В этой главе получено уравнение скалярного мезонного поля связанных нуклонов, релятивистское уравнение движения пробных нуклонов в поле связанных мезонов. Определена геометрия пространства - времени мезонного скалярного поля и найден тензор энергии - импульса этого поля.

Рассмотрим сначала простейший вариант теории ядерных сил, основанный на допущении, что сила притяжения между любыми нуклонами обуславливается нейтральным мезонным полем, которое определяется однокомпонентной скалярной вещественной функцией y. Теорию скалярных ядерных сил будем строить в рамках классической (неквантовой) мезодинамики, с учетом "связанности" поверхностных нуклонов в ядре. Будем считать для простоты модели, что как и для заряженных проводников, нуклоны, которые находятся на поверхности ядра взаимодействуют с создаваемым ими внешним полем. Ввиду короткодействия ядерных сил, нуклоны расположены в объеме ядра с внешним полем вне ядра не взаимодействуют, а взаимодействуют лишь с ближайшими соседями. Однако конкретное распределение нуклонной плотности в ядре на первом этапе учитывать не будем, так как учет распределения плотности нуклонов в ядре (как и учет распределения плотности заряда внутри электрона в теории электромагнитной массы) не приведет к существенному эффекту. Существенным отличием ядерных сил от электромагнитных является сила притяжения между одинаковыми нуклонами, вместо силы отталкивания между одноименными зарядами в электродинамике. Это приводит к тому, что нуклоны на поверхности ядра испытывают силу положительного давления со стороны создаваемого ими поля (вместо силы отрицательного давления со стороны электрического поля заряженного проводника.) Так как каждый из нуклонов покоится, то сила со стороны поля уравновешивается силой связи со стороны ядра. С нашей точки зрения каждый из нуклонов на поверхности ядра в силу постулата эквивалентных ситуаций, (который мы распространяем и на ядерные силы) "движется" ускоренно по радиусу от центра. Итак, каждый из нуклонов на поверхности ядра, которое считаем сферическим по форме, эквивалентен размещению в начале координат некоторой равноускоренной НСО с метрикой (2.18). Т.к. в метрике (2.18) пространственное сечение является плоским, то вклад в скалярный потенциал y от всей сферы можно вычислить путем интегрирования вклада от элементарных "зарядов" каждого из элементов сферы в плоском пространстве ( но в римановом пространстве- времени).

Поэтому предварительно возникает задача о нахождении поля нуклона в равноускоренной НСО.

Так как физические законы должны быть справедливы во всех СО, значит они должны выражаться в виде тензорных уравнений. Если уравнения содержат производные полевых величин, то это должны быть ковариантные производные. Следовательно, известные уравнения скалярного мезонного поля, создаваемого точечными нуклонами, имеющие в ИСО вид [109]

ж и С2-  1 c2  ¶2 ¶t2 -k02 ц ш y = 4pgўd( ® r   - ® r   ў(t)),

(27.1)

где gў - мезонный заряд, [r\vec]ў(t) - радиус-вектор движущегося нуклона, должны быть в НСО представлены в форме

-gmnСmСny-k02y = 4pgўd( ® r   - ® r   ў(t)),    k0=  2pmc h .

(27.2)

В соотношении (27.2) m - масса нуклона, h - постоянная Планка, [r\vec] - радиус-вектор координаты точки наблюдения, g^mn - метрический тензор НСО. Написанное уравнение (27.2) носит название уравнения Клейна - Гордона. Уравнение можно преобразовать к другому виду, используя известное соотношение для ковариантной дивергенции произвольного векторного поля С^my = A^m в виде

СmАm=  1 Ц -g ¶( Ц   -g   Am) ¶ym .

(27.3)

Из (27.3), находим для (27.2) выражение

-  1 Ц -g  ¶ ¶ym ж и Ц   -g   gmn  ¶y ¶yn ц ш -k02y = 4pgўd( ® r   - ® r   ў(t)).

