa0 ж и 1-exp ж и -  a0d c2 ц ш ц ш ,

(17.18)

где S - площадь обкладки, d - расстояние между обкладками.

Используя найденное выражение для ускорения a₀=0.5Ee/m и полагая u=Ed, где u - разность потенциалов между обкладками, находим емкость конденсатора C в виде

C=Q2/2W=  S 4pd  eu 2mc2  1 1-exp ж и -  eu 2mc2 ц ш .

(17.19)

Если eu/mc² << 1, то (17.19) можно представить в виде

C=C0 ж и 1+  eu 4mc2 ц ш ,       C0=  S 4pd

(17.20)

Таким образом в предлагаемом нами подходе емкость конденсатора возрастает с ростом прикладываемого к нему напряжения. Например, при напряжении 5·10⁴ вольт увеличение емкости должно составлять 2.4%.

Обычно в теоретической физике кривизну пространства-времени связывают с теорией гравитации Эйнштейна. Все другие поля рассматриваются в плоском пространстве Минковского. Найденная кривизна НСО в общем случае не имеет никакого отношения к ОТО Эйнштейна, однако появление искривленной геометрии стимулирует к поиску связи геометрии НСО с геометрией, получаемой из решения уравнений Эйнштейна. Конечно, это возможно далеко не всегда. Ниже мы покажем, что геометрию равноускоренной НСО можно получить и из решений уравнений Эйнштейна с учетом "космологической" постоянной, если в качестве источника в уравнениях Эйнштейна выбрать тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

Установим связь равноускоренной НСО с точным решением уравнений Эйнштейна - Максвелла. Для компонент тензора Эйнштейна

Gmn=Rmn-(1/2)gmnR

находим

G00=0,    G11=0,    G0k=0,     Gkl=0,

(k № l)    (k,l=1,2,3)    G22=G33=  1 2 R=  a02 c4 .

(18.1)

Выпишем уравнения Эйнштейна с учетом "космологической постоянной L "

Gmn+L gmn = cTmn,        c =  8pk c4 ,

(18.2)

где k гравитационная постоянная.

В качестве источника выберем тензор энергии - импульса электромагнитного поля [7], которое в искривленном пространстве - времени с метрикой (2.18), удовлетворяет уравнениям Максвелла в пустоте . В силу равенства Tⁿ_n=0, для "космологической постоянной" получим

L =  a02 2c4 =const.

(18.3)

Отличными от нуля компонентами тензора энергии - импульса оказались только диагональные. Как известно [7], приведение тензора T_mn к диагональному виду возможно, если ( в данной точке пространства и в данный момент времени) существует система отсчета, в которой вектор электрического поля [E\vec] параллелен вектору магнитного поля [H\vec], либо один из них равен нулю. Для рассматриваемого нами случая полагаем [H\vec]=0 , а вектор [E\vec] направляем вдоль оси y¹ , совпадающей с направлением ускорения. Следуя [7], вводим 3 - векторы [E\vec] и [D\vec] согласно определению :

D1=- Ц   g00   F01,       E1=F01, D1=  E1 Ц g00 ,        ® D   = ® E Ц g00 .

Остальные независимые компоненты тензора поля, в силу того что магнитное поле отсутствует, а поле [E\vec] направлено вдоль оси y¹, обращаются в нуль.

Для тензора энергии - импульса находим

T00=  g00 8p ® D   · ® D   ,        T11 =  g11 8p ® D   · ® D   ,

® D   · ® D   =D12,        T22=T33=  D12 8p .

(18.4)

Уравнения Максвелла для метрики (2.18) в статическом случае сводятся к виду

С× ® E   =0,        С· ® D   =0,

(18.5)

решение которых для постоянного однородного поля [D\vec] дает

D1=const,        E1=exp ж и  a0y1 c2 ц ш D1.

(18.6)

Совместное решение системы уравнений Эйнштейна - Максвелла приводит к связи между индукцией электрического поля D₁ и ускорением a₀.

a0= Ц   2k   D1.

(18.7)

На базе решения системы Эйнштейна - Максвелла, найденной метрике равноускоренной НСО можно придать простую физическую интерпретацию . Базис такой НСО представляет собой невзаимодействующую друг с другом заряженную пыль, находящуюся в равновесии в " параллельных " однородных электрическом и гравитационном полях. ( Сама пыль при этом полей не создает, а гравитационное поле "порождено" электрическим). Статическое решение для пробных частиц базиса в ОТО в электрическом поле с точки зрения ньютоновской теории представляет собой равновесие положительно заряженных частиц, находящихся в однородном гравитационном поле , помещенных в плоский конденсатор с вектором [E\vec] , направленным противоположно силе тяжести.

Из условий равновесия в ньютоновской механике имеем

a0=  eE m ,

(18.8)

где e - заряд частицы , a₀ - ускорение свободного падения , m - масса покоя частицы . С точки зрения ОТО при равновесии заряженной пыли в однородном электрическом и гравитационном поле справедливо уравнение " движения "

mc  DVm dS =  e c FmnVn ,

(18.9)

где D - абсолютный дифференциал . В (18.9) DV^m/dS отлично от нуля ( т.к. в противном случае частицы бы двигались по геодезическим ) Из (18.9) и (2.13) должно следовать , что в любой системе отсчета ( в том числе и сопутствующей ) должно выполняться равенство

gmn  DVm dS  DVn dS = -  a02 c4 =  e2 m2c4 FmsFneVsVegmn.

(18.10)

Для сопутствующей системы находим

a0=  e m D1=const.

(18.11)

Таким образом, (18.11) есть релятивистский аналог (18.8).

Т.к. в силу уравнений Эйнштейна - Максвелла напряженность гравитационного поля a₀ связана с "порождающей" ее индукцией D₁ соотношением (18.7), это накладывает отпечаток и на свойства частиц базиса , находящихся в равновесии под действием двух полей. Между зарядами и массами этих частиц должна существовать зависимость

e2 m2 =2k.

(18.12)

Итак, найденная метрика (2.18) может удовлетворять уравнениям Эйнштейна с L членом, где в качестве источника используется тензор энергии - импульса электромагнитного поля. При этом одновременно выполняются решения уравнений Максвелла, а "космологическая" постоянная L связана с индукцией D₁ по формуле

L =  kD12 c4 .

(18.13)

В параллельных полях могут находится в равновесии заряженные массивные частицы, массы и заряды которых связаны соотношением (18.12). Массы таких частиц в Ц2 меньше, чем у стабильных элементарных черных дыр " максимонов " [21]. Частица, обладая зарядом протона, имеет массу близкую к 10^-6 г , которая в 10²¹ раз больше массы электрона .

