В этой главе рассмотрено движение заряженных частиц в полях связанных зарядов для случаев плоской и сферической симметрии. Проведено сравнение с результатами, получаемыми при классическом рассмотрении в СТО и ОТО.

В предыдущей главе были получены уравнения для нахождения плотности зарядов на проводнике произвольной формы, геометрии пространства-времени и электростатического поля, создаваемого таким проводником. Ясно, что в простейших случаях, таких как заряженная плоскость, заряженный шар и цилиндр поверхностная плотность заряда постоянна. Для тел произвольной формы это не так. Как было показано, уравнение для плотности зарядов содержит неизвестные компоненты метрического тензора пространства-времени СО, зависящие от плотности связанных зарядов, от массы и величины пробных зарядов, задающих СО. Для нахождения геометрии пространства-времени СО мы закрепляли пробные заряды неподвижными относительно заряженного тела. Поэтому силы со стороны поля уравновешивались силами реакции связей. Метрика СО определялась формулой (23.6) и условия сопутствия (23.7). Компоненты метрического тензора в силу статичности поля не зависели от временной координаты y⁰. Так как вращения отсутствуют, то равны нулю g_0k.

Очевидно, что условие равновесия частиц базиса СО эквивалентно равенству нулю суммы сил со стороны поля и сил реакции связи. В плоском пространстве- времени это приводит в согласии со вторым законом Ньютона и к равенству нулю ускорения. В римановом пространстве-времени равенство нулю суммы сил, действующих на каждую из частиц базиса, не означает равенства нулю ускорения. Это следует из того факта, что g₀₀ компонента метрического тензора не равна единице.

Вектор первой кривизны (4-ускорение) не равен нулю, как при равновесии в пространстве Минковского, а вычисляется по формуле (23.8). Эта сила численно равна силе со стороны поля, противоположна ей по знаку и вычисляется по формуле (23.9). Таким образом, в римановом пространстве-времени второй закон Ньютона оказался несправедливым, так как равенство нулю сил, действующих на частицу, привело к ненулевому ускорению.

С аналогичной ситуацией сталкиваемся и в ОТО. Например, для наблюдателя, покоящегося на поверхности гравитирующей сферы, с точки зрения механики Ньютона сумма сил равна нулю, что приводит и к нулевому ускорению. С точки зрения ОТО, тело покоящееся на поверхности этой сферы, имеет отличный от нуля вектор первой кривизны, что, например, следует из решения Шварцшильда и формулы (23.8). Ускорение направлено вдоль "радиуса-вектора" от центра сферы.

Электрическое поле от заряженного тела можно найти из уравнений Максвелла, если компоненты метрического тензора нам удалось найти из (23.10), (23.12) и (23.9).

К этим уравнениям необходимо добавить и уравнения структуры (1.7) при условии, что §_mn=Ø_mn=0 и переписать их в лагранжевой сопутствующей СО. Более полно эта процедура рассмотрена в предыдущем параграфе.

Предположим, что мы указанным способом нашли компоненты метрического тензора и тензора электромагнитного поля, выбрав в качестве пробных закрепленных в поле зарядов одинаковые заряженные частицы массы m₀ и заряда q.

Вопрос заключается в том: "Как будут двигаться эти пробные частицы в электрическом поле, создаваемом заряженным телом заряда Q, если связи, удерживающие заряд в поле неподвижным, ликвидировать?"

На первый взгляд ответ кажется тривиальным. Казалось бы, что при описании движения пробного заряда в поле нужно исходить из обычных соотношений для пространства Минковского с заменой обычных производных на ковариантные с найденной метрикой и тензором поля, т.е.

m0c  DVm dS =  q c FmnVn .

(24.1)

Если для движения относительно НСО, такой подход применим и был подробно рассмотрен в параграфе 7 главы 1, то для движения пробных частиц в поле связанных зарядов, рассмотренные соотношения не имеют места. Действительно, раскрыв абсолютную производную с использованием, например, метрики заряженной плоскости (17.9)

dS2=exp ж и -  2E0q y1 m0c2 ц ш dy02-y12-dy22-dy32,

получим уравнение движения в виде

dV1 dS -  Е0q m0c2 ж и 1+V12 ц ш =  qE0 m0c2 Ц   1+V12   .

(24.2)

Это уравнение описывает движение заряженной частицы относительно заряженной плоскости, движущейся с отрицательным ускорением a=-E₀q/m. Заряд плоскости и пробный заряд q одного знака. Из последнего уравнения следует, что в нерелятивистском приближении заряд движется относительно плоскости с удвоенным ускорением по отношению к ускорению относительно покоящегося заряженного тела.

Итак, постулат эквивалентных ситуаций, сформулированный нами для расчета электростатических полей, нельзя непосредственно использовать для расчета движения заряженных частиц. Сила со стороны поля учитывается дважды: входит в связность и в правую часть уравнения движения.

Так как при выводе метрики вне заряженного тела использовались формулы (23.8) и (23.9), то ясно, что информация о поле заряженного тела содержится в связности (24.1). Поэтому при описании движения пробной заряженной частицы относительно тела со связанными зарядами будем использовать уравнение движения (24.1) с нулевой правой частью. Точно также поступают в ОТО при рассмотрении движения частицы вне гравитирующей массы. Таким образом, уравнение движения относительно заряженного тела примет вид

dVm dS +GmnaVmVa=0.

(24.3)

Пробная заряженная частица, принадлежащая к конгруенции мировых линий частиц базиса, будет при ликвидации реакции связи двигаться по геодезической линии. Символы Кристоффеля определяются известным образом по найденной метрике.

Сила реакции связи сбивает частицу с геодезической, искривляя ее мировую линию, и создавая отличный от нуля вектор первой кривизны (4-ускорение).

Следовательно, между рассмотрением движения заряженных частиц в электростатическом поле пространства Минковского и движением в поле связанных зарядов в пространстве Римана имеется принципиальное различие.

В пространстве Минковского искривлена мировая линия движущейся в поле частицы, а в пространстве Римана искривлена мировая линия закрепленной в поле частицы. Решение уравнений (24.3) приводит к геодезической конгруенции линий частиц базиса. Переход в систему отсчета, образованную движущимися частицами, приводит очевидно к синхронной метрике. Таким образом, движение пробных частиц в поле связанных зарядов можно рассматривать как переход от НСО к квази-ИСО.

Преобразуя тензор электромагнитного поля из СО связанных зарядов в СО движущихся зарядов, опишем движение закрепленных зарядов относительно подвижных. Ясно, что векторы 4-ускорения для закрепленных зарядов отличны от нуля относительно любой СО, в том числе и синхронной. Поэтому движение связанных зарядов относительно свободных не может быть геодезическим, а определяется обычной формулой

m0c D ~ V   m   d ~ S   =-  q c ~ F   m   n ~ V   n   ,

(24.4)

в которой [V\tilde]^m - поле 4-скорости связанных зарядов относительно квази-ИСО, [F\tilde]^m_n - тензор электромагнитного поля в квази-ИСО. Знак минус в (24.4) обусловлен тем, что связанные заряды движутся вдоль удерживающих их нитей, силы натяжения которых направлены в обратную сторону действующих полевых сил. Отметим, что пока мы рассматриваем движение частицы в электростатическом поле и не включаем в рассмотрение магнитного поля.

В настоящее время СТО является "инженерной" наукой и подтверждается многочисленными экспериментальными данными. Поэтому любой альтернативный подход должен объяснять экспериментальные факты, которые следуют из СТО. Различие между подходами должно проявляться в экспериментах, которые либо не ставились, либо не обладали достаточной точностью.

В связи с рассмотренным выше встает законный вопрос: "Какому же пространству-времени Минковского или Римана принадлежит частица, движущаяся в электростатическом поле?"

Ответ на этот вопрос зависит от позиции наблюдателей. А именно, какие часы используют наблюдатели для регистрации движения частиц в поле.

Пусть помимо закрепленных в поле зарядов и свободных, имеются и нейтральные частицы, покоящиеся относительно заряженной плоскости. Из рассмотренного выше раздела "Поля в связанных структурах" следует, что нейтральные частицы принадлежат пространству Минковского.

С нейтральными частицами свяжем часы, показывающие ход времени в пространстве Минковского. При этом координатное время этих часов совпадает с собственным.

С закрепленными зарядами свяжем другие часы. Так как метрика для заряженных частиц в электростатическом поле является статической

dS2=g00(dy0)2+gkldykdyl,

(24.5)

то для собственного времени между любыми двумя событиями, для некоторой связанной частицы имеет место формула

t =  1 c у х Ц   g00    dy0=  1 c Ц   g00   y0.

(24.6)

Отметим, что величина мирового времени y⁰/c не совпадает с мировым временем пространства Минковского. Помимо рассмотренных часов, имеются часы, связанные со свободными частицами, собственное время которых совпадает с мировым временем этих частиц.

