Глава 8
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
В этой главе рассмотрена кинематика деформируемой среды в рамках СТО.
На гиперповерхностях ортогональных мировым линиям частиц среды (актуальной
и начальной) найдены тензоры деформаций в различных системах отсчета,
обобщающие классические тензоры Альманси, Грина, Коши, Фингера. Получены
релятивистские уравнения совместности деформаций и выведены соотношения,
связывающие тензор распространения натяжений со скоростью изменения тензора
деформаций в различных представлениях. Найдены релятивистские уравнения
совместности для тензора скоростей деформаций.
30. Формализм ортогональных реперов в пространстве Минковского и
Римана
Неголономные преобразования и тетрадный формализм в предыдущих
разделах использовались лишь
эпизодически. В этой и последующих главах формализм ортогональных
реперов и неголономные геометрические объекты являются определяющими.
Так как в литературе, хорошо известной читателям (например, [7]),
сведений по тетрадному формализму недостаточно для дальнейшего
изложения, а книги [128], [1], [22], в которых формализм дан
достаточно полно,
стали библиографической редкостью, то для удобства читателей приведем
необходимые в дальнейшем соотношения по формализму ортогональных реперов.
Для более тесной связи с классической механикой деформируемых сред будем
использовать в пространстве Минковского не сигнатуру (+ - - -), как
в предыдущих разделах, а задавать интервал с помощью выражения
где метрический тензор имеет простейший вид
gmn=dmn, m, n = 1, 2,3,4, x4=ict, i= | Ц
|
-1
|
. |
|
Всюду в дальнейшем греческие индексы будут изменяться от единицы до четырех,
а латинские - от единицы до трех. В силу выбора x4=ict не делается различия
между ковариантными и контравариантными компонентами.
В каждой точке галилеевой системы координат построим ортонормированный репер -
тетраду. Каждая из тетрад будут отличаться друг от друга только параллельными
сдвигами ( однородное поле тетрад),
образующее прямолинейную тетрадную решетку.
Наряду с тетрадами (30.2) введем произвольное неоднородное поле тетрад
которые связаны с векторами тетрад (30.2) локальным ортогональным
преобразованием
Тетрадные индексы произвольного тетрадного поля будем заключать в скобки.
Коэффициенты hm(a) называются коэффициентами Ламе. Выбрав точку O
какой либо тетрады (30.2) за начало отсчета, остальным точкам O
сопоставляются координаты Минковского xm, отсчитываемые вдоль
направлений тетрадных векторов. Подобно тетрадам (30.2), тетрады (30.3)
также образуют ортогональную, но уже искривленную тетрадную решетку,
с которой можно связать координатную сетку x(a), как и для тетрад (30.2).
Координатные сетки тетрад (30.2) и (30.3) связаны локальным ортогональным
преобразованием
Тот факт, что тетрадные векторы единичны и ортогональны запишется в виде
|
®
h
|
(a)· |
®
h
|
(b)=d(ab), |
®
h
|
m
|
· |
®
h
|
n
|
=dmn. |
| (30.5) |
Из последнего соотношения следует
hm(a)hm(b)=d(ab), hm(a) hn(a)=dmn, |
®
h
|
m
|
· |
®
h
|
(a)=hm(a). |
| (30.6) |
Так как в каждой точке пространства-времени находятся два ортонормированных
репера, то любой вектор [A\vec] может быть разложен по векторам этих реперов.
|
®
A
|
=Am |
®
h
|
m
|
=A(a) |
®
h
|
(a). |
| (30.7) |
Откуда, используя (30.5) и (30.6), получаем
A(a) = hm(a)Am, Am=hm(a)A(a). |
| (30.8) |
Заметим, что соотношение (30.4) в общем случае неинтегрируемо, т.к. dx(a)
не является полным дифференциалом. В этом случае преобразование (30.4)
называется неголономным.
Найдем изменение Dx(a) при обходе по замкнутому контуру в случае (30.4).
Dx(a)= | у (з) х
|
(L)
|
hs(a)dxs= |
у х (f)
|
Cmn(a)d fmn № 0. |
| (30.9) |
Мы использовали теорему Стокса при переходе от интеграла по замкнутому
контуру (L) к интегралу по охватываемой контуром поверхности (f).
Cmn(a)= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶hn(a)
¶xm
|
- |
¶hm(a)
¶xn
|
|
ц ш
|
. |
| (30.10) |
Величина Cmn(a) называется объектом неголономности,
который является общековариантным тензором в индексах m, n, но
не относительно индекса a. Только в том случае, когда все компоненты
объекта неголономности равны нулю, преобразование будет голономным.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Так как соотношение (30.3) приводит
к появлению искривленной тетрадной решетки, то при параллельном переносе
некоторого вектора [A\vec] его компоненты A(a), вследствие различной
ориентации тетрад, будут изменяться по закону
Здесь объект связности
играет ту же роль, что и символы Кристоффеля при параллельном перенесении
некоторого вектора Am в криволинейной координатной системе. Величины
Ds(ab), образующие общековариантный вектор относительно индекса
s, называются коэффициентами вращения Риччи, для вычисления которых
воспользуемся тем фактом, что при параллельном переносе галилеевы компоненты
вектора не меняются
dp As=dp A(a) hs(a)+A(a)dp hs(a)=0, |
|
dp A(a) = - hn(a) |
¶hn(b)
¶xs
|
A(b)dxs. |
|
Откуда, сравнивая с (30.11), имеем
Ds(ab)=-hn(a) |
¶hn(b)
¶xs
|
. |
| (30.12) |
Ковариантный (абсолютный) дифференциал вектора A(a) есть
*DA(a)=dA(a)-dp A(a)= |
й л
|
|
¶A(a)
¶xs
|
-Ds(ab)A(b) |
щ ы
|
dxs. |
| (30.13) |
|
*DA(a)
¶xs
|
=*СsA(a) = |
¶A(a)
¶xs
|
-Ds(ab)A(b). |
| (30.14) |
Отметим, что *СsA(a) является общековариантным тензором
относительно локальных преобразований тетрад.
Для любого тензора Tm(a), заданного галилеевыми и тетрадными
компонентами, имеем
*СsTm(a) = |
¶Tm(a)
¶xs
|
-Ds(ab)Tm(b). |
| (30.15) |
В частности
*Сshm(a) = |
¶hm(a)
¶xs
|
+hn(a) |
¶hn(b)
¶xs
|
hm(b) є 0. |
| (30.16) |
Таким образом, при ковариантном дифференцировании коэффициенты Ламе
являются ковариантно постоянными. Производная по направлению от некоторого
геометрического объекта T в направлении x(a) определяется при помощи
равенства
Покажем, что эти производные некоммутативны и вычислим их коммутатор
|
¶2 T
¶x(b)¶x(a)
|
=he(b) |
¶hn(a)
¶xe
|
|
¶T
¶xn
|
+he(b)hn(a) |
¶2 T
¶xe¶xn
|
, |
|
|
¶2 T
¶x(b)¶x(a)
|
- |
¶2 T
¶x(a)¶x(b)
|
= |
ж и
|
he(b) |
¶hn(a)
¶xe
|
-he(a) |
¶hn(b)
¶xe
|
|
ц ш
|
|
¶T
¶xn
|
. |
|
Воспользуемся равенствами
C(ab,g)=Cme(g)hm(a)he(b), |
| (30.18) |
C(ab,g)hn(g)=C(ab)n= |
1
2
|
|
ж и
|
he(b) |
¶hn(a)
¶xe
|
-he(a) |
¶hn(b)
¶xe
|
|
ц ш
|
. |
| (30.19) |
Используя (3.19), находим
|
¶2 T
¶x(b)¶x(a)
|
- |
¶2 T
¶x(a)¶x(b)
|
=2C(ab)n |
¶
¶xn
|
=2C(ab,g) |
¶
¶x(g)
|
. |
| (30.20) |
Из (30.20) следует, что некоммутативность производных по направлениям
является следствием того, что объект неголономности отличен от нуля.