На основе теории сферически - симметричной НСО рассмотрим электростатическое поле обладающее центральной симметрией. Такое поле может быть создано, например, заряженным сферическим телом или точечным зарядом. Как показано в разделе 17, электростатическое поле связанных зарядов отличается от поля свободных зарядов. Рассмотрим заряженный проводящий шар радиуса R, заряженный зарядом Q. Требуется найти напряженность электрического поля E и определить геометрию пространства- времени вне шара. Получаемая кривизна пространства - времени в общем случае другой природы, чем в ОТО. Она обусловлена электромагнитным полем связанных зарядов, физическая ситуация которых эквивалентна их "размещению" в некоторой НСО. Действительно, каждый из зарядов на проводнике будет находиться на поверхности шара и испытывать со стороны создаваемого ими поля силу "отрицательного давления", направленного по внешней нормали к поверхности [26]. Эта сила компенсируется силой со стороны решетки, удерживающей заряды на поверхности сферы. Таким образом, рассматриваемая физическая ситуация эквивалентна ситуации, в которой находятся заряды, связанные невесомыми нитями длины R, закрепленные в общем центре. Следовательно, поле, создаваемое каждым из зарядов будет таким же, как если бы каждый из зарядов двигался равноускоренно с ускорением направленным к центру шара.

Возможна и другая ситуация, когда рассматриваемое "ускорение" направлено по радиусу от центра. Рассмотрим, например, поле в сферическом конденсаторе, когда внутренняя обкладка заряжена положительно, а внешняя отрицательно. Тогда электроны на внешней обкладке будут находиться на внутренней стороне внешней сферической оболочки. Сила со стороны поля стремится двигать электроны к центру сферы, но силы со стороны решетки, направленная от центра, компенсирует силу со стороны поля, вызывая "ускорение", направленное по радиусу от центра. Так как в дальнейшем нам понадобятся оба приведенных случая (с "ускорениями" разных знаков), то сначала мы рассмотрим случай, когда "ускорение" направлено по радиусу от центра, а затем - наоборот. Во избежание путаницы для двух случаев формулы будем приводить совместно, сохраняя за формулой с положительным "ускорением" по радиусу основной номер, а с "ускорением", направленным к центру, тот же номер с буквой.

При этом в выводе мы для первого случая учитываем действие на пробную частицу только со стороны одной сферы - внешней, не связывая эту задачу с нахождением поля сферического конденсатора. Эту задачу подробно разберем в дополнении 2.

Нашей задачей здесь является лишь сравнение того, как влияет направление "ускорения" на характеристики создаваемого ими поля.

Итак, в согласии с (15.8) и (2.18) потенциал dA₀ в точке наблюдения вид

dA0=  dQ rў exp м н о -  a0rў(1-cosq) 2c2 ь э ю ,

(19.1)

где rў - трехмерное ( евклидово ) расстояние от заряда dQ до точки наблюдения , q - угол между радиусом - вектором [r\vec] и [i\vec] , [i\vec]=[(a₀)\vec]/ | [(a₀)\vec] | . [i\vec] для каждого элемента заряда dQ направлен к центру сферы. Величина "ускорения" a₀ для зарядов отрицательно заряженной сферы (электронов) вычисляется по формуле

a0=  eE 2m ,

(19.2)

вывод которой приведен в разделе 17. Здесь e - величина заряда, m - масса электрона, E - напряженность поля на поверхности сферы. Для шара, заряженного положительно, "релятивистский" эффект будет значительно менее выражен, т.к. под массой m, будет выступать масса положительного иона, значительно превышающая массу электрона. Поэтому поле от положительно заряженного шара практически совпадает с классическим, а для отрицательно заряженного шара "релятивистские" поправки могут оказаться значительными.

В согласии с (2.18) каждый из электронов на поверхности сферы принадлежит касательному плоскому пространству, но риманову пространству - времени. Поэтому операция интегрирования по сфере происходит в плоском пространстве и является корректной. Выполнив интегрирование в (19.1), получим

A0= Qexp(z2) Ц p 4Rz й л F(z(1+2R/r))-F(z) щ ы ,   z =  r R   ж Ц  eQ 8mc2R

(19.3)

A0= Qexp(-z2) Ц   p   i 4Rz й л F(iz(1-2R/r))-F(iz) щ ы ,

(19.3a)

В (19.3), (19.3a) r - расстояние от центра шара до точки наблюдения F(z) - интеграл вероятности, F(iz) - интеграл вероятности мнимого аргумента.

F(z)=  2 Ц p у х z 0  exp(-t2) dt

F(iz)=  2i Ц p у х z 0  exp(t2) dt=i erfi \nolimits(z).

С другой стороны, совокупность электронов на поверхности сферы не принадлежит конгруенции мировых линий базиса НСО (2.18), а включаются в совокупность мировых линий, принадлежащих сферически - симметричной лагранжевой сопутствующей НСО с метрикой вида

dS2 = exp(n)(dy0)2- r2(dq2+sin2qdf2) - exp(l)(dr)2,

(19.4)

где n и l зависят только от r.

Функции n(r) и l(r) нуждаются в определении. Для их нахождения воспользуемся решением сферически-симметричных статических уравнений Максвелла с использованием метрики (19.4), аналогичных по записи уравнениям электродинамики в "заданном гравитационном поле" [7]. Затем сравним полученное решение с выражением для поля, получаемом из (19.3), (19.3a).

Для отличной от нуля радиальной компоненты "индукции" D¹ имеем уравнение

1 Ц g  ¶ ¶r ж и r2sinqexp(l/2)D1 ц ш =0,

(19.5)

решением которого будет

D1=  Q r2 exp(-l/2).

(19.6)

В (19.5) и (19.6) между "индукцией" D¹ напряженностью поля E¹ и компонентой тензора поля F₀₁ существуют известные [7] соотношения

D1=g11D1=  Q r2 exp(l/2)=  1 Ц g00 E1,   E1=F01,   gkl=-gkl ,

(19.7)

где g_kl - пространственный метрический тензор с определителем равным g.

Из (19.5) и (19.6) следует, что уравнения Максвелла естественно не определяют функций n(r) и l(r).

В согласии с (19.3) и (19.4) тензор электромагнитного поля F_mn имеет отличные от нуля компоненты F₀₁=-F₁₀

F01= Qexp(z2) Ц p 4r2d м н о й л F(z+2d)-F(z) щ ы (1-2z2)

+  2zexp(-z2) Ц p й л 1-exp(-4d(z+d)) щ ы ь э ю ,   d =   ж Ц  eQ 8mc2R   .

(19.8)

F01= Qexp(-z2) Ц p 4r2d м н о й л F(iz-2id)-F(iz) щ ы (1+2z2)i-

-  2zexp(z2) Ц p й л 1-exp(-4d(z-d)) щ ы ь э ю .

(19.8a)

Приравнивая (19.8), (19.8a) выражению F₀₁ из (19.7), находим уравнение, связи на функции n(r) и l(r)

exp ж и  n+l 2 ц ш = exp(z2) Ц p 4d м н о й л F(z+2d))-F(z) щ ы (1-2z2)

+  2zexp(-z2) Ц p й л 1-exp(-4d(z+d)) щ ы ь э ю .