Допустим, что два различных наблюдателя исследуют движение заряженной частицы в электрическом поле. Один из наблюдателей придерживается традиционной точки зрения СТО, а другой - представленного здесь альтернативного подхода. Консервативный наблюдатель использует часы пространства Минковского, а альтернативный - пространства Римана. Поэтому каждая из свободных частиц для разных наблюдателей принадлежит разным пространствам.

Таким образом, возникает задача моделирования (отображения) решений в пространстве Римана на решения в пространстве Минковского. С подобной задачей мы столкнулись ранее в параграфе 21 при рассмотрении моделирования полей гравитации и параграфе 6 при рассмотрении эталонных координат в квази-ИСО.

При альтернативном подходе математический аппарат для рассмотрения заряда, движущегося в электростатическом поле, подобен аппарату в ОТО при рассмотрении движения частиц в статическом гравитационном поле. В отличие от ОТО метрика для поля от связанных зарядов определяется не из уравнений Эйнштейна, а из процедуры, описанной выше.

Поэтому поиск инвариантов соответствия является главной задачей. Так как наблюдатели рассматривают движение одних и тех же частиц, то ясно, что для обоих наблюдателей факт пересечения мировой линии заряда с какой-либо из мировых линий базиса является инвариантом соответствия. Однако мировые времена от начала движения частицы до координат точки пересечения мировых линий для каждого из наблюдателей, вообще говоря, различны, т.к. каждый из наблюдателей использует время разных пространств. Очевидно, что и собственные времена движущейся частицы различны при разных подходах.

Итак, различие в подходах должно приводить к деформации времени.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пусть над заряженной плоскостью подвешена на невесомых нитях одноименно заряженная пыль. Частицы пыли задают базис СО, метрика которого определяется формулой (17.9). Пусть часть частиц освобождается от связей и начинает движение относительно оставшихся связанных зарядов в согласии с соотношением (24.3), т.е. по геодезическим линиям. Закрепленные на нитях частицы, в согласии со сказанным выше, будут иметь отличное от нуля ускорение. Интегрируя систему (24.3), найдем уравнения движения движущихся частиц относительно связанных, воспользуясь раннее найденными нами решениями (3.3)-(3.6) при рассмотрении перехода от НСО к квази-ИСО. Отличие между метриками (2.18), используемой для описания НСО, и метрикой (17.9) проявляется лишь в разных знаках для ускорения и его конкретизации. Система уравнений имеет решение

dy1 dS =-tan(a0S/c2),   y1=x1+  c2 a0  ln  | cos(a0S/c2) | ,    a0=-  E0q m0 ,

(25.1)

dy0 dS =  exp(-a0x1/c2) cos2(a0S/c2) ,       y0=  c2 a0 tan(a0S/c2)exp(-a0x1/c2).

(25.2)

При выводе учли, что при S=0, dy¹/dS=0, а эйлеровы координаты y¹ каждой из частиц базиса движущейся СО в начальный момент совпадают с лагранжевыми x¹, которые при интегрировании системы выступали как постоянные интегрирования. Величина S/c=x⁰/c=t выступает в качестве координатного времени движущейся СО. Подстановка (25.1) и (25.2) в (17.9) при условии, что y²=x², y³=x³ дает для элемента интервала движущейся СО

dS2 = c2dt2-cos2(a0t/c)(dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2.

(25.3)

Итак, найденная СО, совпадает с синхронной, в которой линии времени совпадают с геодезическими линиями частиц.

Разрешив систему алгебраических уравнений (25.1), (25.2) относительно x¹, x⁰, получим закон движения сплошной среды в переменных Лагранжа связанных зарядов относительно движущихся, что дает

x1=y1-  c2 a0  ln  | 1-  a02y02 c4 exp(2a0y1/c2) | ,

x0=  c2 a0 arcsin ж и  a0y0 c2 exp(a0y1/c2) ц ш .

(25.4)

Подстановка (25.4) в (25.3) снова приводит к интервалу (17.9).

Закон движения (25.4) можно представить в другой форме, принятой в нерелятивистской механике сплошных сред

x1=y1-  c2 a0  ln  | cos(a0t/c) | ,       t=t.

(25.5)

Дифференцирование (25.5) по t дает скорость v¹ каждой из лагранжевых частиц

v1=ctan(a0t/c),       v= Ц   (-g11v1v1)   =-csin(a0t/c).

(25.6)

Величина этой скорости v не превосходит скорости света и достигает ее за конечный промежуток времени t₁=m₀c/(2E₀q). Отличные от нуля символы Кристоффеля по метрике (25.3) имеют вид

G011=  1 2c  ¶ ¶t cos2(a0t/c),      G101=  1 2c  ¶ ¶t  ln cos2(a0t/c).

(25.7)

4 - скорости частиц [V\tilde]^m могут быть вычислены с помощью закона движения (25.4) по формуле

~ V   m   =Q  ¶xm ¶y0 ,

(25.8)

где скалярный множитель Q определяется из условия нормировки 4-скорости. Поле 4 - скорости в переменных Эйлера сведется к виду

~ V   1  =-sin(a0t/c),    ~ V   0   = ~ V   0  =  1 cos(a0t/c) ,   Q = exp(-a0y1/c2).

(25.9)

C помощью формул (25.9) и метрики (25.3) можно убедиться, что тензор скоростей деформаций S_mn (1.3) и тензор угловой скорости вращения W_mn (1.4) обращаются в нуль, а величина 4 - ускорения g_mnF^mFⁿ = -a₀²/c⁴ (1.5) постоянна.

Из формул (25.3) и (25.6) следует, что выражение для элемента интервала можно представить в форме

dS2 = c2dt2-(1-v2/c2)(dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2.

(25.10)

содержащей в явном виде лоренцево сокращение длины движущейся СО по отношению к наблюдателю из СО связанных зарядов.

Уравнения Максвелла в движущейся СО имеют вид

¶Fmn ¶xe +  ¶Fem ¶xn +  ¶Fne ¶xm =0,     1 Ц -g  ¶ ¶xn ж и Ц   -g   Fmn ц ш =-  4p c jm.

(25.11)

Можно показать, используя (25.3), что уравнения Максвелла в пустоте в движущейся СО допускают решение

F01=-F10=E0cos(a0x0/c2),

(25.12)

Непосредственной проверкой убеждаемся

Ц   -g   =cos(a0x0/c2),    F01=g00g11F01=-  E0 cos(a0x0/c2) ,

1 Ц -g ¶( Ц   -g   F10) ¶x0 є 0,

(25.13)

что и доказывает сделанное выше утверждение.

Решение уравнений Максвелла в СО связанных зарядов имеет вид

F01=E1=D1exp ж и -  E0qy1 m0c2 ц ш =D1 Ц   g00   ,    D1=E0=const,

(25.14)

в чем можно убедиться непосредственно из закона движения (25.4) и формул преобразования для тензора поля

Fab(yg)=  ¶xm ¶ya  ¶xn ¶yb Fmn.

Из последнего преобразования получим из (25.12) выражение (25.14).

Вычисляя "физические" тетрадные компоненты тензора поля с помощью тетрад с калибровкой Ламе

e(a)m=  dam Ц |gaa| ,        e(a)m=dma Ц   |gaa|   ,

по формуле

F(a)(b) = em(a)en(b) ~ F   mn,

получим как для движущейся, так и для связанной СО отличные от нуля значения

F(0)(1)=E0=const.

Рассмотренная ситуация аналогична той, при которой электрическое поле не меняется и при преобразованиях Лоренца, когда скорость движущейся системы направлена вдоль поля [Е\vec].

Проверим общее соотношение (24.4) в частном случае движения связанных зарядов относительно движущихся. Из (25.3), (25.7) и (25.9) находим

~ V   m   Сm ~ V   n  =Fn= ~ V   m   ж и ¶ ~ V   n  ¶xm -Gmne ~ V   e  ц ш ,    F0=  a0 c2 tan(a0t/c), F1=-  a0 c2 ,    Smn=Wmn=0,    gmnFmFn = -  a02 c4 .

Из последнего соотношения и (25.12) следует, что уравнение (24.4) обращается в тождество.

Итак, мы доказали, что свободные заряды относительно связанных движутся по геодезическим, а связанные по отношению к свободным по мировым линиям в согласии с уравнением движения (24.4). При этом поле в локальных тетрадах в обеих СО является однородным и совпадает с полем в пространстве Минковского.