Путем непосредственной проверки можно убедиться, что между коэффициентами
Риччи и объектом неголономности существует соотношение
D(e,ab)=hs(e)Ds(ab)=C(ae,b)+C(ab,e)+C(eb,a). |
| (30.21) |
Остановимся еще на одном важном пункте, отметив, что тетрады (O,[h\vec](a))
только одной точкой O (началом) принадлежат пространству Минковского, а вся
остальная конструкция ему не принадлежит. Геометрически это утверждение
означает, что преобразования координатной сетки меняет координаты точек O,
но не изменяют ориентации самих тетрад. Рассмотрим обычные (глобальные)
преобразования Лоренца.
xmў=Lmўmxm, LmўmLmўn=dmn,
Lmўm=const. |
| (30.22) |
Из соотношения (30.8)
где Am и hm(a) при преобразованиях Лоренца преобразуются
как 4-векторы, следует, что
Aў(a)=hmў(a)Amў=LmўmLmўnhm(a)An=A(a). |
| (30.23) |
Таким образом, вектор A(a), заданный тетрадными компонентами, при
преобразованиях Лоренца ведет себя как совокупность скаляров.
Так как тетрады друг от друга отличаются только относительной ориентацией,
то они связаны локальным ортогональным преобразованием
|
®
h
|
(aў)=ø(aўa) |
®
h
|
(a), ø(as)ø(bs)=d(ab), |
| (30.24) |
где коэффициенты преобразования ø(ab) зависят от координат.
Преобразование (30.24) образует группу, действующую в пространстве тетрад,
которая выполняет примерно ту же роль, что и группа преобразований координатной
сетки в пространстве Минковского. При преобразовании (30.24) любой тензор
Aa1a2...an, заданный галилеевыми компонентами, преобразуется
как совокупность скаляров. Действительно
Aўa1a2...an=ha1(b1)ha2(b2)...han(bn)A(b1...bn) = |
|
= ha1(bў1)ha2(bў2)...han(bўn)ø(b1bў1)ø(b2bў2)...ø(bnbўn) |
|
ø(b1gў1)ø(b2gў2)...ø(bngўn)A(gў1gў2...gўn) = Aa1a2...an. |
| (30.25) |
Таким образом, геометрический объект Aa1...an(b1...bm)
представляет собой тензор ранга n относительно преобразований Лоренца
и тензор ранга m относительно преобразований тетрад. Связь между
галилеевыми и тетрадными компонентами в общем случае, как и в случае
(30.8), осуществляется при помощи коэффициентов Ламе.
Aa1a2...an(b1b2...bm)ha1(g1)ha2(g2)...han(gn)=A(g1...gnb1...bm), |
| (30.26) |
Aa1a2...an(b1b2...bm)hs1(b1)hs2(b2)...hsm(bm)=Aa1...ans1...sm. |
| (30.27) |
Рассмотрим, как изменяется вектор A(a) при параллельном переносе
по бесконечно малому замкнутому контуру
| у (з) х
| dp A(a)= | у (з) х
| De(ab) A(b)dxe= |
1
2
|
|
у х
|
Rmn(ab) A(b)dfmn = |
|
= |
1
2
|
|
у х
|
dfmn |
й л
|
|
¶Dn(ab)
¶xm
|
- |
¶Dm(ab)
¶xn
|
+ |
|
+Dm(ae)Dn(be)-Dn(ae)Dm(be) |
щ ы
|
A(b). |
| (30.28) |
Откуда
Rmn(ab)= |
¶Dn(ab)
¶xm
|
- |
¶Dm(ab)
¶xn
|
+Dm(ae)Dn(be)-Dn(ae)Dm(be). |
| (30.29) |
Подставляя (30.29) в (30.12), получаем, что
где Rmn(ab) - тензор кривизны, заданный галилеевыми и
тетрадными компонентами.
Таким образом, связность Dm(ab) появилась именно потому,
что мы ввели некоторое произвольное тетрадное поле. Она не дает вклада в
тензор кривизны, компенсируя введение неоднородного тетрадного поля,
которое мы ввели наряду с однородным.
Выясним теперь, что нового дает переход от галилеевых координат пространства
Минковского к произвольным криволинейным координатам.
Пусть ym - криволинейные координаты, введенные наряду с галилеевыми
xa при помощи соотношения
Выражение (30.1) примет более общую форму
где компоненты метрического тензора [^g]mn имеют
следующий вид
|
^
g
|
mn
|
= |
¶xa
¶ym
|
|
¶xa
¶yn
|
. |
| (30.33) |
Радиус-вектор [r\vec], проведенный из начала координат в некоторую
точку M, будет функцией криволинейных координат ym. Рассмотрим
новый вектор [[^h]\vec]m, полученный дифференцированием [r\vec] по
ym, т.е.
Каждый из этих четырех векторов является касательным к координатной
линии ym в точке M и все вместе они образуют локальный аффинный
репер, с которым можно связать локальную косоугольную и прямолинейную
систему координат. При переходе от точки к точке векторы [[^h]\vec]m
изменяют свою длину и относительную ориентацию. Любой вектор [A\vec],
заданный в точке M может быть разложен по векторам [[^h]\vec]m
аффинного репера, для которого точка M служит началом
Коэффициенты разложения [^A]m, являющиеся в общем случае
функциями координат ym, называются криволинейными контравариантными
компонентами вектора [A\vec]. В каждой точке может быть построен также
взаимный аффинный репер [[^h]\vec]m такой, что
Тогда
где [^A]m - ковариантные компоненты вектора.
Кроме того, в каждой точке галилеевой системы может быть построен
ортонормированный репер, векторы которого единичные и ортогональные.
Так как поле таких векторов в соответствии с (30.2) однородно, то
Скалярные произведения векторов аффинного и ортонормированного образуют
коэффициенты Ламе
hem= |
®
h
|
e
|
· |
®
|
m
|
= |
¶xe
|
· |
¶ym
|
= |
¶xe
¶ym
|
,
hem= |
®
h
|
e
|
· |
®
|
m
|
= |
¶yn
|
|
¶yn
¶xe
|
|
®
|
m
|
= |
¶ym
¶xe
|
. |
| (30.39) |
Коэффициенты Ламе являются компонентами смешанного тензора, индексы
которого относятся к разным координатным системам. Эти коэффициенты
позволяют связать ортогональные и криволинейные компоненты векторов.
Aa=ham |
^
A
|
m
|
=ham |
^
A
|
m
|
, |
^
A
|
m
|
=ham Aa,
|
^
A
|
m
|
=hamAa. |
| (30.40) |
При помощи их можно записать компоненты метрического тензора
|
^
g
|
mn
|
= |
¶xa
¶ym
|
|
¶xa
¶yn
|
=hamhan, |
^
g
|
mn
|
= |
¶ym
¶xa
|
|
¶yn
¶xa
|
=ham han, hamhmb=dab. |
| (30.41) |
Используя соотношения (30.3), введем произвольное тетрадное поле
{O,[h\vec](a)}. Таким образом, в каждой точке возникают три репера:
два ортогональных и один аффинный. Связь между произвольным ортогональным
репером и аффинным также осуществляется при помощи параметров Ламе.
|
®
h
|
(a)· |
®
|
m
|
= |
^
h
|
m
|
(a), |
®
h
|
(a)· |
®
|
m
|
= |
^
h
|
m
|
(a), |
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
m
|
(b)=d(ab), |
|
|
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
n
|
(a)=hemhen= |
^
g
|
mn
|
,
|
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
n
|
(a)=hsmhns=dnm, |
|
|
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
n
|
(a)=hsmhns= |
^
g
|
mn
|
. |
| (30.42) |
Между аффинными и тетрадными компонентами для некоторого вектора [A\vec]
имеют место равенства.