(19.9)

exp ж и  n+l 2 ц ш = exp(-z2) Ц p 4d м н о й л F(iz-2id)-F(iz) щ ы (1+2z2)i-

-  2zexp(z2) Ц p й л 1-exp(-4d(z-d)) щ ы ь э ю .

(19.9a)

Для нахождения второго уравнения, связывающего эти функции, рассмотрим силу со стороны поля, действующую на пробный заряд q, закрепленный в точке с координатой r от центра шара. Пусть масса пробного заряда m₀. Тогда вектор первой кривизны F¹ мировой линии этого заряда можно найти из соотношения (1.5), записав для закрепленных зарядов условие сопутствия для метрики (19.4) в виде

Vk=Vk=0,      V0=(g00)-1/2,

V0=(g00)1/2,   F1 = F(r),   F0=F2=F3=0.

(19.10)

Откуда из (1.5), (19.4) и (19.10) имеем

F1=  1 2  dn dr exp(-l).

(19.11)

С другой стороны, эту величину можно найти и из силы, действующей на заряд со стороны связи, удерживающей заряд в поле неподвижным. Эта сила численно равна силе со стороны поля и противоположна ей по знаку.

F1=  1 2  dn dr exp(-l) = -  q m0c2 F10V0 =

-  Qq m0c2r2 exp(-l/2).

(19.12)

Из (19.8)-(19.12) находим

exp(n/2)=-  q m0c2 у х F01 dr=- Qq Ц p 4Rm0c2 у х м н о exp(z2)(1/z2-2)

й л F(z+2d)-F(z) щ ы +  2 z Ц p й л 1-exp(-4d(z+d)) щ ы ь э ю  dz+С1.

(19.13)

Постоянную интегрирования C₁ определим из требования евклидовости пространства на бесконечности.

Выполнить интегрирование в (19.12) аналитически не представляет труда, т.к. по определению

F01=-  ¶A0 ¶r

где A₀ определяется из (19.3). В результате получим

exp(n/2)=1+ Qqexp(z2) Ц p m0c24rd й л F(z+2d)-F(z) щ ы

= 1+  qA0 m0c2 .

(19.14)

Аналогично для отрицательного ускорения находим

exp(n/2)=1+ Qqexp(-z2) Ц   p   i m0c24rd й л F(iz-2id)-F(iz) щ ы

= 1+  qA0 m0c2 .

(19.14a)

Из (19.9), (19.9a) и (19.14), (19.14a) находим

exp ж и  l 2 ц ш = exp(z2) Ц p 4d м н о й л F(z+2d))-F(z) щ ы (1-2z2) ь э ю 1+ Qqexp(z2) Ц p m0c24rd й л F(z+2d)-F(z) щ ы

+  z 2d й л 1-exp(-4d(z+d)) щ ы 1+ Qqexp(z2) Ц p m0c24rd й л F(z+2d)-F(z) щ ы

= -  r2 Q  ¶A0 ¶r 1+  qA0 m0c2 .

(19.15)

exp ж и  l 2 ц ш = exp(-z2) Ц p 4d м н о й л F(iz-2id))-F(iz) щ ы (1+2z2)i ь э ю 1+ Qqexp(-z2) Ц   p   i m0c24rd й л F(iz-2id)-F(iz) щ ы

-  z 2d й л 1-exp(-4d(z-d)) щ ы 1+ Qqexp(-z2) Ц   p   i m0c24rd й л F(iz-2id)-F(iz) щ ы

= -  r2 Q  ¶A0 ¶r 1+  qA0 m0c2 .

(19.15a)

Проведем предварительный аналитический анализ (19.14), (19.15) раскладывая выражения в ряд по безразмерному параметру d. Отметим, например, что для заряженного отрицательно металлического шара f = 50 kV соответствует d = 0.11, для электрона с классическим радиусом e²/mc² d = 0.35355, для протона d = 0.015. Для алюминиевого шара, заряженного положительно до f = 50 kV d = 1.66·10^-4.

Разложение в ряд по d c сохранением членов пропорциональных первой степени d ( в числителе (19.15) раскладываем в ряд , удерживая члены с d² ) приводит к соотношению

exp(n)= ж и 1+  Qq rm0c2 ц ш 2   =exp(-l).

(19.15)

В формуле (19.15) заряды Q и q могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки. В отличие от ОТО метрика пространства-времени зависит как от заряда, создающего поле Q, так и от величины пробного заряда q. В частности, если пробный заряд q=0, то метрика превращается в синхронную жесткую с равными нулю тензорами скоростей деформаций, угловой скорости вращения и нулевыми векторами первой кривизны (4- ускорениями). Тензор кривизны пространства-времени в этом случае выражается, как известно, через трехмерный тензор кривизны, вычисляемый с помощью трехмерной пространственной метрики [7]. Если заряды Q и q - одноименные, то в силу (19.12) F¹ направлен к центру сферы, а для разноименных - по "радиусу" от центра. Если в качестве пробных зарядов выбрать одинаковые заряды, у которых сила кулоновского отталкивания в точности равна силе ньютоновского притяжения, то такие частицы в классическом смысле будут невзаимодействующими. Если также приравнять ньютоновскую силу тяготения между зарядами на сфере силе их электростатического кулоновского отталкивания, то между зарядами и их массами будут выполняться очевидные соотношения q²/m₀²=k, Q²/M²=k, где M - масса зарядов Q, k - гравитационная постоянная. (Решение приводится в системе СГСЭ.) Метрика (19.15), (19.15a) в этом случае совпадает с точным электровакуумным сферически-симметричным совместным решением уравнений Эйнштейна и Максвелла и носит название метрики Райснера - Нордстрема. Напомним, что в нашем случае уравнения Эйнштейна вообще не использовались , а кривизна пространства-времени была обусловлена эквивалентностью ситуации для связанных зарядов, удерживаемых решеткой на сферической поверхности, с ситуацией подобной их равноускоренному движению к центру сферы с сохранением критерия жесткости по Борну. Как мы отмечали ранее в римановом пространстве - времени в отличие от пространства Минковского такая ситуация возможна. Любопытно оценить величину d, при которой найденное нами приближенное решение ( т.е решение Райснера - Нордстрема ) наименее отличается от точного (19.14), (19.15).

В согласии с классическими представлениями выберем в качестве наименьшего заряда заряд электрона e. Тогда из равенства e²/M²=k находим M=1.86·10^-6г. Считая частицу сферической и полагая ее плотность равной плотности ядерного вещества r = 2.7·10¹⁴ г/см³ получим в согласии с (19.8) d = 2.5·10^-9. Т.к. решение Райснера - Нордстрема получено нами как разложение в ряд по d, то для последнего примера оно практически совпадает с точным (19.14), (19.15).

Итак получили результат, что для частиц, имеющих заряд электрона, у которых сила кулоновского отталкивания компенсируется ньютоновской силой тяготения, справедливо решение Райснера - Нордстрема. В теории Эйнштейна - Максвелла таких ограничений не накладывается.