Таким образом, на движение заряженной пыли в однородном электрическом поле можно смотреть с позиции двух наблюдателей:

1. Наблюдатель находится в жесткой ИСО пространства Минковского, в которой выбраны галилеевы координаты. В согласии с наиболее распространенной в настоящее время трактовкой движение заряженной пыли для него происходит по закону (2.5), (2.6) и при переходе к НСО приводит к метрике (2.7), (2.8). (Отметим, что в силу обозначений, используемых в этой главе, лагранжевы координаты определяем, как x^k, а эйлеровы, как y^k, время пространства Минковского обозначаем через T, а собственное время частиц в пространстве Минковского через t.) Из сказанного имеем

y1(x1,T) = x1 + (c2/aў0)[ Ц   1+ aў02T2/c2   -1],

y2=x2,   y3=x3,   y0=x0,   aў0=-a0=  E0q m0

(25.15)

или

y1(x1,t)=x1+c2/aў0[cosh(aў0t/c)-1],

y2=x2 ,    y3=x3,    T = (c/aў0)sinh(aў0t/c),

(25.16)

где в (25.15) в качестве временного параметра используется время в ИСО T, а в (25.16) t - собственное время. Для законов движения (25.15) и (25.16) имеем соответствующие метрики

dS2=  c2dT2 1+aў02T2/c2 -2  aў0TdTdx1 (1+aў02T2/c2)1/2

-(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2,

(25.17)

dS2=c2(dt)2-2sinh(aў0t/c)cdtdx1-(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2,

(25.18)

Если из метрик (25.17) , (25.18) согласно работе [7] построить трехмерный метрический тензор g_kl=-g_kl+g_0kg_0l/g₀₀, то для квадратов " физического расстояния " получим соответственно

dl2=(1+aў02T2/c2)(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2 ,

(25.19)

dl2=cosh2(aў0t/c)(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2 .

(25.20)

Из последних формул следует, что найденная метрика не является жесткой.

2. Наблюдатель находится в пространстве-времени связанных зарядов Движение пыли для него происходит по закону (24.3). Решение задачи приводит к соотношениям (25.1), (25.2) и метрике (25.3).

Очевидно, что как для консервативных, так и для альтернативных наблюдателей попадание частицы с лагранжевыми координатами x^k в точку с эйлеровыми координатами y^k является инвариантным фактором. Иными словами, для одних и тех же движущихся частиц в пространстве Минковского и Римана выбрана общая пространственная координация как эйлеровых, так и лагранжевых координат.

Однако моменты времени по часам пространства Минковского и по часам связанных и свободных зарядов различны. Различны, очевидно, и величины интервалов между двумя событиями с точки зрения разных пространств.

В пространстве Минковского при равноускоренном движении в согласии с (25.15) и (25.16) гиперплоскость T=const задает и гиперплоскость t = const, однако не совпадает с гиперповерхностью ортогональной мировым линиям движущихся зарядов.

В пространстве Римана для этих же частиц в силу (25.1)-(25.3) гиперповерхность S/c=t=const совпадает с гиперповерхностью ортогональной геодезическим линиям свободных частиц. Собственное время для геодезической конгруенции совпадает с мировым временем t.

Сравнивая законы движения (25.1) с (25.15), получаем связь между временем пространства Минковского и пространства Римана для движущихся частиц

t=  cm0 E0q arccos й л exp ж и 1-   ж Ц 1+  E0q2T2 m02c2   ц ш щ ы .

(25.21)

После чего интервал (25.3) можно переписать в эталонных координатах пространства Минковского, введенных в разделе 6 главы 1.

dS2 = g00c2dT2-g11(dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2, g00= b2exp ж и 2(1-(1+b2)1/2) ц ш (1+b2) й л 1-exp ж и 2(1-(1+b2)1/2) ц ш щ ы ,

g11=exp ж и 2(1-(1+b2)1/2) ц ш ,       b =  E0qT m0c .

(25.22)

Рассмотрим к каким следствиям могут привести два различных подхода.

При классическом рассмотрении связь между собственным временем t_m и временем T при гиперболическом движении в постоянном электрическом поле определяется формулой

T =  m0c E0q sinh ж и  E0qtm m0c ц ш ,    tm=  m0c E0q arsinh \nolimits ж и  E0qT m0c ц ш .

(25.23)

Из анализа соотношения (25.23) следует, что для наблюдателя пространства Минковского бесконечно большому времени движения частицы в однородном поле соответствует и бесконечное собственное время.

Анализ соотношения (25.21) и метрики (25.3) показывает, что по часам пространства Римана бесконечному времени для плоского пространства соответствует конечный промежуток времени, отсчитываемый в системе свободных зарядов, а именно

tҐ=  cm0p 2E0q .

(25.24)

Собственное время СО связанных зарядов, которое определим как и в случае статических гравитационных полей [7] по правилу

~ t   =  1 c (g00) 1/2y0

(25.25)

получается из соотношений (25.4), (25.5), (25.21).

~ t   =  c aў0   ж Ц й л 1-exp ж и 2(1-(1+b2)1/2) ц ш щ ы   =  c aў0 sin(aў0t/c).

(25.26)

Рассмотрим к каким отличиям могут привести два различных подхода при рассмотрении времени жизни нестабильных элементарных частиц в разных СО. С точки зрения наблюдателя пространства Минковского связь между собственным временем частицы dt_m и лабораторным временем dT дается хорошо известным соотношением

dtm dT = Ц   1-a2   ,       a =  v c .

(25.27)

Если лабораторные часы находятся вне электрического поля, то связь между собственным временем частицы t в пространстве Римана и лабораторным временем T определяется из (25.21). Дифференцируя (25.1) по T и исключая ускорение в полученной после дифференцирования формуле в согласии с соотношением

a=  b Ц 1+b2 ,

(25.28)

получаем зависимость

dt dT =  a   ж Ц exp ж и  2 Ц{1-a2} -2 ц ш -1   .

(25.29)

Из формул (25.29) и (25.27) получаем

D=  dt dtm =  a   ж Ц exp ж и  2 Ц{1-a2} -2 ц ш -1    1 Ц 1-a2 .

(25.30)

Приводим конкретные значения величины D в зависимости от a: a =0® D=1, a =0.25® D=0.992, a =0.5® D=0.960, a =0.75 ® D=0.849, a =0.95® D=0.338, a =0.99® D=0.016. Из анализа (25.30) следует, что промежуток собственного времени частицы в пространстве Римана короче промежутка собственного времени в пространстве Минковского. Это отношение уменьшается в зависимости от роста скорости частицы. Таким образом, по отношению к лабораторной системе нестабильные частицы должны оказаться более долгоживущими, чем это принято считать, основываясь на СТО. Например, при a =0.75 время жизни в лабораторной системе должно быть на 15% больше, чем это следует из СТО. Последнее утверждение справедливо только для заряженных частиц. Для незаряженных частиц, в том числе и для фотонов, геометрия пространства-времени - плоская. Поэтому для таких частиц справедлива динамика СТО.

После прочтения предыдущего текста возникает законный вопрос. "Почему движение заряженной пыли в однородном электрическом поле не является жестким в смысле Борна, ведь очевидно, что метрика (25.3) нестационарна и расстояние между двумя соседними частицами вдоль оси движения уменьшается?" На первый взгляд кажется, что, основываясь на утверждении, согласно которому в однородном силовом поле любой природы твердое тело должно двигаться как единое целое без деформаций (2.18), мы пришли к противоречию, рассматривая геодезическое движение пыли в однородном поле связанных зарядов. Причина разрешения противоречия лежит в различии позиций наблюдателей, изучающих движение заряженной пыли в электрическом поле. Для разрешения парадокса рассмотрим следующий пример.

Пусть в однородном электрическом поле на невесомой нити (динамометре) подвешена заряженная частица, к которой на нити (динамометре) закреплена нейтральная пробная масса, значительно меньшая, чем масса заряженной частицы. Ясно, что при пренебрежении гравитацией, нить, удерживающая заряженную частицу в поле, - натянута, а нить, связывающая заряженную частицу с пробной, находятся в ненатянутом состоянии. В согласии с рассмотренным выше, закрепленная в поле заряженная частица покоится (т.е. "движется" равноускоренно) в римановом пространстве с метрикой (17.9). Нейтральная частица не подвержена действию полей и для нее пространство-время есть плоское пространство Минковского. Если нить, удерживающую заряд в поле, обрезать , то заряженная частица будет двигаться по геодезической линии, а нейтральная, привязанная к заряженной, по мировой линии в римановом пространстве времени. Исходная метрика по отношению к которой движутся нейтральные частицы есть метрика квази-ИСО (3.7), в которой x^k® y^k, t® [t\tilde] т.е.

d ~ S   2   = c2d ~ t   2   -cos2( ~ a   0  ~ t   /c)(dy1)2 - (dy2)2 - (dy3)2.