A(a)= |
^
h
|
m
|
(a) |
^
A
|
m
|
=h(a)m |
^
A
|
m
|
, |
^
A
|
m
|
=h(a)m A(a),
|
^
A
|
m
|
=hm(a)A(a). |
| (30.43) |
Найдем изменение Dym при обходе по замкнутому контуру.
Используя значения (30.39), получим
Dym= | у (з) х
|
(L)
|
hmadxa= |
1
2
|
|
у х (f)
|
|
ж и
|
|
¶hmb
¶xa
|
- |
¶hma
¶xb
|
|
ц ш
|
d fab=0. |
| (30.43a) |
Этим свойством, как известно, обладают голономные преобразования.
Подсчитаем аналогичное изменение для
Dy(a)= | у (з) х
|
(L)
|
|
^
h
|
s
|
(a)dxs = |
у х (f)
|
|
^
C
|
mn
|
(a)d fmn № 0, |
| (30.43b) |
так как объект неголономности [^C]mn(a), отнесенный к произвольной
криволинейной координатной сетке и определяемый равенством
Cmn(a)= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶hn(a)
¶ym
|
- |
¶hm(a)
¶yn
|
|
ц ш
|
|
|
отличен от нуля.
При переходе к галилеевым координатам получим соотношение (30.10).
Рассмотрим как будут изменяться компоненты A(a) при параллельном
переносе некоторого вектора [A\vec].
dp A(a)= |
^
D
|
e
|
(ab)A(b)dye, dp A(a)=dp( |
^
h
|
m a
|
|
^
A
|
m
|
) = |
|
= - |
^
h
|
m
|
(a)Gslm |
^
A
|
l
|
dys++ |
^
A
|
m
|
|
¶ys
|
dys = |
|
= |
ж и
|
- |
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
l
|
(b)Gmel++ |
^
h
|
m
|
(b) |
¶ys
|
|
ц ш
|
A(b)dye. |
|
Откуда находим
|
^
D
|
e
|
(ab)=- |
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
l
|
(b)Gmel+ |
^
h
|
m
|
(b) |
¶ye
|
, |
|
что эквивалентно
Gsl.m=Ds,l.m+ |
^
h
|
m
|
(b) |
¶ys
|
|
| (30.44) |
В галилеевых координатах коэффициенты Риччи определяются соотношением (30.12).
Коэффициенты Gmsl (символы Кристоффеля) описывают изменение
локальных аффинных реперов при переходе от точки к точке. Если метрический
тензор порожден только криволинейной системой координат плоского пространства,
то коэффициенты связности имеют вид
Gmsl= |
¶ym
¶xa
|
|
¶2 xa
¶ys¶yl
|
. |
| (30.45) |
При этом [^g]mn и Gmsl связаны обычным образом
Gmsl= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶ys
|
+ |
¶yl
|
- |
¶yn
|
|
ц ш
|
. |
| (30.46) |
Коэффициенты Риччи [^(D)](e,ab) связаны с объектом неголономности
по тому же правилу, как и (30.21).
|
^
D
|
(e,ab)= |
^
C
|
(ae,b)+ |
^
C
|
(ab,e)+ |
^
C
|
(eb,a). |
| (30.47) |
|
^
C
|
(eb,a)= |
^
C
|
mn
|
(a) |
^
h
|
m
|
(e) |
^
h
|
n
|
(b). |
| (30.48) |
Ковариантный (абсолютный) дифференциал вектора A(a), как и в случае
(30.13) есть
*DA(a)=dA(a)-dp A(a)= |
й л
|
|
¶A(a)
¶ys
|
- |
^
D
|
s
|
(ab)A(b) |
щ ы
|
dys. |
| (30.49) |
|
*DA(a)
¶ys
|
=*СsA(a) = |
¶A(a)
¶ys
|
- |
^
D
|
s
|
(ab)A(b). |
| (30.50) |
Для любого тензора [^T]m(a), заданного аффинными и тетрадными
компонентами, имеем
*Сs |
^
T
|
m
|
(a) = |
¶ys
|
-Gsml |
^
T
|
l
|
(a)- |
^
D
|
s
|
(ab) |
^
T
|
m
|
(b). |
| (30.51) |
В галилеевых координатах (30.51) переходит в (30.15).
*Сs[^T]m(a) является общековариантным тензором по индексам s,
m и вектором по отношению к преобразованию тетрад. В частности
*Сs |
^
h
|
m
|
(a) = |
¶ys
|
-Glsm |
^
h
|
l
|
(a)- |
^
D
|
s
|
(ab) |
^
h
|
m
|
(b) є 0. |
| (30.52) |
Таким образом, как и в случае (30.16) коэффициенты Ламе являются ковариантно
постоянными.
В рассмотренном выше случае всегда можно от криволинейных координат ym
перейти к галилеевым xa, тогда все сорок коэффициентов связности
Gslm обратятся в нуль. Если же пространство риманово, то галилееву
систему во всем пространстве ввести нельзя и мы вынуждены пользоваться только
криволинейными системами координат.
Далее, в римановом пространстве вместо радиуса-вектора конечных размеров,
которого принципиально не существует, можно построить в каждой точке
бесконечно малый радиус вектор d[r\vec], однако он будет принадлежать
уже другому многообразию - касательному плоскому пространству, которое
можно построить в каждой точке искривленного пространства. В этом касательном
(локальном) плоском пространстве располагаются аффинный и ортонормированный
реперы, а также любые векторы, которые можно построить по их криволинейным
компонентам. Таким образом, формализм плоского пространства в криволинейных
координатах применим и к риманову пространству, в котором, правда, метрический
тензор и символы Кристоффеля не выражаются через производные от галилеевых
координат, как это имело место в плоском пространстве. В римановом пространстве
принципиально нельзя выбрать такой координатной системы, в которой координаты
метрического тензора [^g]mn становятся постоянными во всем
пространстве. В связи с этим в римановом пространстве появляется новая
характеристика, которая отличает его от плоского пространства, а именно,-
кривизна.
При параллельном переносе вектора A(a)
по бесконечно малому замкнутому контуру этот вектор получает
приращение DA(a), определяемое как
DA(a)= | у (з) х
| dp A(a) = | у (з) х
| |
^
D
|
e
|
(ab) A(b)dye= |
1
2
|
|
у х
|
Rmn(ab) A(b)dfmn, |
| (30.53) |
где
Rmn(ab)= |
¶ym
|
- |
¶yn
|
+ |
^
D
|
m
|
(ae) |
^
D
|
n
|
(be)- |
^
D
|
n
|
(ae) |
^
D
|
m
|
(be). |
| (30.54) |
Соотношение (30.54) выражает тензор кривизны через коэффициенты Риччи.
Свертывая индексы с помощью коэффициентов Ламе [^h]m(a), [^h]n(b),
получим скалярную кривизну пространства R.
R=4Сs{ |
^
C
|
(eb,b) |
^
h
|
s
|
(e)}-4 |
^
C
|
(ab,b) |
^
C
|
(ae,e)+ |
^
D
|
(e,ab) |
^
C
|
(ab,e), |
| (30.55) |
где Сs - ковариантная производная относительно группы преобразований
координатной сетки, для которых тетрадные индексы являются инвариантными.