(27.4)

Чтобы решить уравнение (27.4), необходимо знать компоненты метрического тензора g_mn. В равноускоренной НСО метрика определена из соотношения (2.18). Будем искать стационарное решение (27.4) с учетом метрики (2.18), считая, что точечный нуклон расположен в начале координат. В результате приходим к следующему уравнению

Dy+  a0 c2  ¶y ¶y1 -k02y = 4pgўd(y1)d(y2)d(y3).

(27.5)

Решение (27.5) ищем в виде

y = u(y1,y2,y3)exp(ly1),    l =-  a 2 =-  a0 2c2 .

(27.6)

После чего уравнение для u сведется к форме

Du-(  a2 4 +k02) u = 4pgўexp ж и  ay1 2 ц ш d(y1)d(y2)d(y3),

(27.7)

a его решение

u=-  gў r exp ж и -r   ж Ц k02+  a02 4c4   ц ш .

(27.8)

Отметим, что хотя пространство (2.18) - риманово, но его пространственное сечение евклидово, в котором существует радиус - вектор. Из рассмотренного следует, что решение уравнения (27.5) имеет вид

y = -  gў r exp м н о - a0r ж и   ж Ц 1+  4k02c4 a02   +cosq ц ш 2c2 ь э ю .

(27.9)

Решив предварительную задачу о поле нуклона в равноускоренной НСО, приступим к решению основной задачи нахождению поля ядра, учитывая, что поверхностные нуклоны в ядре находятся в особом состоянии, эквивалентном их "ускоренному движению" по радиусу от центра.

Разобъем поверхность сферического ядра на элементарные ячейки, выбрав сферическую систему координат с началом в центре ядра. На поверхности ядра естественным образом возникают аффинные ортогональные реперы с векторами, направленными вдоль координатных линий. Выберем на полярной оси вне ядра некоторую точку наблюдения, в которой вычислим ядерный потенциал от поверхностных нуклонов ядра. Введем нуклонную поверхностную плотность зарядов s. Из соображений симметрии очевидно, что для любого полярного угла q, отсчитываемого от полярной оси, вклад в ядерный потенциал от элемента в точке наблюдения не зависит от азимутального угла f. Поэтому вклад в потенциал dy от кольца ширины Rdq и радиуса Rsinq имеет вид

dy = -  2psR2sinq rў exp м н о - a0rў ж и   ж Ц 1+  4k02c4 a02   +cosg ц ш 2c2 ь э ю dq.

(27.10)

Здесь g - угол между радиусом-вектором из начала координат до элемента заряда и радиусом-вектором [r\vec]ў от элемента заряда до точки наблюдения.

Отметим во избежание недоразумений, что с точки зрения локального наблюдателя, связанного с элементом поверхности, на которой расположен "ускоренный" нуклонный заряд, пространство является плоским, а пространство-время - римановым. Поэтому [r\vec]ў и [r\vec] с точки зрения этого наблюдателя имеют ясный геометрический смысл. С другой стороны, совокупность мировых линий частиц, расположенных на сфере, с точки зрения глобального наблюдателя, находящегося в начале сферической системы отсчета, не принадлежит жесткой равноускоренной НСО, поскольку радиальные ускорения не параллельны. Для такого наблюдателя совокупность рассмотренных мировых линий частиц на сфере принадлежит к радиальноускоренной жесткой НСО. "Пространственное сечение" для частиц на сфере не будет плоским.

Так как с точки зрения наблюдателя на элементе поверхности сферы трехмерное пространство плоское, то, используя элементарные тригонометрические преобразования, получим для ядерного потенциала y выражение

y = -  gў 2r ebrp у х 1 -1   exp(-br(fb+x)) b d x

(27.11)

Здесь введены следующие обозначения

x=cosq,   f=   ж Ц 1+  4k02c4 a02   ,    b =  a0 2c2 ,

p=  R r ,   b= Ц   1+a2-2ax   .

(27.12)

Интеграл (27.11) можно преобразовать к виду

y =  gў 2Rs exp(-s2+s2p2(1-f2)) у х s(1-p(1+f)) s(1+p(1-f))  exp(u2)d u,

(27.13)

где величинa s определяется равенством

s=   ж Ц  br 2p   =r   ж Ц  a0 4Rc2   .

