В этой главе получена:

1. Система интегро-дифференциальных уравнений для плотностей зарядов и токов для заряженных металлических тел, находящихся во внешнем неоднородном и нестационарном электромагнитном поле для классического случая (СО 1-го класса).

2. Система интегральных уравнений для связанных зарядов с учетом постулата эквивалентных ситуаций и уравнений структуры для стационарного случая.

Рассмотрим систему N проводящих тел произвольной формы, находящихся в вакууме. Считаем, что эти тела находятся в некотором заданном внешнем нестационарном и неоднородном электромагнитном поле, а также сами содержат источники поля: заряды и токи. Известно, что уравнения Максвелла описывают эволюцию системы, состоящую из полей и зарядов. Однако во многих практических задачах плотности зарядов и токов неизвестны.

Цель настоящего раздела - вывод замкнутой системы интегро-дифференциальных уравнений для зарядов и токов, решение которых позволит в принципе находить электромагнитные поля вне системы тел.

Для решения задачи воспользуемся уравнениями Максвелла, записанными в стандартной четырехмерной форме

СnFmn=-  4p c jm.

(22.1)

emnesСnFes=0.

(22.2)

Здесь e^mnes - совершенно антисимметричный единичный 4-тензор, F^mn - тензор поля, j^m четырехмерный вектор тока.

Fmn=2С[mAn]=2¶[mAn].

(22.3)

A^m - 4-потенциал, удовлетворяющий условию Лоренца

СnAn=0.

(22.4)

Очевидно, что представление тензора поля в виде (22.3), обращает в тождество уравнение (22.2), а уравнение (22.1) сводится к виду.

[¯] Am=-  4p c jm,   [¯] = D-  1 c2  ¶2 ¶t2 .

(22.5)

Из ассимметрии тензора поля F_mn следует тождественное выполнение уравнения неразрывности

Сmjm=0.

(22.6)

Решение системы (22.5) выражается через запаздывающие потенциалы известным способом [7]

Am=  1 c у х jm( ® r   ў,t-R/c) R  dVў,    ® R   = ® r   - ® r   ў,   dVў=dxўdyўdzў,

(22.7)

где

® r   ®(x,y,z) = (x1,y1,z1),    ® r   ў® (xў1,xў2,xў3).

R есть расстояние от элемента объема dVў до точки наблюдения.

Три пространственные компоненты 4-вектора A^m образуют трехмерный вектор A или векторный потенциал поля, временная компонента A⁰=f есть скалярный потенциал, т.е.

Am®(f, ® A   ).

(22.8)

Четырехмерный вектор тока связан с трехмерной плотностью тока [j\vec] и плотностью заряда r соотношением

jm®(cr, ® j   ).

(22.9)

Используя формулы (22.7) и (22.3) вычислим тензор поля F_en в произвольной точке вне проводников.

Fen=  2 c у х  1 R м н о  1 c  ¶j[n ¶t de]0-  1 cR  ¶j[n ¶t de]kRk-  1 R2 j[nde]kRk ь э ю  dVў,

Rk=xk-xўk,      t = t-  R c ,

(22.10)

что дает в компонентах

F0k=  1 c у х м н о  ¶r ¶t  Rk R2 -  1 cR  ¶jk ¶t +cr  Rk R3 ь э ю  dVў,

Fpr=  2 c у х м н о  R[p cR2  ¶jr] ¶t +  R[pjr] R3 ь э ю  dVў,

(22.11)

где по индексам, заключенным в квадратные скобки, производится альтернирование.

С другой стороны, тензор поля можно выразить через компоненты векторов напряженностей электрического [E\vec] и магнитного [H\vec] полей.

F0k=Ek=(Ex,Ey,Ez)=(E1,E2,E3),

(22.12)

Hk=-  1 2 eklmFlm=(Hx,Hy,Hz)=(H1,H2,H3),

(22.13)

где e^klm - совершенно антисимметричный единичный псевдотензор 3-го ранга.

Формулы (22.11)-(22.13) позволяют вычислить электромагнитное поле по плотностям зарядов r и токов [j\vec] на проводнике.

Если имеется N проводников, то в силу линейности уравнений электродинамики полное поле есть результат суперпозиции всех полей. В этом случае полное поле F_en дается выражением

Fen= N е k=1  Fen(k)+Fen*,

(22.14)

где, взятая в круглые скобки буква k означает номер проводящего тела, F_en^* - тензор внешнего электромагнитного поля.