Поэтому
Сs |
^
A
|
m
|
(a1,...an)= |
¶ys
|
+Gmsl |
^
A
|
l
|
(a1,...an). |
| (30.56) |
В частности из (30.52)
Сs |
^
h
|
m
|
(a) = |
^
D
|
s
|
(ab) |
^
h
|
m
|
(b). |
| (30.57) |
До сих пор мы рассматривали ортогональные реперы [^h]m(a) как некоторое
произвольное тетрадное поле. Однако особый интерес для нас будут представлять
тетрады, связанные с каждой точкой некоторой временно-подобной кривой G
(мировой линией) в пространстве-времени. Выпишем соотношения, носящие
название формул Френе-Серре.
|
dS
|
= |
^
c
|
|
^
C
|
m
|
+ |
^
b
|
|
^
A
|
m
|
, |
| (30.59) |
|
dS
|
= |
^
d
|
|
^
D
|
m
|
- |
^
c
|
|
^
B
|
m
|
, |
| (30.60) |
где
|
^
A
|
m
|
|
^
A
|
m
|
=-1, |
^
B
|
m
|
|
^
B
|
m
|
= |
^
C
|
m
|
|
^
C
|
m
|
= |
^
D
|
m
|
|
^
D
|
m
|
=1. |
| (30.62) |
[^B]m, [^C]m, [^D]m представляют собой первую вторую и
третью нормали к G соответственно, а [^b], [^c], [^d] - первую,
вторую и третью кривизны. d[^F]m/dS - абсолютная производная
контравариантного векторного поля Fm на кривой ym(S), определяемая
равенством
|
dS
|
= |
d S
|
+Gmab |
^
F
|
a
|
|
d yb
d S
|
. |
| (30.63) |
Пусть
есть мнимо единичный вектор, касательный к G.
Тогда из уравнений (30.58), (30.62) определяются [^B]m и [^b],
из уравнений (30.59), (30.62) определяются [^C]m и [^c] и из
(30.60), (30.62) находим [^D]m и [^d]. В силу соотношения (30.62)
три вектора [^B]m, [^C]m, и [^D]m - единичные и один [^A]m -
мнимоединичный. Установим, что они образуют ортогональный репер и
удовлетворяют уравнению (30.61).
Умножая уравнение (30.58) на [^A]m и используя (30.62), имеем
Аналогично
|
^
c
|
|
^
B
|
m
|
|
^
C
|
m
|
= |
^
B
|
m
|
|
dS
|
=0, |
^
B
|
m
|
|
^
C
|
m
|
=0, |
| (30.66) |
|
^
C
|
m
|
|
dS
|
=0= |
^
d
|
|
^
C
|
m
|
|
^
D
|
m
|
- |
^
c
|
|
^
C
|
m
|
|
^
B
|
m
|
, |
^
C
|
m
|
|
^
D
|
m
|
=0. |
| (30.67) |
Умножая (30.59) на [^A]m, имеем
|
^
A
|
m
|
|
dS
|
= |
^
c
|
|
^
C
|
m
|
|
^
A
|
m
|
- |
^
b
|
. |
|
Дифференцируя (30.65), получаем
|
^
A
|
m
|
|
dS
|
=- |
^
B
|
m
|
|
dS
|
=- |
^
b
|
. |
|
Откуда
Остальные соотношения доказываются аналогично.
Чтобы доказать справедливость формулы (30.61), замечаем, что любой вектор
может быть разложен по реперу [^A]m, [^B]m, [^C]m, [^D]m и
поэтому можно записать
|
dS
|
=a |
^
A
|
m
|
+b |
^
B
|
m
|
+ g |
^
C
|
m
|
+ d |
^
D
|
m
|
. |
| (30.69) |
Умножая это уравнение поочередно на [^A]m, [^B]m, [^C]m, [^D]m
и используя уже доказанные условия ортогональности и уравнения (30.58) -
(30.60), получаем
что удовлетворяет (30.61).
Рассмотрим кривую G, заданную уравнением ym=ym(S) и векторное
поле [^V]m, определенное на G.
Если вектор [^V]m переносится параллельно вдоль G, то его абсолютная
производная обращается в нуль.
При этом ни длина вектора, ни его скалярное произведение не меняется. Кривая
носит название геодезической, если всякий вектор касательный к этой кривой
в какой-либо точке M остается к ней касательным при параллельном
перенесении вдоль нее. В частности, если [^A]m=dym/d S претерпевает
параллельный перенос вдоль G и кривая неизотропная, то из равенства
d[^A]m/dS=0 следует уравнение геодезической
|
d2 ym
d S2
|
+Gmne |
dyn
dS
|
|
dye
dS
|
=0. |
| (30.71) |
Помимо параллельного переноса рассмотрим необходимый нам в дальнейшем
перенос Ферми-Уолкера. Определим перенос Ферми-Уолкера вектора [^F]m
с помощью уравнения
|
dS
|
= |
^
b
|
|
^
F
|
e
|
( |
^
A
|
m
|
|
^
B
|
e
|
- |
^
A
|
e
|
|
^
B
|
m
|
), |
| (30.72) |
где [^b], [^A]m, [^B]e входят в формулы Френе-Серре, рассмотренные
выше.
Важное свойство переноса Ферми-Уолкера состоит в том, что в силу формул
Френе-Серре, единичный касательный вектор к какой-либо кривой (негеодезической)
автоматически претерпевает перенос Ферми-Уолкера. Этот перенос имеет сходство
с параллельным переносом в смысле сохранения нормы вектора и скалярного
произведения. Действительно
|
d
d S
|
( |
^
F
|
m
|
|
^
F
|
m
|
)=2 |
^
b
|
|
^
F
|
m
|
|
^
F
|
e
|
( |
^
A
|
m
|
|
^
B
|
e
|
- |
^
A
|
e
|
|
^
B
|
m
|
)=0, |
|
|
d
d S
|
( |
^
F
|
m
|
|
^
K
|
m
|
)= |
^
b
|
( |
^
F
|
m
|
|
^
K
|
e
|
+ |
^
K
|
m
|
|
^
F
|
e
|
)( |
^
A
|
m
|
|
^
B
|
e
|
- |
^
A
|
e
|
|
^
B
|
m
|
)=0. |
| (30.73) |
Поскольку параллельный перенос определяется более простым уравнением,
он в математическом отношении более фундаментален, чем перенос Ферми-Уолкера,
однако последний оказывается более важным в некоторых физических ситуациях.
Например, если мы возьмем тетраду на G так, что [^h]m(4) останется
касательным к G, то при переносе Ферми-Уолкера сохраняется не только
[^h]m(4) вдоль G, но сохраняется также ортонормированный 3-репер,
ортогональный G. Это приводит к образованию пространственной системы
отсчета для наблюдателя, движущегося в пространстве-времени вдоль G.
Рассмотрим тетраду [^h]m(a), подвергающуюся переносу Ферми-Уолкера
вдоль G так, что
Откуда следует с учетом (30.72), что
|
dS
|
=i |
^
b
|
( |
^
h
|
m
|
(4) |
^
B
|
(a)-d(a4) |
^
B
|
m
|
). |
| (30.75) |
В частности
|
dS
|
=i |
^
b
|
|
^
h
|
m
|
(4) |
^
B
|
(k). |
| (30.77) |
Если перенос Ферми-Уолкера применить к вектору [^F]m, ортогональному
в некоторой точке на G к касательному вектору Am, то эта
ортогональность сохранится и в дальнейшем. Тогда уравнение (30.72)
примет вид
|
dS
|
= |
^
b
|
|
^
F
|
e
|
|
^
A
|
m
|
|
^
B
|
e
|
. |
| (30.78) |
Это правило переноса впервые было сформулировано Ферми, поэтому соотношение
(30.78) носит название переноса Ферми.
Рассмотрим нужные в дальнейшем некоторые свойства пространства с абсолютным
параллелизмом.
Таким пространством будем называть пространство, в котором результат
параллельного переноса произвольного вектора [^(x)]m из точки P в точку Q
при любом выборе этих точек не зависит от пути перенесения РQ. Подобным
свойством обладает, например, евклидово пространство. Выясним, существуют
ли другие пространства с абсолютным параллелизмом и какие именно.
Рассмотрим риманово пространство, в каждой точке которого в касательном
(локальном) плоском пространстве располагаются аффинный и ортонормированный
реперы [[^h]\vec]m и [h\vec](a) соответственно. Объявим по определению,
что во всех точках риманова пространства соответствующие тетрадные векторы
[h\vec](a) являются параллельными. Рассмотрим некоторый вектор
[(x)\vec]=x(a)[h\vec](a).