(27.14) =

Потенциал y скалярного мезонного поля можно найти и непосредственно из решения уравнения (27.4) с нулевой правой частью, выбрав стационарное решение для случая сферической симметрии. Компоненты метрического тензора задаются интервалом (19.4), в котором функции n(r) и l(r) требуется определить. Из (27.4) получаем соотношение

¶ ¶r ж и exp ж и  n-l 2 ц ш r2  ¶y ¶r ц ш = k02r2y(r)exp ж и  n+l 2 ц ш .

(27.15)

Соотношение (27.15) при известной функции y(r) из (27.13) связывает искомые функции n(r) и l(r).

Для нахождения второго уравнения, связывающего эти функции, рассмотрим силу со стороны поля, действующую на "пробный" нуклонный "заряд" gў , закрепленный в точке с координатой r от центра шара. Пусть масса пробного заряда m₀. Тогда вектор первой кривизны F¹ мировой линии этого заряда можно найти из соотношения (1.5), записав для закрепленных зарядов условие сопутствия для метрики (19.4) в виде

Vk=Vk=0,      V0=(g00)-1/2,

V0=(g00)1/2,   F1 = F(r),   F0=F2=F3=0.

(27.16)

Откуда из (1.5), (19.4) и (27.16) имеем

F1=  1 2  dn dr exp(-l).

(27.17)

С другой стороны, эту величину можно найти и из силы, действующей на нуклон со стороны связи, удерживающей нуклон в поле неподвижным. Эта сила численно равна силе со стороны поля и противоположна ей по знаку. Уравнения движения нуклонного заряда в скалярном мезонном поле можно найти из закона Ньютона, представимого в виде

DVm dS =  gў m0c2 (gmn-VmVn)  ¶y ¶yn

(27.18)

В нерелятивистском приближении эта формула совпадает с обычным уравнением движения нуклона в скалярном мезонном поле [109].

В согласии со сказанным выше, получаем формулу

1 2  dn dr exp(-l)=  gў m0c2 exp(-l)  ¶y ¶r ,

(27.19)

из которой с учетом обращения метрики на бесконечности в плоскую, имеем

n(r)=  2gў m0c2 y(r).

(27.20)

Итак, формулы (27.20), (27.13) определяют g₀₀ компоненту метрического тензора скалярного мезонного поля. Компоненту g₁₁ метрического тензора можно определить из уравнения (27.15), которое можно представить в следующей форме:

d Y d r +h(r)Y(r)=k(r),   Y(r)=exp(-l),   h(r)=  2 T  d T d r ,

T(r)=exp ж и  n 2 ц ш r2  ¶y ¶r ,   k(r) =  2k02y  ¶y ¶r .

(27.21)

Таким образом, поучили линейное неоднородное уравнение, решение которого представимо в виде:

Y(r)=exp ж и - у х r d  h(r)dr ц ш у х r d  exp ж и у х r d  h(r)dr ц ш k(r)dr+

+Cexp ж и - у х r d  h(r)dr ц ш .

(27.22)

Решение уравнения представлено здесь как сумма двух функций. Первая при r=d обращается в нуль, а вторая принимает значение C. Внутренний интеграл легко берется в квадратурах.

у х r d  h(r)dr=ln ж и  T(r) T(d) ц ш 2   ,

откуда следует выражение

Y(r)=  2k02 T2(r) у х r d  exp(n)r4y  ¶y ¶r dr+C ж и  T(d) T(r) ц ш 2   .

(27.23)

В соотношении (27.23) интегральная кривая Y(r) проходит через точку (d,C). Считая, что на бесконечности метрика является плоской, получим

Y(r)= ж и  T(Ґ) T(r) ц ш 2   й л 1-  2k02 T2(Ґ) у х Ґ r  exp(n)r4y  ¶y ¶r dr щ ы .

(27.24)

Формулы (27.13), (27.20) и (27.24) определяют геометрию пространства - времени скалярного мезонного поля. Зная метрику и скалярный потенциал y, найдем тензор энергии-импульса нейтрального скалярного поля, воспользуясь результатом работы [53]. В результате получаем

Tmn=  n 4p ж и  ¶y ¶ym  ¶y ¶yn +  1 2 ж и k02-  ¶y ¶yl  ¶y ¶yl ц ш gmn ц ш .