Как известно, внутри идеальных проводников поля [E\vec] и [H\vec] равны нулю, а на их поверхностях справедливы равенства [26]:

® g   =  c 4p ® n   × ® H   ,   (a)   s =  1 4p ® n   · ® E   ,   (b),

® n   × ® E   =0,    (c)    ® n   · ® H   =0,   (d).

(22.15)

В формуле (22.15) [n\vec] - единичный вектор нормали к поверхности проводника, [g\vec] - поверхностная плотность тока, s - поверхностная плотность заряда.

Так как заряды и токи на идеальных проводниках располагаются на поверхности, то в соотношениях (22.10) и (22.11) можно сделать формальную замену:

jk dVў=gk dSў,      r dVў=s dSў,

(22.15)

где dSў - элемент поверхности проводника.

В согласии с (22.14) полное электрическое поле в системе в произвольной точке вне проводников

F0i= ~ E   i   = N е k=1  Ei(k)+E*i,

(22.17)

где [E\tilde]ⁱ - суммарное электрическое поле, E^*i - внешнее электрическое поле.

Выбрав на поверхности проводника с номером s произвольную точку и учитывая, что поле в окрестности этой точки, создаваемое всеми остальными зарядами, кроме заряда в этой точке, равно половине от поля на поверхности, используя условие (22.15) (b), получаем

2ps(s)= ® E   *   · ® n   (s)   +  1 c N е k=1  у х й л  ¶s(k) ¶t(k) ® R   (k)   · ® n   (s)   R(k)2

- ж и ® n   (s)   · ¶ ® g   (k)   ¶t(k) ц ш  1 cR(k) +cs(k) ® R   (k)   · ® n   (s)   R(k)3 щ ы  dSў(k)

(22.18)

В формуле (22.18) s принимает значения от 1 до N, [R\vec]^(k) соединяет элемент поверхности dSў^(k) проводника с номером k c с точкой на поверхности проводника с номером s, [n\vec]^(s) - единичный вектор нормали к поверхности номера s.

В случае электростатики

¶s ¶t =0,       ¶ ® g   ¶t =0

и система уравнений (22.18) переходит в систему интегральных уравнений, полученных Гринбергом [89].

Полное магнитное поле [H\tilde] вне проводников из выражений (22.13), (22.14) имеет вид

~ H   t   =-  1 2 etlmFlm.

(22.19)

Векторное произведение [n\vec]^(s)×[[H\tilde]\vec] в компонентах на оси имеет вид

eprtn(s)r ~ H   t   =-  1 2 eprtetlmn(s)rFlm

= -  1 2 (dpldrm-dpmdrl)n(s)rFlm = n(s)rFrp.

(22.20)

Из соотношений (22.11), (22.14), (22.15), (22.16), (22.20) получаем

2p c g(s)p=Frp*n(s)r+ N е k=1  Frp(k)n(s)r

= Erp*n(s)r-  2 c N е k=1  у х м н о  R(k)[p cR(k)2  ¶g(k)r] ¶t(k) n(s)r+  R(k)[pg(k)r] R(k)3 n(s)r ь э ю  dSў(k).

(22.21)

Соотношение (22.21) можно переписать в векторной форме

2p c ® g   (s)   = ® n   (s)   × ® H   *   -  1 c N е k=1  у х м н о ® R   (k)   cR(k)2 ж и ¶ ® g   (k)   ¶t(k) · ® n   (s)   ц ш

- ж и ® R   (k)   · ® n   (s)   ц ш cR(k)2 ¶ ® g   (k)   ¶t(k) + ® R   (k)   R(k)3 ж и ® g   (k)   · ® n   (s)   ц ш - ® g   (k)   R(k)3 ж и ® R   (k)   · ® n   (s)   ц ш ь э ю  dSў(k),

(22.22)

где [H\vec]^* - напряженность внешнего поля.

Система 4N интегро-дифференциальных уравнений связывает 4N неизвестных функций: N величин s и 3N компонент векторов [g\vec].

Ввиду того, что пространственные компоненты тензоров подымались и опускались с помощью d_kl, то мы не делали различия между ковариантными и контравариантными компонентами тензоров, хотя и использовалась стандартная сигнатура (+-).

Величины [g\vec]^(s) и s^(s) связаны уравнениями неразрывности (22.6), которые при переходе к поверхностям сведутся к виду:

¶s(s) ¶t +  1 Ц g(s)  ¶ ¶uk(s) ж и Ц   g(s)   gk(s) ц ш =0,   (k=1,2)

g(s)= det ||gik(s)||,   dl(s)2=gik(s)du(s)idu(s)k.