Так как тетрадное поле [h\vec](a) задано и объявлено параллельным, то
естественно считать, что при параллельном переносе вектора [(x)\vec] его
компоненты x(a) в разных тетрадах одинаковы, т.е.
dp |
^
x
|
m
|
=- |
-
G
|
m sl
|
|
^
x
|
l
|
d ys, |
| (30.80) |
где связность [`(G)]msl неизвестна. Найдем эту связность
dp x(a)=dp( |
^
x
|
m
|
|
^
h
|
m
|
(a))=0, |
|
|
ж и
|
|
-
G
|
m sl
|
|
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
n
|
(a)- |
^
h
|
n
|
(a) |
¶ys
|
|
ц ш
|
|
^
x
|
l
|
d ys=0. |
|
Откуда, в силу произвольности [^(x)]l и d ys, имеем
|
-
G
|
m sl
|
= |
^
h
|
m
|
(a) |
¶ys
|
. |
| (30.81) |
Если выражение (30.81) подставить в риманов тензор кривизны,
который выражается обычным образом в виде
Rstl.m= |
¶Gmsl
¶yt
|
- |
¶Gmtl
¶ys
|
+GmteGesl-GmseGetl |
| (30.82) |
и заменить в этом тензоре Gmsl® [`(G)]msl, то
Таким образом, связность (30.81) является связностью пространства с
абсолютным параллелизмом, так как результат параллельного переноса вектора
[^(x)]m в силу (30.83) не зависит от пути переноса. Из соотношения
(30.81) следует, что [`(G)]msl не является симметричной по нижним
индексам. Поэтому можно построить тензор кручения, определяемый как
Csm.l=G[sm]l= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶ys
|
- |
¶ym
|
|
ц ш
|
|
^
h
|
l
|
(a). |
| (30.84) |
Используя (30.41), находим взаимосвязь между тензором кручения и
объектом неголономности
Csm.l= |
^
h
|
l
|
(a) |
^
C
|
sm
|
(a). |
| (30.85) |
Таким образом, из равенства нулю тензора кривизны можно получить два
решения: 1) плоское пространство, 2) выражение для связности в пространстве
с абсолютным параллелизмом. Если потребовать равенства нулю тензора кручения,
то пространство окажется плоским.
Исследуем метрику пространства, задаваемую в согласии с (30.42) выражением
|
^
g
|
mn
|
= |
^
h
|
m
|
(a) |
^
h
|
n
|
(a). |
|
Подставляя это выражение в (30.46) и (30.82), получим, что тензор кривизны
будет отличен от нуля, так как исходное пространство риманово. Рассматривая
(30.43) и (30.83), замечаем, что полная риманова связность складывается
из коэффициентов вращения Риччи и связности пространства с абсолютным
параллелизмом, т.е.
Gsl.m= |
^
D
|
m s,l.
|
+ |
-
G
|
m sl.
|
. |
| (30.86) |
Поэтому наличие кривизны риманова пространства связано с отличием от нуля
коэффициентов Риччи.
Ясно, что связность абсолютного параллелизма можно ввести и в пространстве
Минковского. В частности, в галилеевых координатах достаточно положить
Gslm=0. Тот факт, что в этом случае коэффициенты Риччи и
коэффициенты связности абсолютного параллелизма отличаются знаком, обусловлен
тем, что при выводе последних мы объявили "параллельными" тетрадные векторы
[h\vec](a), в то время как при выводе (30.12) параллельными векторами
в буквальном смысле этого слова являются векторы [h\vec]m.
31. Движение сплошной среды и тензоры деформаций
Движение сплошной среды будем описывать сначала в пространстве Минковского,
интервал в котором дается выражением (30.1). Выбор галилеевых координат для
описания движения, вообще говоря, не является обязательным и при желании
можно перейти к любой криволинейной системе координат, но так как галилеевы
координаты имеют метрический смысл, то мы отдаем им предпочтение.
Каждой точке среды в пространстве Минковского соответствует своя мировая
линия. Следовательно, для всей среды мы будем иметь конгруенцию мировых
линий, характер которой зависит и от движения среды как целого, так и от
деформаций, возникающих в среде. Если среда обладает тем свойством, что под
действием приложенных сил меняет свою форму - деформируется и полностью
восстанавливает свою форму после устранения причины, вызывающей деформацию,
то такую среду будем называть упругой. (Математическое определение упругой
среды дадим ниже).
Прежде, чем переходить к релятивистскому описанию движения сплошной среды,
остановимся на классическом рассмотрении. Для описания движения сплошной
среды существуют два метода - метод Лагранжа и метод Эйлера. Движение
материальной точки в классической механике сплошной среды описывается
при помощи уравнений
где xi - текущие координаты, t - время. Рассматривая частицу сплошной
среды как материальную точку, приведенные уравнения опишут ее движение. Так
как сплошную среду, непрерывным образом заполняющую пространство, можно
представить состоящей из бесконечного множества точек, то для описания движения
этих точек при помощи уравнений (31.1) необходимо ввести в них параметры ak,
характеризующие конкретную точку среды. Тогда уравнения движения точек можно
записать в виде
В частности, параметры ak, образующие трехмерный вектор, можно выбрать
так, чтобы они определяли начальные координаты точек среды. Метод описания
(31.2) носит название метода Лагранжа, а переменные ak называются
переменными Лагранжа.
Однако к вопросу о движении среды можно подойти и иначе. А именно, за объект
изучения можно выбрать неподвижное пространство, заполненное движущейся
средой, и изучать изменение различных элементов движения в фиксированной
точке пространства, изучая изменение этих элементов как с течением времени,
так и при переходе к другим точкам пространства. Тогда величины,
характеризующие движение, рассматриваются как функции координат точки xk и
времени t. Этот метод был развит Эйлером, поэтому четыре аргумента
xk и t носят название переменных Эйлера.
Разрешив уравнения (31.2) относительно ak, получим
Если ak характеризует начальное положение точки среды, то уравнения
(31.3) указывают начальное положение той точки среды, которая
находится в момент времени t в точке пространства xk.
При релятивистском рассмотрении уравнения (31.2) заменяются уравнениями
где xk - лагранжевы координаты, определяющие начальные положения точек
среды, постоянные вдоль каждой из мировых линий, x4 - любой удобный
времениподобный параметр, изменяющийся вдоль мировых линий.
Наш подход к кинематике базируется на использовании лагранжевых
сопутствующих систем отсчета [44],
[5].
Действительно, наиболее естественным способом построения релятивистской
кинематики является рассмотрение движения среды с точки зрения семейства
пространственно подобных гиперповерхностей, ортогональных мировым линиям.
Эти мировые линии и гиперповерхности образуют инвариантную структуру, не
зависящую от выбора системы координат. Рассмотрение движения среды с позиции
таких гиперповерхностей сводят задачи динамики к задачам статики, так как
на гиперповерхностях среда всегда покоится. В разделе 30 был дан тетрадный
формализм, который справедлив для произвольного тетрадного поля [^h]m(a).
Однако особый интерес для нас будут представлять тетрады, связанные с мировыми
линиями. Пусть hm(4) единичный вектор, направленный по касательной к
мировой в некоторой точке. Так как движение сплошной среды описывается при
помощи конгруенции мировых линий, то возникает поле единичных касательных
векторов. Поле этих векторов, как очевидно, совпадает по направлению с полем
4-скорости Vm. Поэтому имеет место равенство
Как известно из [20], в случае движения среды без вращений, мировые
линии образуют нормальную конгруенцию, т.е.
существует семейство трехмерных гиперповерхностей, по отношению к которым
мировые линии ортогональны.
Согласно методу Лагранжа, введем четыре параметра ya, первые три из
которых yk постоянны вдоль каждой мировой линии, а четвертый y4 -
переменный (временной).