(25.31)

Ускорение нейтральной частице будут сообщать сила натяжения нити, связывающая нейтральную частицу с заряженной. Если рассмотреть вместо одной связанной пары их совокупность и устремить длины нитей, связывающих пары, к нулю, то получим конгруенцию геодезических линий для заряженных частиц среды с метрикой в лагранжевой сопутствующей СО в виде (25.3) и конгруенцию мировых линий пробных нейтральных частиц. Последняя конгруенция должна соответствовать и конгруенции мировых линий частиц с метрикой

d ~ S   2   =exp ж и 2 ~ a   0  x1 c2 ц ш (dx0)2-(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2,

(25.32)

получаемой из (2.18) заменой y^k® x^k. Нам остается доказать существование инварианта соответствия мировых и геодезических линий частиц среды, а именно совпадения законов движения в переменных Лагранжа для каждой из конгруенций. Так как рассматривается движение одних и тех же частиц, то ясно, что для обеих конгруенций пересечение каждой из мировых линий лагранжевых частиц с какой-либо из мировых линий базиса должно быть инвариантом соответствия.

Однако времена от начала движения частицы до координат точки пересечения мировых линий для заряженной и нейтральной каждой из частиц, вообще говоря, должны быть различны. Каждая из частиц пары находятся в разных физических условиях. Нейтральная частица движется равноускоренно, а ускорение заряженной частицы равно нулю. Таким образом, на каждой из движущихся частиц пары находятся свои часы и показания "заряженных" часов не совпадают с показанием "нейтральных" часов этой же пары частиц.

Математически задача существования инварианта соответствия между мировыми и геодезическими линиями каждой из пар частиц конгруенции сводится к доказательству утверждений:

1). Относительно метрики (25.31) существует решения уравнения Максвелла для однородного (в тетрадах) поля.

2). Интегрирование уравнения движения (24.1) с использованием метрики (25.31) и найденного решения уравнения Максвелла должно привести к закону движения среды в переменных Лагранжа эквивалентному (25.1).

Фактически первое утверждение уже нами доказано выше (формулы (25.11-25.14) и т.д.), в которых нужно заменить x^a® y^a. Для доказательства второго утверждения выскажем следующие наводящие соображения:

а). Законы движения (25.1) и (25.2) описывают перемещения свободных заряженных частиц по отношению к связанным зарядам и переводят метрику (17.9) в метрику (25.3).

b). Законы движения связанных зарядов относительно движущихся (25.4) переводят метрику (25.3) в метрику (17.9).

c). Следовательно, для нахождения закона движения, преобразующего метрику (25.31) в метрику (25.32), в законе движения (25.4) достаточно сделать формальную замену x^k® y^k, y^k® x^k, x⁰® y⁰, y⁰® x⁰, a₀® [a\tilde]₀. Учтем также, что текущая координата движущейся частицы всегда больше больше начальной, т.е. y¹ > x¹ и [a\tilde]₀ > 0. В результате находим закон движения в переменных Лагранжа нейтральных связанных с движущимися зарядами частиц относительно квази-ИСО (25.31)

y1=x1-  c2 ~ a   0   ln  к к 1- ~ a   2 0  x02 c4 exp(2 ~ a   0  x1/c2) к к ,

y0=  c2 ~ a   0  arcsin ж и ~ a   0  x0 c2 exp( ~ a   0  x1/c2) ц ш .

(25.33)

Закон движения (25.33) представим в другой форме, которая принята в нерелятивистской механике сплошных сред

y1=x1-  c2 ~ a   0   ln  | cos( ~ a   0  ~ t   /c) | ,     ~ a   0  =  E0q m0 ,    y0=c ~ t   .

(25.34)

Сравнение законов движения (25.34) и (25.1) говорит о их совпадении. Остается доказать, что конгруенция мировых линий частиц (25.33) является решением уравнений движения (24.1), в котором под массой m₀ понимается суммарная масса нейтральной и заряженной частиц, совпадающей практически с массой заряженной частицы. Поле 4-скорости V^m можно получить из закона движения (25.33) аналогично соотношению (25.8)

Vm= ~ Q    ¶ym ¶x0 ,

(25.35)

где скалярный множитель [(Q)\tilde] определяется из условия нормировки 4-скорости. Поле 4 - скорости в переменных Эйлера сведется к виду

V1=-sin( ~ a   0  ~ t   /c),   V0=V0=  1 cos( ~ a   0  ~ t   /c) ,    ~ Q   =exp(- ~ a   0  x1/c2).

V1= tan( ~ a   0  ~ t   /c) cos( ~ a   0  ~ t   /c) .

(25.36)

Отличные от нуля символы Кристоффеля для метрики (25.31) имеют вид

G011=  1 2c  ¶ ¶ ~ t   cos2( ~ a   0  ~ t   /c),      G101=  1 2c  ¶ ¶ ~ t    ln cos2( ~ a   0  ~ t   /c).

(25.37)

Из (25.36), (25.37) и (25.31) находим

VmСmVn=Fn=Vm ж и  ¶Vn ¶ym -GmneVe ц ш ,    F0= ~ a   0  c2 tan( ~ a   0  ~ t   /c),

F1=- ~ a   0  c2 ,    Smn=Wmn=0,    gmnFmFn = - ~ a   2 0  c4 .

(25.38)

Решение уравнения Максвелла для однородного поля в пустоте для квази-ИСО (25.31) имеет вид аналогичный (25.12).

F01=-F10=E0cos( ~ a   0  y0/c2),

(25.39)

Из соотношений (25.36), (25.38) и (25.39) следует, что уравнение (24.1) обращается в тождество.

Итак, ответ на вопрос "Почему движение заряженной пыли в однородном электрическом поле не является жестким в смысле Борна, ведь очевидно, что метрика (25.3) нестационарна и расстояние между двумя соседними частицами вдоль оси движения уменьшается?" заключается в следующем:

1. Метрика (25.3) - это метрика для наблюдателей, находящихся в СО связанных зарядов (17.9) и использующих для описания движения заряженной пыли координаты квази-ИСО (25.3). Уменьшение расстояния между геодезическими связано с лорецновыми сокращениями (25.10).

2. Метрика (25.32) - это метрика для наблюдателей, находящихся В НСО, связанной с движущимися зарядами. Эта метрика отличается знаком ускорения от метрики (17.9). Метрика является жесткой в смысле Борна, как и должно быть при движении в однородном поле с нулевыми начальными скоростями.

Из сравнения (25.3) и (25.32) следует, что квадрат интервала не является инвариантом соответствия для различных наблюдателей.

Более подробно эти вопросы изложены в первой главе и мы не будем на этом больше останавливаться.

Рассмотрим движение заряженной частицы массы m₀ и заряда q в поле, которое создает другой заряд Q. Масса заряда, создающего поле, велика по сравнению с m₀, поэтому заряд Q будем считать неподвижным. В согласии с изложенным выше, пробный заряд будет двигаться по геодезической линии в поле связанных зарядов, образующих заряд Q. Метрика пространства-времени определяется формулой

dS2 = exp(n)(dy0)2- r2(dq2+sin2qdf2) - exp(l)(dr)2,

(19.4)

где коэффициенты n и l определяются формулами формулами (19.14) и (19.15).

Для описания движения частицы вместо уравнения геодезической (24.3) удобнее воспользоваться уравнением Гамильтона-Якоби. Известно, что при движении в центрально-симметричном поле траектория частицы лежит в одной плоскости, проходящей через центр неподвижного заряда, создающего поле. В качестве такой плоскости выберем плоскость q = p/2.

Уравнение Гамильтона-Якоби будет иметь точно такой же вид, как и в ОТО при описании движения в центрально-симметричном гравитационном поле [7].

gmn  ¶S ¶ym  ¶S ¶yn -m0c2=0.

(26.1)

Из (19.4) и (26.1) имеем

e-n ж и  ¶S ¶y0 ц ш 2   -e-l ж и  ¶S ¶r ц ш 2   -  1 r2 ж и  ¶S ¶f ц ш 2   -m02c2=0.

(26.2)

В согласии с общим методом решения уравнения Гамильтона-Якоби действие S представим в следующей форме

S=-  E0y0 c +Mf+Sr(r).

(26.3)

Здесь E₀ - постоянная энергия, M - постоянный момент импульса. Из (26.3) и (26.2) имеем

Sr= у х   ж Ц exp(l-n)  E02 c2 - ж и m02c2+  M2 r2 ц ш exp(l)   d r.

(26.4)

В согласии с (19.14) и (19.15) для подинтегрального выражения имеем

exp(l) =  r4 Q2 ж и  ¶A0 ¶r ц ш 2   ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш 2   .

(26.5)

exp(l-n) =  r4 Q2 ж и  ¶A0 ¶r ц ш 2   ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш 4   .

(26.6)

Найдем зависимость радиальной координаты r oт мирового времени y⁰/c. Это можно сделать из уравнения

¶S ¶E0 =const.

(26.7)

Используя (26.3-26.6), находим

v(1) c =  exp(l/2)dr exp(n/2)dy0 =   ж Ц 1-  m02c4 E02 ж и 1+  M2 m02c2r2 ц ш ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш 2     .

(26.8)

Здесь v⁽¹⁾ - радиальная "физическая" компонента трехмерной скорости.

Для примера рассмотрим падение на положительно заряженный кулоновский центр отрицательно заряженной частицы.