(22.22)

g_ik^(s) - метрический тензор поверхности с номером s, а u^k(s) - криволинейные координаты на поверхностях.

Развитый здесь аппарат применим не только для идеальных проводников, но и для реальных проводников при сильном скин-эффекте. Однако ряд существенных факторов, связанных с тепловыми потерями, при таком рассмотрении выпадают. Предложенный метод можно, например, использовать при аналитических вычислениях или расчетах на ЭВМ в задачах взаимодействия электромагнитных полей с поводящими телами.

Важно отметить, что предложенная система (22.18), (22.22) является замкнутой.

Граничные условия (22.15)(а) и (22.15)(b), которые использовались для ее получения, непосредственно вытекают из решаемых уравнений поля (22.1). В работе [90] для случая одного проводника было получено уравнение, совпадающее с (22.22) при N=1. Однако в качестве второго граничного условия в [90] было выбрано вместо условия (22.15)(b) условие (22.15)(с). Поэтому, полученная в [90] система, содержит 6 уравнений для четырех неизвестных функций. Хотя система и переопределена, но не противоречит граничным условиям (22.15). Для случая идеальных проводников имеет место своеобразное вырождение, когда из факта обращения в нуль внутри проводника электромагнитного поля вытекает, что 4 неизвестные функции должны удовлетворять 8-ми уравнениям (22.15).

Для численных расчетов требуется иметь лишь 4 независимых уравнения, которые и найдены в настоящей работе. Остальные уравнения для рассмотренной модели являются следствием найденных.

В качестве примера получим интегральные уравнения для расчета токов в тонких проводах.

Пусть число проводов равно N и их форма в общем случае различна. Полное электрическое поле вне проводов дается формулой (22.17). На поверхности каждого провода полное поле [[E\tilde]\vec] перпендикулярно поверхности провода. Поэтому для провода с номером s имеем

® ~ E   · ® l   (s)   =0,   (s=1,2,...N),

где [l\vec]^(s) - единичный вектор на поверхности провода s, направленный вдоль соответствующего провода.

Из соотношений (22.11) с учетом равенств

r dVў® K dlў,      jk dVў® Jk dlў,

где K - линейная плотность заряда, J величина тока в проводе, а также формул (22.17) и (22.25) получим

® E   *   · ® l   (s)   =-  1 c N е a=1  у х й л  ¶K(a) ¶t(a) ® R   (a)   · ® l   (s)   R(a)2

- ж и ® l   (s)   · ¶ ® J   (a)   ¶t(a) ц ш  1 cR(a) +cK(a) ® R   (a)   · ® l   (s)   R(a)3 щ ы  dlў(a)

(22.26)

Из уравнения неразрывности для одномерного случая следует

¶K(a) ¶t(a) =-  ¶J(a) ¶lў(a) ,    K(a)(lў(a),t(a))=- у х t(a) -Ґ   ¶J(a)(lў(a),tў) ¶lў(a)  d tў,

(22.27)

что приводит к соотношениям

® E   *   · ® l   (s)   =  1 c N е a=1  у х й л  ¶J(a) ¶lў(a) ® R   (a)   · ® l   (s)   R(a)2

+ ж и ® l   (s)   · ¶ ® J   (a)   ¶t(a) ц ш  1 cR(a) +c ® R   (a)   · ® l   (s)   R(a)3 у х t(a) -Ґ   ¶J(a)(lў(a),tў) ¶lў(a)  d tў щ ы  dlў(a)

(22.28)

Формула (22.28) при N=1 (после перехода в систему СИ) в точности совпадает с выражением, полученным ранее в [78] и [90].

Мы не будем останавливаться на конкретных задачах взаимодействия электромагнитных полей с полеобразующими системами и с измерительными преобразователями, т.к. это не является темой данной книги, (для интересующихся приводим список статей на данную тему, выполненных автором со своими коллегами [91-105]) а рассмотрим к каким принципиально новым результатам может привести использование постулата эквивалентных ситуаций к заряженным проводникам.

В предыдущем разделе при рассмотрении общей задачи взаимодействия мы считали уравнения Максвелла, заданными в пространстве Минковского. Однако, как показано ранее, поля связанных и свободных зарядов отличаются друг от друга. Связанные заряды искривляют пространство-время, и уравнения Максвелла становятся нелинейными. Поэтому процедура получения интегро- дифференциальных уравнений для плотностей зарядов и токов, используемая в предыдущем разделе, не может считаться преемлемой.