В качестве временного параметра y4 выберем параметр, нумерующий
ортогональные мировым мировым линиям гиперповерхности. При наличии вращений
среды такой параметр будет неголономным, а при отсутствии - голономным.
Уравнения конгруенций мировых линий для голономных лагранжевых координат
принимают вид
Вектор 4-скорости Vm в переменных Лагранжа определяется как
где скалярный множитель q выбирается здесь таким образом, что
Vm Vm=q2 |
¶xm
¶y4
|
|
¶xm
¶y4
|
=-1. |
| (31.8) |
(Обратим внимание, что в силу выбранной в (30.1) метрики, 4-скорость
нормируется в этом разделе на минус единицу, а не на единицу, как в (1.2)).
Так как три лагранжевых параметра yk характеризуют положения мировых
линий частиц среды на гиперповерхностях, а y4 отсчитывается вдоль каждой
мировой линии, то ya, очевидно, являются скалярными функциями
относительно глобальных преобразований Лоренца.
Совокупность лагранжевых параметров yk образует на любой фиксированной
гиперповерхности y4=const деформируемую криволинейную координатную сетку,
которая называется сопутствующей системой координат. Она, очевидно, будет
изменяться в зависимости от y4.
Как в классической механике сплошной среды [44], так и при релятивистском
рассмотрении [5], [46], выбор такой системы координат при фиксированном
y4 в нашей власти, но в следующий момент (y4+dy4) она уже не
подвластна нам, так как она "вморожена" в среду и деформируется вместе
с ней. Такую вмороженную в среду систему координат по аналогии с классической
механикой сплошной среды [44] определим как сопутствующую систему.
Координаты точек сплошной среды yk на любой произвольной, но фиксированной
гиперповерхности y4=const не изменяются, в то время как метрический
тензор [^g]kl на этих гиперповерхностях, отнесенный к системе
координат yk, вообще говоря, зависит от y4.
Кроме голономных координат yk на всякой фиксированной гиперповерхности
y4=const возникают неголономные координаты x(k). Действительно, так
как hm(4) касательный вектор к мировой линии, то триада hm(k)
лежит в ортогональной к ней гиперповерхности. Поэтому система тетрад (31.5)
является сопутствующей системой отсчета. Это можно доказать и математически,
переходя от галилеева представления к тетрадному.
V(a)=hm(a)Vm=id(a4), V(k)=0, V(4)=i, |
| (31.9) |
что и доказывает утверждение.
При изменении параметра y4 триады hm(k), связанные с мировыми линиями
частиц среды, в общем случае изменяются. Простейшим переносом,
удовлетворяющим (31.5), т.е. оставляющим hm(4) всегда касательным
к мировой линии, является перенос Ферми-Уолкера (30.75), который
в пространстве Минковского задается уравнениями
|
dhm(a)
dS
|
= |
d hm(a)
d S
|
=ibhe(a)(hm(4)Be-he(4)Bm), |
| (31.10) |
где b, Be входят в уравнения Френе-Серре (30.58-30.62), записанные
в пространстве Минковского.
Так как триады переносятся по Ферми, то как известно из [20], их поле
является той системой отсчета, которая позволяет обеспечить правильное
релятивистское обобщение ньютоновского понятия "невращающейся системы
отсчета". При поступательном движении элемент среды не поворачивается
относительно осей переносимых по Ферми вдоль мировых линий.
Всякому вектору dyk, соединяющему на некоторой гиперповерхности
y4=const две соседние мировые линии, ставится в соответствие вектор
dx(k)=hm(k)dxm, соединяющий эти же мировые линии. Координаты
x(a) в отличие от ya, xa являются неголономными. Этими
координатами можно пользоваться только локально (в бесконечно малой
окрестности каждой точки). В отличие от произвольных криволинейных координат
ya, неголономные координаты сохраняют обычный метрический смысл, в то
время как произвольные криволинейные координаты ya его теряют. Поэтому
все результаты, полученные в произвольных координатах, прежде чем сравнивать
с опытом, необходимо выразить в локальной (связанной с наблюдателем)
ортогональной системе координат. Так как локальные ортогональные преобразования
столь важны, то естественно возникает вопрос, нельзя ли их сделать
голономными?
Условия ортогональности
и условия голономности
вытекающие из равенства нулю объекта неголономности (30.10),
дают систему десяти дифференциальных уравнений
|
¶x(a)
¶xm
|
|
¶x(b)
¶xm
|
=d(ab), |
|
которым должны удовлетворять четыре функции x(a)=fa(xm). Ясно, что
это в общем случае невозможно.
Перейдем к рассмотрению деформаций, которые возникают при движении среды
под действием сил.
Наш "релятивистский" подход по форме и содержанию почти полностью эквивалентен
классическому подходу, развиваемому в широко известной монографии Л.И. Седова
[44]. Отличие нашего подхода от классического состоит в замене начального
и актуального состояния среды на начальные и актуальные гиперповерхности,
ортогональные мировым линиям частиц среды. Таким образом, "релятивизм"
проявляется в замене ньютоновского времени t на параметр y4/ic,
нумерующий
ортогональные мировым линиям гиперповерхности.
Рассмотрим произвольные перемещения среды.
Пусть {O, xm} координаты событий различных точек континуума. Отметим
четыре основные системы координат, которыми будем пользоваться.
1. Система {O, x1, x2, x3, x4} с векторным базисом hm (30.2),
(30.38), gmn=dmn, x4=ict, -dS2=dmndxmdxn выбирается как система отсчета, в которой определяется
перемещение или движение. (Назовем ее системой наблюдателя).
2. Лагранжева система {M, yk, [y\dot]4} с векторами базиса
отвечающая положениям точек среды на некоторой начальной гиперповерхности
[y\dot]4=const. В этой системе образы подвижных точек фиксированы.
4-радиус-вектор [r\vec]0 соединяет начало координат СО с начальными
координатами точек движущейся среды.
3. Лагранжева сопутствующая система {M, ya с векторами базиса
отвечающая измененным положениям точек среды на рассматриваемой
(актуальной) гиперповерхности y4.
4. Эйлерова сопутствующая система, представляющая собой систему тетрад
hm(a), переносимых по Ферми-Уолкеру.
Как известно из классической механики сплошной среды [44], при изучении
конечных перемещений необходимо пользоваться самым общим видом криволинейных
координат. Однако для простоты базисы системы 1 [h\vec]m и системы 4
[h\vec](a) можно фиксировать по выбору, в то время как базисы лагранжевых
систем 2 [[h\dot]\vec]k и 3 [[^h]\vec]k не могут выбираться произвольно,
так как они связаны друг с другом через свойства перемещения.
Рассмотрим две бесконечно близкие мировые линии движущегося континуума
на некоторой произвольной, но фиксированной гиперповерхности y4=const:
M(y1, y2, y3, y4) и Mў(y1+dy1, y2+dy2, y3+dy3, y4).
Пусть на начальной гиперповерхности [y\dot]4=const положение точки
Mў по отношению к точке M определено бесконечно малым вектором
d[r\vec]0, а на гиперповерхности y4 (в силу непрерывности)
бесконечно малым вектором d[r\vec].