Из (26.8) находим при M=0 формулу

v(1) c =   ж Ц 1-  m02c4 E02 ж и 1+  qA0 m0c2 ц ш 2     .

(26.9)

Последнее соотношение может быть получено также из закона сохранения энергии, который аналогичен закону сохранения энергии для частицы в постоянном гравитационном поле в ОТО [7].

E0= m0c2 Ц g00   ж Ц 1-  v2 c2   .

(26.10)

В формуле (26.10) под величиной скорости v понимается величина вычисленная по формуле

v=  cdl Ц   g00   dy0 ,

(26.11)

где dl - элемент пространственного расстояния вдоль мировой линии движущейся частицы. Время измеряется по часам наблюдателя покоящегося в пространстве связанных зарядов. Как показано нами ранее, для положительных зарядов "релятивистские" поправки, обусловленные "ускорением" связанных зарядов, создающих поле, дают малую поправку в скалярный потенциал. Поэтому справедлива формула (19.15a), из которой имеем

v(1) c =   ж Ц 1- ж и 1-  |q||Q| m0c2r ц ш 2     .

(26.12)

Рассмотрим в частности задачу о радиальном движении электрона в поле протона, не рассматривая пока квантовых эффектов. Как известно из ядерной физики, радиус распределения заряда внутри протона R=0.8·10^-13 cm. Классический радиус электрона r₀=2.8·10^-13 cm. Скалярный потенциал вне протона может быть вычислен по формуле (19.3a).

A0= Qexp(-z2) Ц   p   i 4Rz й л F(iz(1-2R/r))-F(iz) щ ы ,    z =  r R   ж Ц  eQ 8mc2R   .

(19.3a)

Вне протона справедливо соотношение

z =  r R   ж Ц  eQ 8mc2R   =  r R   ж Ц  mer0 8mp R   =0.0154  r R .

(26.13)

В последней формуле m_e, m_p - соответственно массы электрона и протона. Учитывая малость d = 0.0154, раскладывая (19.3) в ряд Тейлора, получим для формулы (26.9)

v(1) c =   ж Ц 1-  m02c4 E02 ж и 1-  r0 r ц ш 2     .

(26.14)

Займемся анализом формулы (26.14) Пусть электрон имел на бесконечности нулевую скорость, что эквивалентно соотношению E₀/m₀c²=1. В этом случае из формулы (26.14) имеем

v(1) c =   ж Ц 1- ж и 1-  r0 r ц ш 2     .

(26.15)

Из (26.15) следует, что при падении на протон скорость электрона сначала возрастает от нуля до скорости света c, достигая последней на расстоянии от центра протона равном классическому радиусу электрона r₀. При дальнейшем приближении к центру скорость электрона начинает уменьшаться и обращается в ноль на расстоянии от центра протона равном половине классического радиуса электрона r₀/2. Далее при уменьшении радиуса подкоренное выражение становится отрицательным и скорость мнимой, что лишено физического смысла. Таким образом, найденное решение справедливо при значениях r і r₀/2.

Уменьшение "физической" скорости электрона эквивалентно отталкиванию со стороны протона при малых расстояниях 1.4·10^-13 cm, равных приблизительно эффективному радиусу протона.

Отметим для сравнения, что в аналогичной задаче при движении по радиусу частиц в гравитационном поле, заданной метрикой Шварцшильда, "физическая" скорость определяется формулой [60]

v(1) c =   ж Ц 1- ж и 1-  rg r ц ш   =   ж Ц  rg r   .

(26.16)

В формуле (26.16) r_g - гравитационный радиус.

При формальной замене e²® km_pm_e или r₀® r_g/2 решение (26.15) и (26.16) вдали от гравитационного радиуса совпадают.

Однако вблизи гравитационного радиуса решения (26.15) и (26.16) качественно отличаются друг от друга. В (26.16) "физическая" скорость частицы возрастает с уменьшением радиуса, достигает значения скорости света c на гравитационном радиусе и стремится к бесконечности при r® 0.

В нашем случае (26.15) величина скорости частицы как и в СТО не превосходит скорости света в вакууме, достигая последней при r=r₀.

Решение аналогичной задачи в рамках СТО [7], приводит к соотношению

v(1) c =   ж  ъ Ц 1-  1 ж и 1+  r0 r ц ш 2     .

(26.17)

Из формулы (26.17) следует, что скорость электрона при приближении к центру возрастает с уменьшением радиуса и стремится к скорости света c при r® 0. При r=r₀, v⁽¹⁾=.866c. Ясно, что при нашем рассмотрении при r > r₀ максимальное отклонение скорости от решения в СТО не превосходит 14%. При r₀/r << 1 решения (26.15) и (26.17) совпадают. При r₀/r > 1 характер поведения скорости изменяется: в нашем случае она уменьшается, а в СТО - возрастает.

Исследуем радиальное движение ультрарелятивистских электронов, которые даже на бесконечности обладают бесконечно большой энергией. Полагая в (26.9) E₀® Ґ, получим для любых r, v⁽¹⁾=c. Для аналогичного случая такой же результат получится в СТО и ОТО.

Исследуем более подробно соотношение (26.14), введя безразмерную энергию электрона E и безразмерную скорость v по формуле

E=  E0 mec2 ,      v=  v(1) c .

(26.18)

В согласии с принятыми обозначениями имеем

v=   ж Ц 1-  1 E2 ж и 1-  r0 r ц ш 2     .

(26.19)

Из анализа (26.14) следует, что для любых значений E і 1 величина v имеет максимум равный единице в точке r=r₀. Для больших значений энергии кривая нарастания скорости из бесконечности до точки r₀, будет более плавной, чем для меньших значений энергии. Для ультрарелятивистских частиц кривая нарастания совпадает с прямой v=1. После прохождения максимума кривая скорости будет спадать и на некотором значении радиуса значение v становится равным нулю. Расстояние r_min, соответствующее нулевому значению скорости, будет тем ближе к кулоновскому центру, чем больше энергия частицы. Это следует из формулы

rmin=  r0 E+1 .

(26.20)

Из (26.20) следует, что достигнуть кулоновского центра могут только электроны с бесконечно большой энергией E. Однако это не так. Формулы (26.19), (26.20) применимы для протона конечного радиуса. Для модельного точечного протона нужно пользоваться общими формулами (26.9) и (19.3a). В согласии с (19.3a) для скалярного потенциала вблизи кулоновского центра справедлива формула

A0(R)= Qexp(-d2) Ц p 2Rid й л F(id) щ ы ,

откуда находим при z=d >> 1 выражение

A0(R) =  4mc2 e .

Из последней формулы и (26.9) следует, что иметь нулевую скорость в кулоновском центре могут электроны с энергией

E=4  mp me -1.

(26.22)

Таким образом, достигать точечного кулоновского центра могут электроны с большой, но конечной энергией.

Найдем время падения электрона на протон с некоторого расстояния r₁ до остановки.

Время падения по мировому времени y⁰/c в пространстве связанных зарядов определим из формулы

y0= у х  dr ж и 1-  r0 r ц ш 2     ж Ц 1-  1 E2 ж и 1-  r0 r ц ш 2     .

(26.23)

Этот интеграл расходится при r® r₀. Точно такая же ситуация имеет место в ОТО, когда внешний наблюдатель рассматривает радиальное движение частицы в шварцшильдовом поле при приближении ее к гравитационному радиусу.

Вычислим время падения электрона t в сопутствующей электрону СО.

tc= у х dr   ж Ц exp(n)  dy02 dr2 -exp(l)   = у х  dr   ж Ц E2- ж и 1-  r0 r ц ш 2     .

(26.24)

Интегрируя последнее соотношение, получим время t падения электрона от некоторого значения r₁ до r_min, определяемого из (26.20).

t =  r0 c(E2-1) й л   ж Ц (E2-1)  r21 r20 +2  r1 r0 -1

-  1 Ц E2-1  ln  к к Ц   E2-1     ж Ц (E2-1)  r21 r20 +2  r1 r0 -1   +(E2-1)  r1 r0 +1 E к к щ ы .

(26.25)

Итак, как и в ОТО, собственное время падающего электрона на конечном расстоянии является конечной величиной. Для упрощения анализа последней формулы рассмотрим случай E=1. В частности для E=1 из (26.24) имеем непосредственно выражение

t =  r0 3c ж и 1+  r1 r0 ц ш .

(26.26)

Это же соотношение можно получить и из (26.25) предельным переходом E® 1. Формула (26.26) дает собственное время падения электрона в поле протона с расстояния r₁ от центра протона до остановки при нулевой кинетической энергии на бесконечности. Выясним физический смысл происхождения остановки электрона в поле протона. Приравнивая в (26.19) нулю подкоренное выражение, найдем функцию E(r), играющую роль потенциальной кривой в нерелятивистской теории.

E(r)= к к 1-  r0 r к к .