Для получения интегрального уравнения для плотности s связанных зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела произвольной формы, (будем считать поверхность достаточно гладкой, чтобы выполнялись условия дифференцируемости) разобъем поверхность на элементарные площадки, потенциал от каждой из них в точке наблюдения дается формулой, вытекающей из (19.1)

dA0=  sўdSў rў exp м н о -  a0ўrў(1-cosq) 2c2 ь э ю ,

(23.1)

где rў - трехмерное ( евклидово ) расстояние от заряда dQў=sўdSў до точки наблюдения, sў - текущее значение плотности заряда, зависящее от точек на поверхности, q - угол между радиусом - вектором [r\vec] и [i\vec] , [i\vec]=[(a₀ў)\vec]/ | [(a₀ў)\vec] | . [i\vec] для каждого элемента заряда dQ направлен нормально поверхности внутрь тела. Величина "ускорения" a₀ў для зарядов отрицательно заряженного тела (электронов) вычисляется по формуле

a0ў=  eEў 2m =  2psў m ,

(23.2)

Введем в каждой точке поверхности интегрирования единичный [n\vec]ў, направленный по внешней нормали к поверхности. Тогда соотношение (23.1) примет вид

dA0 =  sўdSў rў exp м н о - pesў(rў+ ® n   ў· ® r   ў) mc2 ь э ю

(23.3)

В электростатическом случае для любой стационарной метрики будет отличны от нуля F_0k компоненты тензора электромагнитного поля. Из (23.3), произведя интегрирование по поверхности и вычисляя тензор поля, имеем в точке наблюдения с координатами x^k выражение. ¹

F0k=-  ¶A0 ¶xk = у х  sў rў exp м н о - pesў(rў+ ® n   ў· ® r   ў) mc2 ь э ю

й л  xk-xўk rў2 +  psўe mc2 ж и  xk-xўk rў +nўk ц ш щ ы  dSў.

(23.4)

Выберем точку наблюдения x^k на поверхности проводника и умножим скалярно полученное выражение в точке наблюдения на единичный вектор нормали [n\vec], образуя скалярную относительно пространственных преобразований величину Y.

Y = у х  sў rў exp м н о - pesў(rў+ ® n   ў· ® r   ў) mc2 ь э ю

й л ® n   · ® N   ў rў +  psўe mc2 ж и ® n   · ® N   ў+ ® n   · ® n   ў ц ш щ ы  dSў.

(23.5)

Здесь [N\vec]ў единичный вектор вдоль [r\vec]ў, направленный от элемента интегрирования к точке наблюдения.

При стандартном рассмотрении для поля свободных зарядов величина Y связана с поверхностной плотностью зарядов s с помощью соотношения

Y = 2ps.

Ясно, что в "нерелятивистском" приближении мы получим обычное классическое интегральное уравнение Гринберга [89]. Учет поля связанных зарядов приводит к более сложной зависимости между Y и s.

Найдем ограничения на метрику пространства-времени вне заряженного проводящего тела наподобие тому, как мы это делали для заряженного шара в разделе 19.

Будем считать, что тело заряжено отрицательно (для положительно заряженного тела, как показано ранне, пространство-время остается практически плоским). Подвесим на невесомых нитях в поле от этого тела пробные заряды (например, электроны). Так как силы со стороны поля уравновесятся силами натяжения нитей, то перейдя в лагранжеву сопутствующую систему отчета, связанную с электронами, можно убедиться, что метрика в такой системе будет равна

dS2 = g00(dy0)2- gkldykdyl.

(23.6)

Очевидно, компоненты тензора в силу статичности поля не должны зависеть от временной координаты y⁰, а зависят лишь от пространственных координат y^k. Так как вращения отсутствуют, то равны нулю g_0k.

Так как подвешенные электроны неподвижны, то требуется выполнения условий сопутствия, которые для метрики (23.6) имеют вид

Vk=Vk=0,   V0=(g00)-1/2,   V0=(g00)1/2,

(23.7)

Из условий сопутствия следует, что вектор первой кривизны (4-ускорение) не равен нулю, как при равновесии в пространстве Минковского, а вычисляется по известной формуле, как и в случае силы, действующей на частицу в постоянном гравитационном поле [7].

Fk=Gk00(V0)2=-  1 2g00 gkm  ¶g00 ¶ym .