Из определения базисов (31.11) и (31.12) имеем
d |
®
r
|
0
|
= |
¶yk
|
dyk= |
®
|
k
|
dyk,
d |
®
r
|
= |
¶yk
|
dyk= |
®
|
k
|
dyk. |
| (31.13) |
Для начального и деформированного состояния получаем
dl02=(d |
®
r
|
0
|
·d |
®
r
|
0
|
)=( |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
)dykdyl = |
Ч
g
|
kl
|
dykdyl, |
|
|
Ч
g
|
kl
|
=( |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
)= |
¶yk
|
|
¶yl
|
, |
Ч
x
|
m
|
= |
Ч
x
|
m
|
(yk, |
Ч
y
|
4
|
) |
| (31.14) |
dl2=(d |
®
r
|
·d |
®
r
|
)=( |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
)dykdyl = |
^
g
|
kl
|
dykdyl, |
|
|
^
g
|
kl
|
=( |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
)= |
¶xm
¶yk
|
|
¶xm
¶yl
|
, xm=xm(yk,y4) |
| (31.15) |
Деформацию удобно определить следующим образом
dl2-dl02=( |
^
g
|
kl
|
- |
Ч
g
|
kl
|
)dykdyl=2ukldykdyl, |
| (31.16) |
где
ukl= |
1
2
|
( |
^
g
|
kl
|
- |
Ч
g
|
kl
|
). |
| (31.17) |
Здесь [^g]kl - метрический тензор на гиперповерхности y4=const,
[g\dot]kl - метрический тензор на начальной гиперповерхности
[y\dot]4=const. ukl можно рассматривать как ковариантные компоненты
тензора относительно лагранжевых переменных yk на фиксированных актуальной
или начальной гиперповерхностях. Коэффициенты матрицы ukl являются
скалярными функциями относительно преобразований Лоренца.
Так как закон движения (31.6) известен, а лагранжевы параметры ya -
голономны, то разрешив систему (31.6) относительно ya, получим
Воспользовавшись (31.6) и (31.18), представим тензоры деформаций (31.17),
отнесенными к лагранжевой сопутствующей системе координат и к начальной
гиперповерхности соответственно
|
^
u
|
kl
|
= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶xm
¶yk
|
|
¶xm
¶yl
|
- |
Ч
g
|
kl
|
|
ц ш
|
, |
| (31.19) |
|
Ч
u
|
kl
|
= |
1
2
|
|
ж и
|
|
^
g
|
kl
|
- |
¶yk
|
|
¶yl
|
|
ц ш
|
. |
| (31.20) |
Переходя от лагранжевой сопутствующей системы к системе наблюдателя,
получим после несложных вычислений
Umn= |
^
u
|
kl
|
hkm hln = |
1
2
|
|
ж и
|
g*mn- |
Ч
g
|
kl
|
|
¶yk
¶xm
|
|
¶yl
¶xn
|
|
ц ш
|
, |
| (31.21) |
Тензор относительно глобальных преобразований Лоренца g*mn
совпадает с оператором проектирования или проекционным, введенным нами
ранее в (10.67). Однако в силу выбранной нами в этом разделе нормировки
4-скорости и введенной метрики, в форме записи имеются
непринципиальные различия.
Рассмотрим более подробно свойства этого оператора.
g*mnVn є 0, g*a1a2g*a2a3...g*an-1an=g*a1an. |
| (31.23) |
В последнем соотношении по индексам a2,...an-1 произведено
суммирование.
Оператор проектирования проектирует любой 4-вектор Fm
на гиперповерхность, ортогональную мировым линиям.
Действительно
g*meFm=Pe=Fe+VeVm Fm, PeVe=FeVe-Vm Fm = 0. |
| (31.24) |
От системы наблюдателя можно перейти к сопутствующим тетрадам, т.е.
к сопутствующей системе Эйлера
Из свойств проекционного оператора и постоянства лагранжевых координат
yk вдоль каждой из мировых линий частиц среды, т.е. из равенства
следует, что тензор Umn ортогонален 4-скорости Vn.
Отсюда в силу симметрии Umn имеет лишь шесть независимых
компонент.
Так же шесть независимых компонент имеет тензор в локальных тетрадах
U(ab), поскольку ihm(4)=Vm.
U(4k)=U(44)=0, U(ab) = |
1
2
|
|
ж и
|
d(ab) - |
Ч
g
|
kl
|
|
¶yk
¶x(a)
|
|
¶yl
¶x(b)
|
|
ц ш
|
. |
| (31.26) |
Тензор U(ab) в локальных тетрадах является аналогом тензора Альманси
для конечных деформаций в нерелятивистском приближении [129].
Шесть независимых компонент U(ab) представляют собой скалярные функции
относительно преобразований Лоренца. Тензор Альманси
Umn относительно лоренцевых
преобразований, отнесенный к пространству Минковского, является
релятивистским обобщением его классического выражения. Он содержит
десять отличных от нуля компонент, из которых шесть независимых.
Наряду с тензором Альманси, введем в рассмотрение тензор Коши, который
в локальных тетрадах имеет вид
С(ab) = (d(ab)-2U(ab)) = |
Ч
g
|
kl
|
|
¶yk
¶x(a)
|
|
¶yl
¶x(b)
|
. |
| (31.27) |
Переходя к пространству Минковского, получим
Сmn=hm(a)hn(b)С(ab) = |
Ч
g
|
kl
|
|
¶yk
¶xm
|
|
¶yl
¶xn
|
=g*mn-2Umn. |
| (31.28) |
Тензор Коши в лагранжевой сопутствующей системе координат можно получить
из (31.28), используя параметры Ламе (30.39)
|
^
C
|
mn
|
=hmnhnmСmn = |
Ч
g
|
mn
|
= |
¶xm
¶yn
|
|
¶xm
¶ym
|
-2 |
^
u
|
mn
|
. |
| (31.29) |
Из ортогональности тензора Коши (31.28) 4-скорости Vm следует, что
он так же имеет шесть независимых компонент.
Аналогичным образом, используя (31.20), получим выражения для различных
тензоров деформаций, заданных на некоторой начальной гиперповерхности
[y\dot]4=const.
А именно, если от лагранжевой начальной сопутствующей системы перейдем к
начальной системе наблюдателя, то получим
|
Ч
U
|
mn
|
= |
Ч
u
|
kl
|
|
Ч
h
|
k m
|
|
Ч
h
|
l n
|
= - |
1
2
|
|
ж и
|
|
Ч
g
|
* mn
|
- |
^
g
|
kl
|
|
¶yk
|
|
¶yl
|
|
ц ш
|
, |
| (31.30) |
где [g\dot]*mn=dmn+[V\dot]m [V\dot]n - проекционный
оператор на начальной гиперповерхности.
От начальной системы наблюдателя перейдем к начальным сопутствующим тетрадам
, т.е. к начальной сопутствующей системе Эйлера.
|
Ч
U
|
(ab)= |
Ч
U
|
mn
|
|
Ч
h
|
m
|
(a) |
Ч
h
|
n
|
(b) |
| (31.31) |
|
Ч
U
|
(4k)= |
Ч
U
|
(44)=0, U(ab) = - |
1
2
|
|
ж и
|
d(ab) - |
^
g
|
kl
|
|
¶yk
|
|
¶yl
|
|
ц ш
|
. |
| (31.32) |
Наряду с тензором [U\dot](ab) введем в рассмотрение тензор Коши
[C\dot](ab), определяемый как
|
Ч
С
|
(ab) = (d(ab)+2 |
Ч
U
|
(ab)) = |
^
g
|
kl
|
|
¶yk
|
|
¶yl
|
. |
| (31.33) |
Переходя к пространству Минковского, получим
|
Ч
С
|
mn
|
= |
Ч
h
|
m
|
(a) |
Ч
h
|
n
|
(b) |
Ч
С
|
(ab) = |
^
g
|
kl
|
|
¶yk
|
|
¶yl
|
. |
| (31.34) |
Тензор Коши в начальной лагранжевой сопутствующей системе координат
имеет вид
|
Ч
C
|
mn
|
= |
Ч
h
|
mn
|
|
Ч
h
|
nm
|
|
Ч
С
|
mn
|
= |
^
g
|
mn
|
=2 |
Ч
u
|
mn
|
+ |
Ч
g
|
mn
|
. |
| (31.35) |
Тензоры, которые обратны тензорам Коши, носят название тензоров
деформаций Фингера [129].