(26.27)

Из анализа (26.27) следует, что в результате наличия модуля функция E(r) при r < r₀ не убывает, а возрастает, обращаясь в единицу при r=r₀/2 и стремясь к бесконечности при r® 0. Таким образом, ближе расстояний r=r₀ проявляется как бы "эффективное отталкивание", вызывающее остановку электрона на r=r_min в соответствии с (26.20). Так как E(Ґ)=1, то образуется потенциальная яма с глубиной 1-E(r₀)=1.

Итак, при E=E₁ < 1 радиальное движение электрона в поле протона финитно. Электрон совершает радиальные колебания в пределе от r_min до r₁=r₀/(1-E₁). При E=E₁ > 1 движение инфинитно. Электрон, достигнув при падении значения r_min, после "отражения" уходит на бесконечность.

В СТО решение такой задачи при M=0 приводит к падению заряда на кулоновский центр. Аналогичная ситуация имеет место при нулевом моменте в ньютоновской механике и в ОТО.

Найдем движения электрона в поле протона по круговым орбитам. Полагая в (26.8) v⁽¹⁾=0, что соответствует при M № 0 круговым орбитам, получим выражение для потенциальной кривой U(r)=E₀(r)/(m_ec²) выражение

U=   ж Ц 1+  M2 me2c2r2   к к 1-  r0 r к к .

(26.28)

Рассматриваемая задача подобна известной задаче C. A. Каплана в ОТО [7], [60]. Для удобства сравнения с решением Каплана сделаем формальную замену r₀® r_g/2. Cмысл этой замены состоит в том, что после нее приближенная метрика (19.15а) после разложения в ряд Тейлора совпадает с точной метрикой Шварцшильда в ОТО. В поле Шварцшильда и определяются круговые орбиты в задаче Каплана.

Для упрощения выкладок введем безразмерные величины энергии E (26.18), момента a и безразмерного радиуса x в согласии с формулами

a=  M mecrg ,    x=  r rg ,    r0®  rg 2 .

(26.29)

После такой замены соотношение (26.28) сведется к виду

U=   ж Ц 1+  a2 x2   к к 1-  1 2x к к .

(26.30)

Радиусы круговых орбит и соответствующие им значения энергии и момента определяются нахождением экстремумов у эффективной потенциальной энергии U(x). Минимумы функции соответствуют устойчивым, а максимумы - неустойчивым круговым орбитам. Решив совместно систему уравнений U(x)=E и Uў(x)=0, получим

x1,2=a2 ж и 1±   ж Ц 1-  2 a2   ц ш ,    E=  Ц2a Ц x1,2 к к 1-  1 2x1,2 к к 3/2   .

(26.31)

Знак плюс в формуле для радиусов орбит соответствует устойчивой орбите, а знак минус - неустойчивой. Приведем для сравнения в наших обозначениях решение задачи Каплана

x1,2=a2 ж и 1±   ж Ц 1-  3 a2   ц ш ,    E=  Ц2a Ц x1,2 к к 1-  1 x1,2 к к

(26.32)

и приводим выражение эффективной потенциальной U₀(x) в ОТО.

U0(x)=   ж Ц ж и 1+  a2 x2 ц ш ж и 1-  1 x ц ш   .

(26.33)

Ясно, что если в (26.30) внести под корень выражение с модулем и разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь первым членом разложения, то получим потенциальную потенциальную кривую (26.33). Однако эта операция справедлива только для x >> 1. Из анализа (26.33) следует, что это выражение определено лишь для значений x і 1, в противном случае U₀ становится мнимой.

Для случая (26.30) таких ограничений не существует. Графики потенциальных кривых (26.33) для разных значений момента a приведены в работах [7] и [60]. Графики кривых (26.30) при различных a в области x і 1 сходны по внешнему виду с графиками (26.33) и отличаются лишь положениями максимумов и минимумов. Это видно из сравнения выражений (26.31) и (26.32). Например, при a²=2 координаты максимума и минимума для нашего случая сливаются, в ОТО это происходит при a²=3. Для нашего случая ближайшая к центру устойчивая круговая орбита соответствует значению r₁=2r_g® 4r₀. Соответствующая энергия E₁=Ц{27/32}=0.919, а скорость кругового движения, определенная из формулы (26.10), приводит к значению v=cЦ3/3=0.577c.

В ОТО имеем соответственно r₁=3r_g, E₁=Ц{8/9}=0.943, v=c/2 [60].

При a² < 2 для нашего случая кривая экстремумов не имеет (в ОТО для a² < 3). С ростом момента a от Ц2 до Ґ координаты максимумов уменьшаются от r₂=4r₀ до r₂=2r₀ (в ОТО от r₂=3r_g до r₂=1.5r_g). Энергия E_max увеличивается от E_max=0.919 до E_max=Ґ (в ОТО от E_max=0.943 до E_max=Ґ).

Ближайшая к центру неустойчивая круговая орбита соответствует значению r₁=r_g® 2r₀, E_max=Ґ, v=c, (в ОТО r₁=1.5r_g, E_max=Ґ, v=c).

Хотя внешне решения Каплана и наше не сильно отличаются друг от друга, однако имеется важное принципиальное отличие. Наличие выражения с модулем в эффективной потенциальной энергии U(x) в (26.30) приводит к дополнительному минимальному значению U(x) в точке x=1/2. Ясно, что производная по x от функции U(x) в этой точке терпит разрыв, как это имело место и при радиальном падении частицы, т.е. при a=0. В точке x=1/2 происходит смена притяжения на отталкивание, и функция U(x) начинает неограниченно возрастать при стремлении радиуса к нулю. Наличие дополнительной центробежной энергии делает возрастание функции U(x) при стремлении к нулю более быстрым, чем при равном нулю моменте.

Наличие максимума в потенциальной кривой в поле Шварцшильда приводит к гравитационному захвату, если энергия частицы E > E_max. Для нашего случая при E > E_max захвата не происходит, поскольку любое значение E всегда "наталкивается" на потенциальную кривую при 0.5 > x > 0. Таким образом, как и в механике Ньютона, при любой большой энергии частица, огибает притягивающий центр и уходит в бесконечность. Даже, в отличие от механики Ньютона, это имеет место и при радиальном падении на кулоновский центр. Важно отметить, что существует устойчивое равновесие электрона в поле протона при r=r₀, чего нет при классическом рассмотрении.

Наличие дополнительной "потенциальной ямы" с минимальным значением U(r₀)=0 допускает существование финитного движения электрона в этой яме. Таким образом, протон и электрон могут образовывать устойчивое соединение "нейтрон" размерами порядка r₀. Конечно рассматриваемый здесь подход имеет лишь методический интерес, поскольку квантовые эффекты должны уже проявляться на расстояниях значительно превышающих r₀.

Рассмотрим траекторию электрона в поле протона. Как известно [7], траектория определяется уравнением ¶S/¶M=const. Откуда из (26.3) - (26.6) имеем

f = у х  Md r r2   ж Ц exp(l-n)  E02 c2 - ж и m02c2+  M2 r2 ц ш exp(l)   .

(26.34)

Представляет методический интерес исследовать траектории электрона в пределах атома по аналогии движения планет в поле тяготения Солнца. Для движения электрона в поле протона на расстояниях сравнимых с размерами атома r >> r₀. Поэтому предлагаемая теория должна приводить лишь к незначительным поправкам по сравнению с обычным взаимодействием Кулона.

Для вычисления поправок к траектории будем исходить, как и в [7], из радиальной части действия (26.4) до момента его дифференцирования по M.

Sr=m0c у х   ж Ц  E2r4 (r-r0)4 -  M2 m02c2(r-r0)2 -  r2 (r-r0)2   d r.

(26.35)

После преобразования переменной интегрирования

r-r0=rў,

используя легко проверяемую формулу

m02c2(E2-1)=2m0Eў+  Eў2 c2 ,

где Eў - нерелятивистская энергия частицы (без энергии покоя), получим с требуемой точностью выражение

Sr= у х   ж Ц 2m0Eў+  Eў2 c2 +  2r0m02c2+8r0m0Eў r -  M2-5r02m02c2 r2   d r.

(26.36)

При формальной замене e²® km_pm_e или r₀® r_g/2 радиальная часть действия S_r близка по структуре аналогичной величине, используемой для описания движения планет в центрально-симметричном гравитационном поле в ОТО. Различие проявляется лишь в последнем коэффициенте при 1/r². В ОТО из M² вычитается (в наших обозначениях) величина 6r₀²m₀²c². Остальные члены совпадают.

Как известно из [7], поправочные коэффициенты в первых двух членах под корнем отражаются только на изменении связи между энергией, моментом частицы и параметрами ее орбиты. Вычитаемый из M² коэффициент, приводит к систематическому смещению перигелия орбиты. Считая член 5r₀²m₀²c²/r² малой поправкой по отношению к M²/r², получим после разложения в ряд подинтегрального выражения соотношение

Sr=Sr0+dSr,

(26.37)

где S_r⁰ соответствует (26.36) при равной нулю поправке, а dS_r определяется равенством

dSr= у х  5m02c2r02d r 2r2   ж Ц 2m0Eў+  Eў2 c2 +  2r0m02c2+8r0m0Eў r -  M2 r2   .