(27.25)

Здесь n - размерная постоянная, выбор которой зависит от конкретного вида скалярного поля. Для интересующей нас тетрадной компоненты T₍₀₎₍₀₎ тензора энергии-импульса получаем выражение

T(0)(0)=  n 4p ж и  dy d S  dy d S +  1 2 ж и k02-  ¶y ¶yl  ¶y ¶yl ц ш ц ш .

(27.26)

Для стационарного случая в сопутствующей системе (27.16) находим

T(0)(0)=  n 8p ж и k02y2-gkl  ¶y ¶yk  ¶y ¶yl ц ш .

(27.27)

Далее, воспользуясь общей формулой (19.18) для энергии поля, получим выражение

W= у х T(0)(0) Ц   -g   d3y =

=  n 8p у х exp ж и  l+n 2 ц ш r2sinq ж и k02y2+e-l ж и  dy d r ц ш 2   ц ш dqdfdr =

=  n 2 у х exp ж и  l+n 2 ц ш r2 ж и k02y2+e-l ж и  dy d r ц ш 2   ц ш dr.

(27.28)

Воспользуясь уравнением (27.15), имеем для первого члена в (27.28) выражение

n 2 у х exp ж и  l+n 2 ц ш r2 k02y2 dr =

=  n 2 у х y  ¶ ¶r ж и ж и exp  n-l 2 ц ш r2  ¶y ¶r ц ш dr,

(27.29)

которое после интегрирования по частям сводит энергию поля W к виду

W=-  n 2 y(R)exp ж и  n(R)-l(R) 2 ц ш R2  ¶y ¶r к к r=R  .

(27.30)

Отметим, что полученные результаты неоднозначны. Уравнение (27.2), как известно, например, из [23], зависит от метода вывода и может быть представлено в следующей форме

-gmnСmСny-k02y-kRy = 4pgўd( ® r   - ® r   ў(t)),    k0=  2pmc h .

(27.31)

Здесь R - скалярная кривизна, k - некоторая постоянная, зависящая от способа получения этого уравнения. Мы не будем на этом останавливаться, отсылая читателя к работе [23]. Ясно, что используемый здесь аппарат можно применить и в теории нестационарного переноса нейтронов [114-116] для уточнения сечений рассеяния и захвата, но это не является предметом исследования в данной книге.

Проведем анализ полученного соотношения для энергии поля.

Для частного случая k₀=0, нейтральное мезонное поле по структуре напоминает ньютоновское гравитационное поле. Решим следующую задачу.

Пусть имеется невесомая твердая оболочка радиуса R, окруженная взаимодействующими друг с другом по закону всемирного тяготения Ньютона частицами пыли. Пусть массивные пылинки расположены в очень тонком сферическом слое, толщина которого пренебрежимо мала по сравнению с радиусом оболочки. Ясно, что под действием силы взаимного притяжения частицы будут давить на оболочку. По третьему закону Ньютона оболочка будет давить на частицы, вызывая у них появление "ускорения", направленного от центра оболочки по радиусу. В согласии с постулатом эквивалентных ситуаций и вычислениями, проведенными в предыдущем разделе, потенциал скалярного гравитационного поля гравитирующего слоя можно получить из формулы (27.13), полагая в ней f=1.

y =  gў 2Rs exp(-s2) у х s(1-2p) s  exp(u2)d u,

(28.1)

где величинa s определяется равенством

s=   ж Ц  br 2p   =r   ж Ц  a0 4Rc2   .

(28.2)

В согласии с принципом соответствия, при исчезающе малых значениях s должно получаться выражение для ньютонова потенциала. Откуда следует, что заряд gў=kM, где k - гравитационная постоянная, M - масса всех частиц в слое. Величина a₀ на поверхности оболочки равна половине от величины ускорения свободного падения пробных частиц на оболочку, что дает для s

s=  r 4R   ж Ц  rg R   ,   rg=  2kM c2 ,

(28.3)

где r_g - гравитационный радиус.