Попытаемся на базе развиваемого подхода предсказать возможные эксперименты, которые бы позволили подтвердить или опровергнуть предлагаемую схему.

Любопытно отметить, что отличная от нуля тетрадная компонента F₍₀₎₍₁₎ тензора поля в тетрадах (7.1) в точности соответствует обычному кулоновскому выражению для поля точечного заряда или полю вне заряженного шара в пространстве Минковского для любых n и l.

Произведем расчет емкости заряженного металлического шара радиуса R. При классическом рассмотрении в системе СГСЭ емкость C=R. Для нашего случая емкость будет зависеть от приложенного к шару потенциала, а также и от знака заряда. Вычислим емкость по формуле (17.13)

C=Q2/2W.

(19.16)

Для нахождения плотности энергии электромагнитного поля можно воспользоваться тетрадами в виде (7.1) с использованием метрики (19.4), и условиями сопутствия в форме

Vk=Vk=0,       V0=(g00)-1/2,       V0=(g00)1/2.

С точки зрения монадного метода [23] плотность энергии r электромагнитного поля является скаляром по отношению к произвольным преобразованиям y^m=f^m(xⁿ). В нашем случае r соответствует T₍₀₎₍₀₎ = T⁽⁰⁾⁽⁰⁾=T⁽⁰⁾₍₀₎ компонентам тензора энергии-импульса. Очевидно, что

r = T(0)(0)=TmnVmVn.

Используя выражения (17.14), (17.15), (19.7), находим для плотности энергии r соотношение

r =  Q2 8pr4 ,

(19.17)

которое в точности совпадает с выражением для плотности энергии поля вне заряженной сферы в пространстве Минковского.

Однако для нахождения полной энергии поля вне заряженного шара нужно производить интегрирование по пространству в римановом пространстве - времени с метрикой (19.4), определяемой из (19.14), (19.15). Для этого воспользуемся формулой (17.16), в согласии с которой имеем

W= у х Ц   -g   TmnVn dSm=  Q2 2 у х Ґ R  exp ж и  l+n 2 ц ш r2  dr=  A0(R)Q 2 ,

(19.18)

где A₀(R) определяется из (19.3) при r=R.

В результате получим для емкости C

С=R й л  4d Ц   p   exp(d2)[F(3d)-F(d)] щ ы ,

(19.19)

Для отрицательного "ускорения" имеем аналогично

С=R й л  2id Ц   p   exp(-d2)F(id) щ ы ,

(19.19a)

Для отрицательно заряженного металлического шара величина d

d = 1.563·10-2Цn,

где n безразмерное число киловольт, определяющее потенциал шара.

Считая d малой величиной, из (19.19), (19.19a) находим

С=R й л 1+2d2 щ ы ,

(19.20)

С=R й л 1+  2d2 3 щ ы ,

(19.20a)

Например при потенциале -50 kV добавка к емкости должна составлять 2.44% при положительном и 0.8% при отрицательном "ускорении"

Для вычисления емкости шара можно вместо формул (19.16), (19.19) определить емкость обычным способом по формуле

C=  Q A0 .

(19.21)

где A₀ вычисляется из (19.3) при r=R.

Таким образом, обе формулы (19.16) и (19.21) оказались эквивалентными, как и при классическом рассмотрении.

Формула (19.18) справедлива не только для заряженных проводников сферической формы, но и для произвольных заряженных проводящих тел. Докажем это утверждение. Из (19.18) имеем

W=  1 8p у х Ц   -g   g00gklEkEl dV =  1 8p у х Ц -g Ц g00 EkDk dV,

(19.18a)

где

Ek=-  ¶A0 ¶yk ,   Dk=  1 Ц g00 gklEl,    gkl=-gkl,   .

(19.18b)

В (19.18b) g_kl - метрика трехмерного пространства. Так как вращения отсутствуют, то члены метрики g_0k=0. Интеграл (19.18a) с учетом уравнений Максвелла в "заданном гравитационном поле" [7]

1 Ц g  ¶ ¶yk ( Ц   g   Dk)=4pr

(19.18c)

сведется к виду

W=-  1 8p у х Ц -g Ц g00 ж и  1 Ц g  ¶ ¶yk ( Ц   g   A0 Dk)-4prA0 ц ш  dV.

(19.18d)

Используя равенство

Ц -g Ц g00 = Ц   g   ,

получим вместо (19.18d) соотношение

W=-  1 8p у х  ¶ ¶yk ( Ц   g   A0 Dk) dV+  1 2 у х rA0 Ц   g    dV.

(19.18e)

Используя теорему Гаусса, преобразуем первый интеграл по объему к интегралу по окружающей этот объем поверхности. Так как подинтегральное выражение убывает с расстоянием как 1/r³, то выбрав поверхность достаточно далеко, этот интеграл исчезает. Так как все заряды сосредоточены на поверхности проводника и потенциал на поверхности постоянен, то для второго интеграла получим ¹

W=  1 2 A0 у х r Ц   g    dV=  1 2 A0Q,

(19.18f)

что тождественно с (19.18).

Как известно, [7] в классической (неквантовой) релятивистской механике элементарным частицам нельзя приписывать конечных размеров и они должны рассматриваться как точечные. С другой стороны, заряженная частица при таком рассмотрении обладает бесконечной собственной энергией, а, следовательно, и массой. Физическая бессмысленность такого результата в согласии с [7] требует ограничить основные принципы самой электродинамики определенными пределами.

Докажем, что в предлагаемой нами модели указанной выше трудности не возникает и собственная энергия отрицательного точечного заряда Q, содержащего в себе N электронов, конечна.

Для доказательства воспользуемся выражениями (19.18) и (19.3), (19.3a) при R®0. Полагая в (146) Q=Ne и воспользовавшись известной асимптотической формулой [47]

Ц   p   zexp(z2)(1-F(z)) ~ 1+ Ґ е m=1  (-1)m  1·3ј(2m-1) (2z2)m ,

(19.22)

находим при z=d >> 1 выражение

A0(R) »  Q 4Rd2 ж и 1-  1 2d2 ц ш =  2mc2 e ж и 1-  4mc2R eQ ц ш

W=  QA0 2 =Nmc2 ж и 1-  4mc2R e2N ц ш

Откуда при R®0 имеем

W=Nmc2.

(19.23)

Для заряженной проводящей сферы "ускорение" отрицательно. Из (19.3a) находим на поверхности сферы выражение

A0(R)= Qexp(-d2) Ц p 2Rid й л F(id) щ ы ,

откуда находим при z=d >> 1 выражение

A0(R) =  4mc2 e .

При R®0 имеем для энергии поля связанных на сфере зарядов выражение

W=2Nmc2.

(19.23a)

Величина энергии точечной частицы оказалась независимой от знака и величины заряда. Из (19.23a) следует, что энергия поля отрицательно заряженной частицы с зарядом Q=Ne определяется двойной энергией покоя ее N электронных масс.