(26.38)

Приращение DdS_r за период обращения электрона по орбите в согласии с нерелятивистской механикой в кулоновом поле после выполнения интегрирования в (26.38) сведется к виду

DdSr=  5pm02c2r02 M .

(26.39)

Так как траектория определяется уравнением

¶S ¶M =f+  ¶Sr ¶M =const,

то за период имеем

Df = -  ¶DSr ¶M =-  ¶DSr0 ¶M -  ¶DdSr0 ¶M .

Используя (26.39) и учитывая, что

-  ¶DSr0 ¶M =2p,

получим

Df = 2p+  5pm02c2r02 M2 .

(26.40)

Второй член в (26.40) определяет собой смещение перигелия орбиты электрона вокруг протона. Решение этой же задачи в рамках СТО приводит к смещению перигелия в пять раз меньше, чем у нас и в шесть раз меньше, чем в ОТО при формальной замене e²® km_pm_e или r₀® r_g/2. Таким образом, разработанный нами аппарат гораздо ближе соответствует ОТО, чем СТО.

Рассмотрим нерадиальное движение ультрарелятивистских электронов в поле протона (аналог распространения светового луча в центрально-симметричном гравитационном поле). Считаем по определению, что даже на бесконечности v_Ґ® c.

Радиальная часть действия (26.35) после преобразования переменной интегрирования

r-r0=rў,

при условии, что E >> 1, E₀=m₀c²E и прицельное расстояние r связано с моментом M по формуле [7]

r =  M m0cE

(26.41)

приводится к виду

Sr=  E0 c у х   ж Ц 1+  4r0 rў -  r2 rў2 +  6r02 rў2   d r.

(26.42)

Рассмотрим сначала случай, когда r₀/r << 1. Для этого случая (26.42) имеет вид

Sr=  E0 c у х   ж Ц 1+  4r0 rў -  r2 rў2   d r.

(26.43)

Последнее выражение с точностью до множителя и замены 2r₀® r_g совпадает с радиальной частью эйконала для распространения лучей света в поле тяжести в ОТО [7]. Используя вывод [7], получим, что под влиянием кулоновского поля притяжения со стороны протона траектория ультрарелятивистского электрона искривляется, образуя собой кривую с вогнутостью к центру. Угол между двумя асимптотами этой кривой отличается от p на величину df, определяемую из равенства

df =  4r0 r .

(26.44)

Проведем анализ движения ультрарелятивистских электронов, когда прицельное расстояние r одного порядка с r₀. Для анализа движения воспользуемся формулой (26.8), которая при E >> 1 сводится к виду

v(1) c =   ж Ц 1-  r2 r2 ж и 1-  r0 r ц ш 2     .

(26.45)

Очевидно, что приближение электрона к протону прекратится, когда радиальная компонента скорости v⁽¹⁾=0. Точка поворота определится из равенства нулю подкоренного выражения в (26.45). Это приводит к соотношению между прицельным расстоянием и координатой точки поворота, представимому в виде

r1=  r12 |r1-1| ,   r1 є  r r0 ,   r1 є  r r0 .

(26.46)

Кривая (26.46) имеет минимум в точке

r1=Ц2,      r1min=2(Ц2+1)

(26.47)

и две асимптоты: вертикальную r₁=1 и наклонную Y=r₁+1. Наличие модуля в знаменателе расширяет область существования переменной вплоть до значений r₁® 0. Появляется вторая ветвь кривой, которая при изменении аргумента от r₁=1 до r₁=0 изменяется соответственно от Ґ до нуля. Использование вблизи кулоновского центра формулы (26.21) для нулевой компоненты 4-потенциала в (26.8) сказывается лишь на характере приближения к нулю при r₁® 0, не меняя существа дела.

Для анализа полученного решения удобно выписать аналогичное уравнение для кривой в ОТО для ультрарелятивистской частицы в поле Шварцшильда. В согласии с [7] и [60] для искомой кривой имеем

r2=  r23/2 Ц r2-1 ,   r2 є  r rg ,    r2 є  r rg .

(26.48)

Кривая (26.47) имеет минимум в точке

r2=  3 2 ,      r2min=  3Ц3 2

(26.49)

и две асимптоты: вертикальную r₂=1 и наклонную Y=r₂.

Обе рассмотренных кривых при r₁ > 1 и r₂ > 1 по характеру похожи и отличаются только положениями минимумов и их значениями. Однако при r₂ < 1 кривая (26.48) не определена, поскольку подкоренное выражение становится отрицательным. Таким образом, в отличие от нашего случая, в ОТО нет второй ветви кривой. В ОТО ультрарелятивистская частица, летящая из бесконечности с прицельным параметром r₂ < r_2min=2.6 не встречает кривой поворота и, следовательно, происходит ее гравитационный захват. Сечение захвата дается формулой

s=pr2min2rg2=  27prg2 4 =6.75prg2.

(26.50)

В нашем случае при r₁ < r_1min=4.82 электрон "проходит" под первой кривой поворота но "встречает" на своем пути вторую ветвь этой кривой. Максимальное значение координаты точки встречи со второй ветвью определяется из очевидного уравнения

r1min=  r12 1-r1 ,

(26.51)

Решение этого уравнения имеет вид

r1max= Ц   r1min2+4r1min   -r1min 2 =0.85.

(26.52)

В отличие от ОТО электрон, "пролетая" под кривой поворота, не захватывается протоном. Этому препятствует возникающее со стороны протона отталкивание, которое проявляется при расстояниях r < r₀. С расстояний от r=Ц2r₀ до r=r₀ электрон испытывает тенденцию к захвату, не "зная" о последующей силе отталкивания. Поэтому назовем сечением псевдозахвата s_p

sp=pr1min2r02=4p(Ц2+1)2 r02=23.31pr02®5.83prg2.

(26.53)

Разберем еще один случай, когда электрон на бесконечности имеет имеет пренебрежимо малую скорость v_Ґ по сравнению со скоростью света c, что соответствует E=1.

В ОТО сечение гравитационного захвата определяется из требования, чтобы значение максимума потенциальной кривой (26.33) U(x_max)=1. Этому значению энергии соответствует x_max=2, a=2. Прицельное расстояние r = 2cr_g/v_Ґ и сечение захвата

s=pr2min2rg2=4prg2 ж и  c vҐ ц ш 2   .

(26.54)

Все частицы с r < 2cr_gv_Ґ гравитационно захватываются.

В нашем случае потенциальная кривая U(x) задается соотношением (26.30) Решив совместно систему уравнений U(x)=1 и Uў(x)=0, получим для максимума

x1=a2 ж и 1-   ж Ц 1-  2 a2   ц ш ,    1=  Ц2a Ц x1 к к 1-  1 2x1 к к 3/2   .

(26.55)

Из (26.55) находим

a2= 22+ Ц 222+16 16 =2.773,      a=1.665,       x1=1.309.

(26.56)

Прицельное расстояние в наших обозначениях r = 3.33cr₀/v_Ґ и сечение псевдозахвата

sp=pr2=11.1pr02 ж и  c vҐ ц ш 2   ® 2.77prg2 ж и  c vҐ ц ш 2   .

(26.57)

В нашем случае протон не может захватить электрон, поскольку при r < r₀ потенциальная кривая начинает возрастать и энергия электрона E=1 с этой кривой "пересечется".

Из классической релятивистской электродинамики при движении в кулоновом поле известно [7], что при Mc < |Qe| и Qe < 0 траектории частиц представляют собой спирали со стремящимся к нулю радиусом r и при угле f®Ґ. Время же падения частицы в начало координат является конечной величиной. В частности, для нерелятивистской частицы на бесконечности (электрона в поле протона) условие падения на центр эквивалентно равенству

r <  cr0 vҐ

(26.58)

В нашем случае прицельное расстояние при псевдозахвате оказалось в 3.33 раза большим, чем в СТО. Важной особенностью нашего решения в отличие от СТО и ОТО, является возможность устойчивого статического равновесия электрона в поле протона на расстоянии r₀ от центра протона. Допускаются и радиальные колебания относительно r₀. Это говорит о (качественной в рамках модели) возможности существования нейтральной стабильной частицы размерами порядка r₀.

Хотя в данной книге рассматривается классические поля связанных структур, однако представляет интерес рассмотреть простейшие возможности учета квантовых эффектов. Как известно, Бор и Зоммерфельд объяснили спектр атома водорода с помощью квантования адиабатических инвариантов. Далее Зоммерфельд сделал попытку в рамках механической модели учесть релятивистские поправки. Он допустил, что релятивистские поправки могут объяснить расщепление термов, вырожденных в нерелятивистской теории. Именно таким образом Зоммерфельд хотел построить теорию тонкой структуры.