Для скалярного гравитационного поля уравнение (27.15) сводится к виду

¶ ¶r ж и exp ж и  n-l 2 ц ш r2  ¶y ¶r ц ш =0,

(28.4)

интегрируя которое при выполнении принципа соответствия, получаем

exp ж и  n-l 2 ц ш r2  ¶y ¶r =kM.

(28.5)

Воспользуясь выражением для энергии (27.30), получим

W=-  n 2 kМy(R).

(28.6)

Если мы пренебрежем "ускорением" частиц на сфере, то в силу классического соотношения

y = -  kM R ,

получаемого из (28.1) при s® 0, находим

W=  n 2  k2М2 R .

(28.7)

Из принципа соответствия для ньютоновского гравитационного поля выбираем

n=-  1 k ,

(28.8)

после чего выражение для энергии поля вне оболочки в нулевом приближении совпадает с ньютоновским аналогом.

W=-  1 2  kМ2 R .

(28.9)

Знак минус говорит о том, что массы в гравитации всегда притягиваются. В электростатике одноименные заряды отталкиваются, поэтому электростатическая энергия заряженного шара для заряда любого знака положительна.

Отметим, что рассматриваемая нами ньютоновская скалярная гравитация рассматривается в римановом пространстве-времени. Она ни в коем случае не претендует на замену ОТО и представляет чисто методический интерес, как некоторый частный случай безмассового мезонного скалярного поля, для которого уравнения более просты, чем для массивных мезонов.

Из формулы (28.9) следует, что при R® 0 энергия гравитационного поля оболочки при фиксированной массе M стремится к минус бесконечности. Это вполне естественно для теории Кулона и Ньютона и является главной трудностью этих теорий.

Найдем значение энергии скалярного гравитационного поля в нашем случае. Для этого воспользуемся выражениями (28.6) и (28.1) при p=1. В результате получим

y(R)=- gўexp(-d2) Ц p 2Rid й л F(id) щ ы ,   s(R)=d =  1 4   ж Ц  rg R   .

(28.10)

При R® 0, d® Ґ, поэтому используя формулу (19.22), находим

W=-2Mc2.

Знак минус в энергии означает наличие притяжения между частицами, а удвоение энергии обусловлено наличием давления Пуанкаре со стороны жесткой оболочки на частицы.

В разделе 19 при рассмотрении электромагнитной энергии электрона для устранения его взрыва под действием кулоновских сил было необходимо вводить поверхностное давление Пуанкаре. Природа этого давления неизвестна, однако оно необходимо для объяснения устойчивости электрона. При рассмотрении протона давление Пуанкаре обусловлено естественными ядерными силами. Для простоты будем считать, что заряд протона размазан по его поверхности, а отрицательное давление со стороны созданного протоном электромагнитного поля удерживает протон от коллапса. Таким образом, сила со стороны электромагнитного поля играет роль связи для противодействия основным ядерным силам сжатия. Эта силы, направленные по радиусу от центра протона, противоположны по знаку силам Пуанкаре для электрона, и в отличие от сил Пуанкаре, вызывают положительное "ускорение" для элементов зарядов на поверхности протона. Поэтому для вычисления энергии протона будем использовать формулу (19.3) вместо соотношения (19.3а), которое использовалось нами ранее при рассмотрении движения электрона в электрическом поле протона. ¹

Дальнейшее вычисление электростатической энергии протона производится по формулам раздела 19 с положительным "ускорением" и для протона приводит к соотношению (19.23) с N=1, т.е.

W=mpc2 ж и 1-  4mpc2R e2 ц ш ,

(29.1)

где m_p - масса покоя протона, а R - его характерный размер. Последняя формула справедлива, когда параметр d в (19.8) много больше единицы, что эквивалентно R® 0. Поэтому для точечного протона его энергия электрического поля

W=mpc2.

(29.2)

Отметим во избежание недоразумений, что для описания электрона в поле протона можно использовать и формулу (19.3). Какая же из них является более "правильной" не совсем ясно.