В частности, для одного электрона "размазанного" на сфере радиуса R®0 собственная энергия поля совпадает с его удвоенной энергией покоя W=2mc².

Классическая емкость проводящего шара равна его радиусу и, следовательно, равна нулю при рассмотрении точечной частицы. В нашем случае емкость точечного электрона в согласии с (19.23а) вычисляется по формуле

C-=  Q2 2W =  e2 4mc2 =  r0 4 ,

и оказывается в четыре раза меньше его классического радиуса.

В "нерелятивистском" приближении d®0 имеем

A0(r)=  Q r ,       W=  Q2 2R

классические соотношения для потенциала и энергии заряженного проводящего шара.

Отметим, что величина энергии элементарной точечной частицы не зависит от знака и величины заряда. Таким образом, предлагаемый нами подход расширяет область применимости классической теории поля при переходе к достаточно малым расстояниям.

Говоря об электроне, следует соблюдать известную осторожность. Основной вопрос о природе электрона остается до сих пор невыясненным. Как говорил Эйнштейн, "электрон является чужаком в электродинамике". Из электродинамики трудно понять, как может конечный заряд электрона e, рассматриваемый как точечный или находящийся в очень малом объеме, сохраняться в качестве стабильного образования, вопреки действующими между его элементами кулоновыми силами отталкивания. Природа сил, препятствующих взрыву электрона под действием кулоновых сил, нам неизвестна. На решение этой проблемы можно надеяться лишь в общей теории элементарных частиц.

Как отмечено в [83], Пуанкаре "в 1906 году ввел поверхностное давление неизвестного происхождения, которое должно было действовать на электрон со всех сторон, как равномерно натянутая пленка".

Эта пленка эквивалентна нашей модели упругих нитей, закрепленных в центре и сдерживающих элементы заряда электрона от разбегания за счет кулоновых сил. В этом давлении Пуанкаре (или силах упругой деформации) должна по-видимому скрываться часть энергии покоя электрона. Поэтому электромагнитная масса электрона оказалась больше массы покоя. Часть электромагнитной массы оказалась ответственной за его устойчивость.

Аналогичная ситуация имеет место и в ОТО при рассмотрении полной энергии материи и постоянного гравитационного поля (т.е. полной массы тела), выражаемой через тензор энергии импульса одной только материи [7]. Эту задачу впервые рассмотрел Р. Толмен [108]. Исключая промежуточные выкладки, подробно проделанные в [7] и [108], приводим результат

P0=mc=  1 c у х (T00-T11-T22-T33) Ц   -g   d V.

Здесь P⁰ - временная компонента 4 - импульса, dV - трехмерный (евклидов) элемент объема, g - 4 - мерный определитель метрического тензора.

Если в качестве источника в уравнениях Эйнштейна выбрать тензор энергии - импульса электромагнитного поля, то из равенств

Tmm=0,   T(0)(0)=T00,

вытекающих из тетрад в виде (7.1) с использованием метрики (19.4), и условиями сопутствия в форме

Vk=Vk=0,       V0=(g00)-1/2,       V0=(g00)1/2,

находим

P0=mc=  2 c у х T(0)(0) Ц   -g   d V.

Значение P⁰ отличается от энергии поля W (17.16), (17.16f) множителем 2/c. Если множитель 1/c вполне естественен, то наличие удвоения энергии связано с учетом не только энергии электрического поля, но и связанного с ним посредством уравнений Эйнштейна, гравитационного поля.

В нашем случае роль гравитационного поля выполняет поле сил связей, (давление Пуанкаре) которые препятствуют кулоновским силам отталкивания и сохраняют жесткость заряженной частицы. По этой причине в формуле (19.23а) происходит удвоение энергии.

Хотя потенциал A₀ и энергия W поля точечного заряда оказались конечными, однако выражение для закона Кулона, оказалось справедливым в тетрадах для всей области значений радиуса. Из поля тетрад (7.1), метрики (19.4) и формул (19.8а) и (19.9а) следует выражение

F(0)(1)=exp ж и -  l+m 2 ц ш F01=  Q r2 ,

которое в точности совпадает с классическим выражением для напряженности поля точечного заряда. В [7] в качестве напряженности поля выбираются не тетрадные компоненты тензора поля, а их аффинные значения F_0k. Переход к пределу в (19.8а) и (19.9а) при r=R и R® 0 также приводит к выражению

F01=  Q R2 .

Таким образом, для аффинных компонент тензора поля для больших r >> r₀ и малых r << r₀ расстояний от заряда также справедлив закон Кулона, хотя для величин вблизи r₀ тетрадные и аффинные компоненты не совпадают.

Из анализа формул (19.3а) и (19.18) вытекает, что энергия электрического поля заряженной проводящей сферы при заданном заряде Q=e и радиусе R имеет максимум при R=0.06r₀=1.68*10^-14 см. Значение этого максимума для для сферы с зарядом электрона составляет W_max=2.565 mc².

При R® 0, энергия не стремится к бесконечности, как при классическом рассмотрении, а стремится к величине W=2 mc². Итак, размер частицы, имеющей экстремальное давление Пуанкаре, составляет величину порядка 1.7*10^-14 см.

Как показывают современные исследования в квантовой теории поля, справедливость закона Кулона выполняется до значений радиуса r=10^-16 см. Поэтому старые нелинейные теории поля Г. Ми, М. Борна и М. Борна и Л. Инфельда, разобранные в монографиях [83] и [109], где нарушение закона Кулона происходит на расстояниях порядка классического радиуса электрона r₀ ~ 10^-13 см, не удовлетворяют современным теоретическим и экспериментальным данным.

Для нашего случая закон Кулона (в тетрадах, к которым и относятся показания приборов) справедлив для любого значения радиуса, что согласуется с современными измерениями.

В заключение раздела рассмотрим вопрос об электромагнитной массе и электромагнитном импульсе поля движущегося заряда (электрона). "Физические" компоненты 4 - импульса поля P^(a) движущейся частицы определим в согласии с формулой

P(a)=  1 c у х Ц   -g   Tmnen(a) dSm =  1 c у х Ц   -g   T(0)(a) dV,

(19.23b)

в которой компонента P⁽⁰⁾ равна энергии поля W (19.23a), поделенной на скорость света c, а пространственные тетрадные компоненты P^(k) образуют трехмерный вектор импульса поля. Чтобы выполнить интегрирование в последней формуле, удобно выразить входящие в нее величины через величины СО, в которой электрон покоится. Все величины в этой системе будем обозначать со штрихом. Предположим, что электрон движется вдоль оси z. Так как в тетрадах, удовлетворяющих калибровке Ламе, которой мы здесь пользуемся, геометрические объекты имеют ту же самую структуру, что и в галилеевых координатах плоского пространства Минковского, то формулу (19.23b) представим в векторном виде

® P   =  1 4pc у х Ц   -g   ® E   × ® H    dV,    ® H   =  1 c ® v   × ® H   .