Отметим, что в некотором смысле ему это удалось сделать и он получил формулы для тонкой структуры уровней атома водорода в рамках старой теории Бора еще до создания квантовой механики, не используя решения уравнения Дирака.

Предлагаемый нами подход по структуре близок подходу Бора - Зоммерфельда, но имеет и принципиальные различия. Перечислим эти отличия:

1. В отличие от подхода Зоммерфельда, использующего движение электрона в поле протона в рамках СТО плоского пространства - времени, мы работаем в римановой геометрии, обусловленной полем элементов связанных зарядов протона.

2. Мировая линия электрона в поле протона в теории Зоммерфельда соответствует в нашем случае геодезической линии электрона в римановом пространстве времени. Поле протона, как таковое, в нашем подходе в явном виде отсутствует, проявляясь в виде искривленной геометрии пространства - времени.

Так как размеры атома порядка 10^-8 см, а размеры ядра порядка 10^-13 см, то коэффициенты метрики (19.4) можно с помощью (19.15) представить в виде

exp(n)= ж и 1-  e2 rm0c2 ц ш 2   = ж и 1-  r0 r ц ш 2   =exp(-l),

(26.59)

где e - заряд электрона, m₀ - масса электрона.

Как известно [7], обобщенным импульсом P_m называется 4-вектор, определяемый равенством

Pm=-  ¶S ¶ym .

(26.60)

Вычислим радиальную компоненту 4-импульса электрона в поле протона. Из (26.3) и (26.4) находим

Pr=-   ж Ц exp(l-n)  E02 c2 - ж и m02c2+  M2 r2 ц ш exp(l)   .

(26.61)

В отличие от СТО, квантовое условие применим к "физической" радиальной компоненте 4-импульса, определяемой с помощью тетрад (17.10).

P(r)=-  1 Ц -g11 Pr = -   ж Ц exp(-n)  E02 c2 - ж и m02c2+  M2 r2 ц ш   =-P(r).

(26.62)

Следуя Бору и Зоммерфельду сформулируем условие квантования в виде

у (з) х P(r)d r=nr h,    у (з) х Mdf = nf h,

(26.63)

где n_r и n_f целые числа. В результате приходим к равенству

у (з) х   ж Ц ж и 1+  r0 r ц ш 2    E02 c2 - ж и m02c2+  nf2(h/2p)2 r2 ц ш   dr=nr h,   (h/2p) =  h 2p .

(26.64)

В этом равенстве после выполнения интегрирования требуется определить величины E₀, зависящие от квантовых чисел n_r и n_f. Интеграл можно представить в виде

у (з) х Ц   -A+2B/r-C/r2   dr,    A= ж и m02c2-  E02 c2 ц ш ,

B=  r0E02 c2 ,   C=nf2(h/2p)2-  r02E02 c2 .

(26.65)

Так как мы рассматриваем финитное движение электрона в поле протона, то величина A очевидно отрицательна. Подинтегральное выражение имеет два корня для положительных значений r, что очевидно соответствует перигелию и афелию электронной орбиты. Интегрирование должно быть проведено от одного корня до другого и обратно с изменением знака перед корнем в в выражении под интегралом. Аналогичная задача с другими постоянными решена в [111], на основе вычислений которой имеем

у (з) х Ц   -A+2B/r-C/r2   dr=2p ж и  B ЦA -ЦC ц ш .

(26.66)

В результате получаем следующее уравнение для нахождения энергетических уровней

r0E0 c2  1 Ц m02c2-E02/c2 -   ж Ц 1-  r02E02 c2M2   =nr(h/2p).

(26.67)

Введя безразмерную энергию E в согласии с (26.18), последнее уравнение после несколько громоздких алгебраических преобразований сведем к виду

E= й л 1+  aў2 ж и Ц   nf 2-aў2   +nr ц ш 2   щ ы -1/2   ,   aў=aE,   a =  e2 (h/2p) c ,

(26.68)

где a - постоянная тонкой структуры. Последнее соотношение с перенормированной постоянной тонкой структуры aў в точности совпадает с соотношением тонкой структуры Зоммерфельда [112], полученной путем решения уравнения Дирака при движении электрона в кулоновом поле. Так как при движении электрона в атоме с большой степенью точности выполняется соотношение

E=1-e,

(26.69)

где e - малая положительная величина, а постоянная тонкой структуры a =1/137, то очевидно, что в нашем случае первое приближение, соответствующее равенству нулю e в правой части (26.68), приводит к точной формуле Зоммерфельда.

Физический смысл величины e - это, взятая с обратным знаком, полная безразмерная энергия электрона в поле протона за вычетом безразмерной энергии покоя. Из формул (26.68) и (26.69) получаем с учетом, что aў << 1, выражение

e=  aў2 2n2 й л 1+  aў2 n ж и  1 nf -  3 4n ц ш щ ы ,   n=nr+nf,   aў2=a2 ж и 1-  a2 2n2 ц ш .

(26.70)

Переходя к размерной энергии W=-em₀c² и введя n_f=j+1/2, получим в заданном приближении следующую формулу для энергии уровней в атоме водорода

W=-  aў2m0c2 2n2 -  a4m0c2 2n3 ж и  1 j+1/2 -  3 4n ц ш .

(26.71)

Проведем анализ последней формулы. Как известно из квантовой механики, первый член определяет энергетические уровни атома водорода, рассчитанные с помощью нерелятивистского уравнения Шредингера. Второй член представляет собой добавку, которая обуславливается тонким расщеплением уровней. Эта добавка рассчитывается с помощью уравнения Дирака. Если второй член в формуле (26.71) в заданном приближении в точности совпал с теорией Дирака, то первый член в (26.71) несколько отличается от общепринятого. Энергетические уровни в нашем случае несколько занижены по сравнению со стандартными W_s. Для сравнения приведем конкретные значения

Ws-W Ws ·100%=  a2 2n2 ·100%=  1 n2 0.00266%

(26.72)

Полученная нами оценка укладывается в оценку погрешности теоретических и экспериментальных значений энергии серии Бальмера. Полная ширина тонкой структуры [113], определяемая как расстояние между уровнями j₁=n-1/2 и j₂=1/2 при заданном n совпадает совпадает с аналогичной величиной из теории Дирака. Рассмотрим квантование круговых орбит электрона в поле протона с эффективной потенциальной энергией (26.28). Нашей целью является выяснить как связаны рассмотренные выше круговые орбиты в поле протона (26.31), аналогичные каплановским орбитам в ОТО, с орбитами Бора в атоме водорода. Очевидно, что в случае круговых орбит мы должны положить равным нулю радиальное квантовое число n_r в (26.68). Тогда орбитальное квантовое число n_f будет совпадать с главным n. Это приводит к следующему значению безразмерной энергии E.

E=  1   ж Ц 1+  a2 n2   ,   n=nf,    a =  e2 (h/2p) c .

(26.73)

Ясно, что в виду малости постоянной тонкой структуры a, последнее соотношение можно записать в виде

E=1-  a2 2n2 +  3a4 8n4 .

(26.74)

Рассмотрим устойчивые орбиты электрона в поле протона в согласии с соотношением (26.31), выбрав знак плюс перед радиусами. Рассмотрим случай a >> 1, что эквивалентно r/r₀ >> 1. Именно такой случай реализуется в атоме водорода, когда радиусы боровских орбит значительно больше классического радиуса электрона. Соотношение (26.31) можно преобразовать к виду

x1=a2(2-1/a2),   E1=1-  1 8a2 .

(26.75)

Приравнивая энергию устойчивых каплановских орбит из (26.75) энергии устойчивых боровских орбит (26.74) и ограничиваясь членами с a², получим с использованием (26.29) выражение.

M=  nmecr0 a =n(h/2p).

(26.76)

Из последнего соотношения следует, что каплановские устойчивые орбиты в атоме водорода в точности совпадают с боровскими орбитами.

Рассмотрим ближайшую к центру устойчивую каплановскую орбиту, которая в соответствии с разобранным выше, имеет значение a²=2 или r₁=4r₀. Для этого случая из формул (26.31) находим.

E1=   ж Ц  27 32   .

(26.77)

Приравнивая энергию из последней формулы энергии из соотношения (26.73), получим

n=   ж Ц  27 5   a=0.017.

(26.78)

Ясно, что последняя формула не удовлетворяет условию квантования, так как n должно быть целым и положительным. Это говорит, что развиваемый здесь метод квантования Зоммерфельда не работает на близких расстояниях от центра протона. Что касается неустойчивых каплановских орбит для протона, то ни одна из них не совместна с условиями квантования Зоммерфельда.

Итак, примененный нами метод квантования Бора - Зоммерфельда в римановом пространстве, привел к результатам близким с Зоммерфельдом. Это говорит, что предложенный нами вариант новой метрической теории по крайней мере не абсурден.