(23.8)

С другой стороны, эту величину можно найти и из силы, действующей на заряд со стороны связи, удерживающей заряд в поле неподвижным. Эта сила численно равна силе со стороны поля и противоположна ей по знаку.

Fk=-  1 2g00 gkm  ¶g00 ¶ym =-  e mc2 Fk0V0=  e mc2 gkmF0mV0.

(23.9)

Электрическое поле от заряженного тела можно также определить из уравнений Максвелла в "заданном гравитационном поле" [7] ², с неизвестным метрическим тензором для метрики (23.6). Это уравнение вне заряженного тела (плотностью пробных "подвешенных" электронов пренебрегаем) имеет вид [7].

¶ ¶yk ж и Ц   g   Dk ц ш =0,    Dk=- Ц   g00   F0k.

(23.10)

Тензор поля (23.4) можно вычислить, если знать плотность зарядов s на поверхности проводника. Так как форма проводника известна, то можно выбрать на поверхности проводника двумерную ортогональную криволинейную координатную сетку с пространственными координатными векторами, направленными нормально поверхности тела. Четвертые координатные временные векторы, в согласии с (23.7), совместим с направлением 4 - скоростей покоящихся на поверхности электронов. На базе данной координатной системы возникает естественная система тетрад (17.10) с калибровкой Ламе. Так как напряженность поля на поверхности проводника нормальна поверхности, то тензор поля на поверхности проводника в выбранной системе координат имеет имеет единственную отличную от нуля компоненту, например F₀₁. Выразим эту компоненту через тетрадную компоненту F₍₀₎₍₁₎

F01=e(m)0e(n)1F(m)(n)= Ц   g00   Ц   g11   F(0)(1)

(23.11)

Как и для рассмотренных ранее задач заряженной сферы и плоскости, отождествим тетрадную компоненту поля F₍₀₎₍₁₎ с плотностью зарядов на теле.

Правая часть в соотношении (23.5) совпадает в новой системе координат с F₀₁ компонентой тензора поля на поверхности проводника. Поле на поверхности проводника в малой окрестности некоторой точки складывается из поля, создаваемого зарядами лежащими внутри этой окрестности, и всеми остальными зарядами. Зная, что поле на поверхности от зарядов вне окрестности равно половине от полного поля, получаем интегральное уравнение для нахождения плотности связанных зарядов в виде

2ps Ц   g00   Ц   g11   = у х  sў rў exp м н о - pesў(rў+ ® n   ў· ® r   ў) mc2 ь э ю

й л ® n   · ® N   ў rў +  psўe mc2 ж и ® n   · ® N   ў+ ® n   · ® n   ў ц ш щ ы  dSў.

(23.12)

При выводе (23.12) учли, что поле в окрестности рассматриваемой точки на поверхности, созданное всеми остальными зарядами на теле вне окрестности, непрерывно на границе проводника. Поле же зарядов, лежащих внутри окрестности, терпит разрыв на границе проводника. Это поле, складываясь с полем остальных зарядов вне проводника, вблизи его поверхности приводит к удвоению поля от остальных зарядов вне проводника и обращению в нуль полного поля внутри проводника. Поэтому полное среднее поле на поверхности проводника, равное полусумме внешнего и внутреннего полей, приводит в левой части равенства (23.12) к величине 2ps вместо 4ps.

Уравнения (23.10), (23.12) и (23.9) есть уравнения как для нахождения плотности зарядов и поля, так и для нахождения компонент метрического тензора. К этим уравнениям необходимо добавить и уравнения структуры (1.7) при условии, что §_mn=Ø_mn=0 и переписать их в лагранжевой сопутствующей СО.

Правда, вопрос о совместности всех уравнений для нахождения компонент метрического тензора остается открытым. Для случая заряженной плоскости и сферы уравнения оказались совместными, однако для общего случая это пока не удалось доказать.

Footnotes:

¹Заметим, что хотя каждый элементарный заряд на поверхности тела принадлежит искривленному пространству-времени, однако пространственное сечение для каждого из зарядов является евклидовым, т.к. метрика (2.18) имеет плоское сечение и при различных (локально постоянных) значений ускорения. Поэтому при вычислении расстояний от элементов поверхности интегрирования каждого из зарядов до произвольной, но фиксированной точки наблюдения метрический пространственный тензор - есть символ Кронекера. По этой причине здесь мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными пространственными компонентами.

Естественно, никакого истинного гравитационного поля мы здесь не рассматриваем, а просто пользуемся уравнениями Максвелла в римановом пространстве, не используя уравнений Эйнштейна.