(19.23c)

Здесь [E\vec], [H\vec], [v\vec] - векторы электрического, магнитного полей и скорости частицы соответственно.

Последний интеграл можно преобразовать к виду

® P   =  1 4pc у х Ц   -g   ® E   × ® H    dV =  1 4pc у х Ц   -g   [ ® v   E2- ® E   ( ® v   · ® E   )] dV.

(19.23d)

Ясно, что в сопутствующей СО магнитное поле частицы равно нулю и [P\vec]=0. Для вычисления интеграла воспользуемся следующими формулами, вытекающими из инвариантности 4 - объема, интервала и лоренцева преобразования полей

Ц   -g   dV cdt = Ц   -gў   dVўcdtў,   dtў=dt Ц   1-b2   ,   b =  v c ,    Ez=Eўz,

Ey=  1 Ц 1-b2 Eўy,    Ex=  1 Ц 1-b2 Eўx,   Hz=0,

Hy=-  bEўx Ц 1-b2 ,    Hx=  bEўy Ц 1-b2 .

Используя эти формулы, находим для отличной от нуля P_z=P⁽³⁾ компоненты импульса поля выражение

Pz=  v 4pc2 Ц 1-b2 у х (Eўx2+Eўy2) Ц   -gў   dVў.

Из сферической симметрии электрического поля в сопутствующей электрону СО имеем

Pz=  2 3  v 4pc2 Ц 1-b2 у х Eў2 Ц   -gў   dVў =  4 3  v c2 Ц 1-b2 W,

(19.23e)

где энергия поля W определена в (19.18), а для точечной частицы - в (19.23a).

Наличие множителя 4/3 в последней формуле является трудностью как классической теории Максвелла, так и нашей модификации.

Рассмотрим поле, обладающее цилиндрической симметрией, создаваемое тонким бесконечно длинным заряженным металлическим цилиндром.

Совместим ось z с осью цилиндра, выбрав начало координат в центре цилиндра. Расчет поля будем производить в цилиндрической системе координат, воспользуясь для нахождения потенциала формулой (19.1), где rў - трехмерное ( евклидово ) расстояние от заряда dQ до точки наблюдения , q - угол между радиусом - вектором [r\vec] и [i\vec] , [i\vec]=[(a₀)\vec]/ | [(a₀)\vec] | . [i\vec] для каждого элемента заряда dQ направлен к центру цилиндра перпендикулярно его поверхности. Величина "ускорения" a₀ для зарядов отрицательно заряженной цилиндрической поверхности (электронов) вычисляется по формуле (19.2).

Каждый из зарядов на проводнике будет находиться на поверхности цилиндра и испытывать со стороны создаваемого ими поля силу "отрицательного давления", направленного по внешней нормали к поверхности [26]. Эта сила компенсируется силой со стороны решетки, удерживающей заряды на поверхности цилиндра. Таким образом, рассматриваемая физическая ситуация эквивалентна ситуации, в которой находятся заряды, связанные невесомыми нитями длины R равной радиусу цилиндра, закрепленные вдоль оси цилиндра. Следовательно, поле, создаваемое каждым из зарядов будет таким же, как если бы каждый из зарядов двигался равноускоренно с ускорением направленным к оси цилиндра. В согласии с (2.18) каждый из электронов на поверхности цилиндра принадлежит касательному плоскому пространству, но риманову пространству - времени. Поэтому операция интегрирования по поверхности цилиндра происходит в плоском пространстве и является корректной.

Из геометрических соображений легко получить формулу, связывающую величины rў и q c радиальной координатой r и угловой координатой f цилиндрических координат.

rўcosq = R-rcosf.

(19.24)

Элемент заряда dQ на поверхности цилиндра можно представить в виде

dQ=sR dfdz=  g 2p dfdz,

(19.25)

где s и g соответственно поверхностная и линейная плотности зарядов.

В целях упрощения перейдем от тонкого цилиндра к заряженной нити, полагая R® 0 и считая g постоянной конечной величиной. В результате для потенциала A₀ получим выражение

A0=  g p у х p 0  dfexp ж и -  ra0cosf 2c2 ц ш у х +Ґ -Ґ  exp ж и - a0 Ц r2+z2 2c2 ц ш Ц r2+z2  dz.

(19.26)

Вычисление интегралов приводит к соотношению

A0=2gI0(a)K0(a),      a =  ra0 2c2 =  re E0 4mc2 .

(19.27)

В последнем соотношении E₀ - напряженность поля на поверхности цилиндра, I₀, K₀ - цилиндрические функции Бесселя в общепринятых обозначениях [82].

Найдем геометрию пространства-времени вне заряженной нити и вычислим энергию поля, созданную зарядами этой нити.

Совокупность электронов на поверхности цилиндра не принадлежит конгруенции мировых линий базиса НСО (2.18), а включаются в совокупность мировых линий частиц базиса, принадлежащих цилиндрически - симметричной лагранжевой сопутствующей НСО с метрикой вида

dS2 = exp(n)(dy0)2- exp(l)dr2-r2 df2-dz2.

(19.28)

где n и l зависят только от r.

Функции n(r) и l(r) нуждаются в определении. Для их нахождения воспользуемся решением цилиндрически-симметричных статических уравнений Максвелла с использованием метрики (19.28), аналогичных по записи уравнениям электродинамики в "заданном гравитационном поле" [7]. Затем сравним полученное решение с выражением для поля, получаемом из (19.27).

Для отличной от нуля радиальной компоненты "индукции" D¹ имеем уравнение

1 Ц g  ¶ ¶r ж и rexp(l/2)D1 ц ш =0,

(19.29)

решением которого будет

D1=  2g r exp(-l/2).

(19.30)

В (19.29) и (19.30) между "индукцией" D¹ напряженностью поля E¹ и компонентой тензора поля F₀₁ существуют известные [7] соотношения

D1=g11D1=  2g r exp(l/2)=  1 Ц g00 E1,   E1=F01,   gkl=-gkl ,

(19.31)

где g_kl - пространственный метрический тензор с определителем равным g.

Ясно, что уравнения Максвелла не определяют функций n(r) и l(r).

Из (19.27) находим отличные от нуля компоненты F₀₁=-F₁₀

F01=-  ¶A0 ¶r =  ga0 c2 (K1(a)I0(a)-I1(a)K0(a)).

(19.32)

Приравнивая (19.32) выражению F₀₁ из (19.31), находим уравнение, связи на функции n(r) и l(r)

exp ж и  n+l 2 ц ш =a(K1(a)I0(a)-I1(a)K0(a)) =  r 2g F01.

(19.33)

Для нахождения второго уравнения, связывающего эти функции, рассмотрим силу со стороны поля, действующую на пробный заряд q, закрепленный в точке с координатой r от оси нити. Пусть масса пробного заряда m₀. Тогда вектор первой кривизны F¹ мировой линии этого заряда можно найти из соотношения (1.5), записав для закрепленных зарядов условие сопутствия для метрики (19.28) в виде

Vk=Vk=0,      V0=(g00)-1/2,

V0=(g00)1/2,   F1 = F(r),   F0=F2=F3=0.

(19.34)

Откуда из (1.5) имеем

F1=  1 2  dn dr exp(-l).

(19.35)

Эту же величину можно найти и из силы, действующей на заряд со стороны связи, удерживающей заряд в поле неподвижным. Эта сила численно равна силе со стороны поля и противоположна ей по знаку.

F1=  1 2  dn dr exp(-l) = -  q m0c2 F10V0 =

-  2gq m0c2r exp(-l/2).

(19.36)

Из (19.32)-(19.36) находим

exp(n/2)=-  q m0c2 у х F01 dr =  qA0 m0c2 +С1,

(19.37)

где C₁ - постоянная интегрирования.

Постоянную интегрирования определим из вида асимптотики A₀ на больших расстояниях от нити. Хорошо известно, что при классическом рассмотрении потенциал A₀ на больших расстояниях от нити логарифмически расходится.

Для рассматриваемого нами случая это не так. Докажем это.

В тетрадах (17.10) на основе формул (19.30), (19.31) F₍₀₎₍₁₎ компонента тензора электромагнитного поля имеет вид

F(0)(1)=  2g r .

(19.38)

На поверхности цилиндра величина поля E₀ совпадает с тетрадной компонентой F₍₀₎₍₁₎. Поэтому для величины a имеем

a=  ra0 2c2 =  re E0 4mc2 =  re g R2mc2 ,    r і R.

(19.39)

Из анализа (19.39) следует, что a®Ґ при r®Ґ. Для больших расстояниях от нити можно воспользоваться известными асимптотическими разложениями для функций Бесселя [82].

I0(a) @   ж Ц  1 2pa   ea,   K0(a) @   ж Ц  p 2a   e-a

(19.40)

Это приводит для компоненты 4 - потенциала А₀ к выражению

A0(a)=  g a =  2mc2R er ,

(19.41)

Отсюда следует, что при r®Ґ, A₀® 0.

Итак, мы доказали, что для нашего случая поведение A₀ на бесконечности резко отличается от классического аналога: вместо расходящейся величины мы получили величину стремящуюся к нулю.

Это дает возможность постоянную интегрирования C₁ определить из (19.37) из требования обращения g₀₀ в единицу на бесконечности. В результате из (19.37) имеем

exp(n/2)=1+  qA0 m0c2 .

(19.42)

Используя (19.33), находим

exp(l/2)=-  r 2g  ¶A0 ¶r  1 1+  qA0 m0c2 .

(19.43)

Для слабых полей при a << 1, используя известные разложения для функций Бесселя [82]

I0(a) @ 1,   K0(a) @ -(ln(a/2)+C),

(19.44)

находим

A0(a) @ -2g ж и  ln  ж и  ra0 2c2 ц ш +C ц ш ,    -  ¶A0 ¶r @  2g r ,

(19.45)

где C=0.57721566490... - есть постоянная Эйлера.

(19.45) с точностью до значения постоянных в потенциале совпадает с классическим выражением. Однако метрика пространства-времени даже в случае слабого поля остается римановой, определяется формулой (19.42), а вместо (19.43) имеем

exp(l/2)=  1 1+  qA0 m0c2 .

(19.46)

Вычислим энергию поля от элемента заряженной нити длины h, воспользуясь формулами (17.16) -(17.18), (19.18). Для тетрадной компоненты T⁽⁰⁾⁽⁰⁾ тензора энергии-импульса имеем выражение

T(0)(0)=  g2 2pr2

(19.47)

W= у х Ц   -g   TmnVn dSm =  hg 2 у х Ґ R  F01 dr

= -  hg 2 у х Ґ R   ¶A0 ¶r  dr =  A0(R)gh 2 -  A0(Ґ)gh 2 ,

(19.48)

Так как по доказанному в (19.41) A₀(Ґ)=0, а нить по условию имеет радиус R® 0, то соотношение (19.48) на основе (19.39) примет вид

W=  A0(R)gh 2 =g2 hI0 ж и  eg 2mc2 ц ш K0 ж и  eg 2mc2 ц ш .

(19.49)

Из формулы (19.49) следует, что энергия поля внутри цилиндра длины h и бесконечного радиуса является конечной величиной, что резко отличается от классического значения энергии заряженной нити, которая бесконечно велика.

При плотной упаковке зарядов на нити, т.е. при выполнении условия

eg 2mc2 >> 1

(19.50)

имеем для энергии выражение

W=  ghmc2 e =Nmc2,

(19.51)

где N - число электронов на длине h нити.

Итак, для трех видов симметрии (плоской, сферической и цилиндрической), энергия поля, создаваемая точечными зарядами, не расходится, как это имеет место при классическом рассмотрении, а определяется энергией покоя зарядов, создающих поле. При этом величина заряда выпадает из формул для энергии.

Обратим внимание на то, что в отличие от аналогичной формулы (19.23а), в формулах (19.51) и (17.16i) удвоения энергии не происходит. Причина связана с характером рассматриваемых моделей распределения зарядов. Очевидно, что при сферическом распределении зарядов поверхностная плотность заряда постоянна, поэтому давление Пуанкаре дает естественный вклад в энергию поля. При рассмотрении заряженной плоскости и заряженной нити, поверхностная плотность и линейная плотность заряда для простоты расчета были выбраны постоянными по определению. На самом деле плотность зарядов на проводящей плоскости и на нити не может быть постоянной, так как кулоновское отталкивание должно привести к растеканию зарядов и увеличению плотностей на краях по сравнению с плотностями в центре. (Всякая реальная плоскость и нить имеет всегда конечные размеры). Для того, чтобы растекания зарядов не происходило, и плотность зарядов была постоянна по поверхности или по длине, необходимо "приклеить" заряды на плоскости или по длине нити. Силы, необходимые для удерживания на плоскости (нити) "приклеенных" зарядов, в расчетах не учитывались. Учитывалась лишь энергия сил связи перпендикулярных плоскости (нити), препятствующих зарядам покинуть заряженное тело. Для тел сферической формы растекания зарядов по сфере не происходит. Силы связи не содержат касательных поверхности сферы составляющих. И "приклеивать" заряды для поддержания постоянной плотности на сфере нет необходимости. Поэтому силы реакции связи на сфере полностью участвуют во вкладе в энергию, а на нити и плоскости энергия части сил связи (касательных плоскости или нити) в расчет не входит. Отсюда можно понять качественно различие в величинах энергии.

Рассмотрим в пространстве Минковского центрально - симметричное движение сплошной среды, происходящее из некоторой точки, в которой помещено начало координат. Очевидно, что для наблюдателей в лагранжевой сопутствующей системе отсчета расстояние между соседними элементами среды будет изменяться во времени, т.е. такая система не является жесткой . Так как все точки среды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют одинаковые скорости и ускорения , то такая среда движется без вращений . Таким образом, для такой НСО тензор угловой скорости вращения равен нулю, а тензор скоростей деформаций и поле векторов первой кривизны отлично от нуля. Если для рассматриваемой НСО потребовать выполнения условия жесткости, то из анализа уравнения структуры (1.7) следует , что в пространстве Минковского не существует сферически - симметричной НСО, имеющих радиальное ускорение отличное от нуля и равный нулю тензор скоростей деформаций. Иными словами, в пространстве Минковского невозможно жесткое радиальное движение сплошной среды.

В римановом пространстве такая ситуация возможна. Это следует, например, из условия статического равновесия в сферически - симметричном гравитационном поле, описываемой метрикой Шварцшильда [7]. Для наблюдателей, покоящихся на поверхности неподвижной гравитирующей сферы, с точки зрения ОТО ускорение отлично от нуля и направлено от центра перпендикулярно поверхности, в то время как для наблюдателей, придерживающихся ньютоновской точки зрения, ускорение равно нулю. И, наоборот, свободное падающее тело в ньютоновском поле тяжести имеет отличное от нуля ускорение, а в шварцшильдовом поле движется по геодезической линии с нулевым ускорением. Более полно эти вопросы обсуждаются в работах [40] , [41] . Метрику сферически - симметричной лагранжевой сопутствующей НСО по аналогии с ОТО [7] ищем в виде

dS2 = exp(n)(dy0)2- r2(dq2+sin2qdf2) - exp(l)(dr)2,

(20.1)

где n и l зависят только от r.

НСО (20.1) является очевидно жесткой, т.к. метрические коэффициенты не зависят от времени, а равенство нулю компонент g_0k говорит об отсутствии вращений. Система (1.1) с учетом сформулированных требований, а также выполнения условий сопутствия

Vk=Vk=0,   V0=(g00)-1/2,   V0=(g00)1/2,        F1 = F(r),       F0=F2=F3=0

сводится к одному уравнению

F1=  1 2  dn dr exp(-l).

(20.2)

Можно убедиться , что структурные уравнения (1.7) удовлетворяют (20.2) без дополнительных связей на функции n(r) и l(r). Таким образом, по заданному полю векторов первой кривизны F¹ нельзя однозначно без привлечения дополнительных факторов определить метрику (20.1).

Рассмотрим некоторые простейшие возможности. Проведем следующий мысленный эксперимент.

а). Пусть наблюдатели, находящиеся на поверхности земли, вращения которой не учитываем, плотность считаем постоянной, а форму сферической, измеряют гравитационное поле с помощью акселерометров. Они найдут, что поле ускорений направлено по радиусу от центра перпендикулярно поверхности. Для измерения поля вдали от поверхности используем множество радиальных невесомых жестких стержней, вдоль которых установим систему акселерометров. Совокупность стержней и акселерометров задает базис радиальноускоренной жесткой системы отсчета. Действительно, по мере удаления от поверхности земли поле ускорений будет уменьшаться, подчиняясь ( в нулевом приближении ) закону всемирного тяготения Ньютона. Если наблюдатели считают , свое пространство плоским , а закон всемирного тяготения точным , то метрика (20.1) будет иметь вид [18] .

dS2 = exp(-rg/r)(dy0)2- r2(dq2+sin2qdf2) - (dr)2,

(20.3)

где r_g=2kM/c² носит название гравитационного радиуса . При выводе (20.3) учли, что по определению плоского пространства l = 0 , а n нашли из (20.2) и закона тяготения Ньютона.

Итак, хотя метрика пространства - плоская , метрика пространства - времени (20.3) оказалась римановой. Таким образом, ньютоновская теория гравитации в плоском пространстве допускает два логически непротиворечивых толкования.

В согласии с общепринятой трактовкой в ньютоновской теории плоским является не только пространство, но и пространство - время. При этом на тело, находящееся на поверхности земли, действуют две силы , сила тяжести и сила реакции опоры , которые в сумме дают ноль и поэтому не сообщают телу никакого ускорения.

В нашей трактовке на тело, покоящееся относительно поверхности земли, действует только одна сила - сила реакции опоры, которая сообщает телу ускорение, измеряемое акселерометром, вычисляемое по формуле (20.2) с использованием метрики (20.3). Если опору убрать, то тело будет двигаться по геодезической линии в пространстве - времени с метрикой (20.3), в то время как при обычной трактовке при отсутствии опоры тело будет двигаться в плоском пространстве - времени под действием силы тяжести.

Модифицированная нами ньютоновская трактовка ближе к эйнштейновской, чем чисто ньютоновская. Можно показать, воспользуясь [42], что расчет смещения перицентра за один оборот по метрике (20.3) в три раза меньше, чем по метрике Шварцшильда. Изменение направления луча света при прохождении вблизи центрального тела по (20.3) в два раза меньше щварцшильдовского. Поэтому предлагаемая модель, не претендуя на замену ОТО, устанавливает более тесную связь между ньютоновской и эйнштейновской теориями, показывая , что ньютоновскую теорию можно рассматривать в римановом пространстве - времени. Если в ньютоновском приближении рассматриваемая трактовка совпадает с экспериментальными данными, то более тонких эффектов, которые объясняет ОТО, модель не учитывает.

Попытаемся модифицировать модель так, чтобы она точнее соответствовала данным наблюдений.

б).При выводе (20.3) предполагалось, l = 0, что соответствует модели плоского пространственного сечения. В качестве системы отсчета вне земли выбиралась система жестких недеформируемых стержней, по которым звук распространяется с бесконечно большой скоростью, что противоречит конечности скорости распространения взаимодействия. Поэтому для устранения этого недостатка модели будем считать , как и в ОТО, что структура базиса радиальноускоренной НСО вне земли эквивалентна некоторой упругой среде , подверженной деформациям, а, следовательно, и напряжениям, но имеющей равный нулю тензор скоростей деформаций. Из вида метрики (20.1) следует, что мы рассматриваем лишь малые радиальные смещения упругой среды, для которых отлична от нуля ( в обозначениях [43] ) в сферических координатах лишь радиальная u_rr = ¶u_r/¶r компонента тензора деформаций. Что касается компонент u_qq=u_ff=u_r/r , то они пренебрежимо малы по сравнению с u_rr и в рассматриваемой модели не учитываются.

Связь между тензорами деформаций и напряжений удобнее определить в лагранжевой сопутствующей НСО, рассматривая упругую среду без сдвиговых напряжений, для которой справедлив закон Гука в виде [44]

Pij= ~ l   I1gij,       I1(e) = gklekl=  1 2 (1-exp(-l)),

(20.4)

где I₁ - первый инвариант тензора деформаций , [(l)\tilde] - кооэффициент Ламе, g^ij=-g^ij - метрика пространственного сечения (20.1).

eij=  1 2 (gij-gўij)

gў_ij - метрический тензор плоского пространства в сферических координатах.