Тензоры Фингера в локальных тетрадах на начальной и актуальной
гиперповерхностях определяются из условий
C(ab)B(bn)=d(an), |
Ч
C
|
(ab) |
Ч
B
|
(bn)=d(an). |
| (31.36) |
В частности, тензор Фингера на актуальной гиперповерхности
имеет вид
B(ab)= |
Ч
g
|
kl
|
|
¶x(a)
¶yk
|
|
¶x(b)
¶yl
|
|
| (31.37) |
Bmn=hm(a)hn(b)B(ab)= |
Ч
g
|
kl
|
|
¶xm
¶yk
|
|
¶xn
¶yl
|
. |
| (31.38) |
Рассмотрим выражения для тензоров деформаций через компоненты 4-вектора
перемещений. Если метрики начального и актуального состояния евклидовы,
то можно ввести
4-вектор перемещения [u\vec], определяемый как
где [r\vec]0 и [r\vec] - четырехмерные радиусы векторы в пространстве
Минковского на начальной [y\dot]4 и актуальной y4 гиперповерхностях
соответственно.
("Естественное" требование евклидовости начальных и актуальных метрик
на наш взгляд является очень спорным. Если до включения силового поля
среда покоилась в пространстве Минковского, то после включения силового
поля (с нашей точки зрения) пространство-время перестало быть плоским.
В плоском пространстве Минковского, как мы неоднократно подчеркивали,
в принципе невозможно твердотельное движение в однородных силовых полях.
Однако в этой главе мы работаем в рамках СТО, оставляя модернизацию
релятивистской теории упругости до лучших времен.)
Дифференцируя (31.39) по yk, используя (31.11), (31.12), получим
Раскладывая вектор [u\vec] по базису [[^h]\vec]m, имеем
|
¶yk
|
= |
®
|
m
|
|
¶yk
|
+ |
^
u
|
m
|
|
¶yk
|
= |
|
= |
ж и
|
|
¶yk
|
+ |
^
u
|
m
|
|
^
G
|
s km
|
|
ц ш
|
|
®
|
s
|
= |
^
С
|
k
|
|
^
u
|
s
|
|
®
|
s
|
. |
| (31.41) |
При выводе последней формулы использовали (30.45).
[^(С)]k[^u]s - ковариантная производная по метрике [^g]mn.
Из (31.40), (31.41) и (31.17) имеем
ukl= |
1
2
|
( |
^
g
|
kl
|
- |
Ч
g
|
kl
|
) = |
1
2
|
( |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
- |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
) = |
|
= |
1
2
|
[ |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
-( |
®
|
k
|
- |
^
С
|
k
|
|
^
u
|
s
|
|
®
|
s
|
)·( |
®
|
l
|
- |
^
С
|
l
|
|
^
u
|
e
|
|
®
|
e
|
)] = |
|
= |
1
2
|
[ |
^
С
|
k
|
|
^
u
|
l
|
+ |
^
С
|
l
|
|
^
u
|
k
|
- |
^
С
|
k
|
|
^
u
|
e
|
|
^
С
|
l
|
|
^
u
|
e
|
]. |
| (31.42) |
Раскладывая вектор [u\vec] по базису [[h\dot]\vec]m, получим
аналогичное (31.42) выражение
ukl= |
1
2
|
[ |
Ч
С
|
k
|
|
Ч
u
|
l
|
+ |
Ч
С
|
l
|
|
Ч
u
|
k
|
+ |
Ч
С
|
k
|
|
Ч
u
|
e
|
|
Ч
С
|
l
|
|
Ч
u
|
e
|
]. |
| (31.43) |
Представляет интерес рассмотреть выражение для тензора деформаций ukl,
отнесенного к пространству Минковского.
Umn=hkm hln ukl= |
1
2
|
|
¶yk
¶xm
|
|
¶yl
¶xn
|
|
ж и
|
|
¶yk
|
|
®
|
l
|
+ |
¶yl
|
|
®
|
k
|
- |
¶yk
|
|
¶yl
|
|
ц ш
|
. |
| (31.44) |
Для дальнейшего вычисления воспользуемся предварительными соотношениями
|
¶yk
¶xm
|
|
¶yl
¶xn
|
|
¶yk
|
|
®
|
l
|
= |
¶yk
¶xm
|
|
¶yl
¶xn
|
|
¶xe
¶yl
|
|
¶ue
¶yk
|
= |
|
= |
ж и
|
|
¶ue
¶xm
|
- |
¶ue
¶y4
|
|
¶y4
¶xm
|
|
ц ш
|
|
ж и
|
dem- |
¶xe
¶y4
|
|
¶y4
¶xn
|
|
ц ш
|
. |
| (31.45) |
Рассмотрим равенство
умножая обе части которого на Ve, имеем
Так как Ve ортогонален гиперповерхности y4, а ¶xe/¶yk
касателен к ней, то имеет место условие ортогональности
Откуда (31.46) примет вид
Из (31.7) и (31.8) имеем
Так как в качестве начального состояния выбрана недеформированная среда,
отображаемая точками некоторой начальной гиперповерхности [y\dot]4=const,
то
ue=xe(yk,y4)- |
Ч
x
|
e
|
(yk, |
Ч
y
|
4
|
), |
| (31.49) |
|
¶yk
|
|
¶yl
|
|
¶yk
¶xm
|
|
¶yl
¶xn
|
= |
ж и
|
|
¶ue
¶xm
|
+VeVm |
ц ш
|
|
ж и
|
|
¶ue
¶xn
|
+VeVn |
ц ш
|
|
| (31.51) |
В результате находим
Umn= |
1
2
|
|
й л
|
|
¶ue
¶xm
|
g*en+ |
¶ue
¶xn
|
g*em- |
ж и
|
|
¶ue
¶xm
|
+VeVm |
ц ш
|
|
ж и
|
|
¶ue
¶xn
|
+VeVn |
ц ш
|
|
щ ы
|
. |
| (31.52) |
Переход к сопутствующим тетрадам дает
U(ab)=hm(a)hn(b)Umn, U(a4)=U(44)=0, |
|
U(ab)= |
1
2
|
|
й л
|
|
*D u(a)
¶x(b)
|
+ |
*D u(b)
¶x(a)
|
- |
*D u(e)
¶x(b)
|
|
*D u(e)
¶x(b)
|
|
щ ы
|
, |
| (31.53) |
где *Du(b) - абсолютный дифференциал (30.14), *D/¶x(a) - производная
по направлению (30.17).
Тензор U(ab) есть тензор Альманси в локальных тетрадах, выраженный в
компонентах вектора перемещения. Шесть независимых компонент этого тензора
есть скалярные функции относительно преобразований Лоренца.
Из ортогональности тензора Альманси 4-скорости следует, что
Ua4=i |
vb
c
|
Uab, U44=- |
va vb
c2
|
Uab, |
| (31.54) |
где для Vm используется обычная форма записи
Переход к нерелятивистскому пределу Va® 0, V4® i дает
Uab= |
1
2
|
|
й л
|
|
¶ua
¶xb
|
+ |
¶ub
¶xa
|
- |
¶uk
¶xa
|
|
¶uk
¶xb
|
|
щ ы
|
, Ua4=U44=0. |
| (31.55) |
Здесь Uab - классический тензор деформаций Альманси, выраженный
через производные от вектора деформаций ua.
Аналогичным способом, как и выше, от тензора ukl можно перейти к
начальной системе наблюдателя, что дает
|
Ч
U
|
mn
|
= |
1
2
|
|
й л
|
|
¶ue
|
|
Ч
g
|
* en
|
+ |
¶ue
|
|
Ч
g
|
* em
|
+ |
ж и
|
|
¶ue
|
+ |
Ч
V
|
e
|
|
Ч
V
|
m
|
|
ц ш
|
|
ж и
|
|
¶ue
|
+ |
Ч
V
|
e
|
|
Ч
V
|
n
|
|
ц ш
|
|
щ ы
|
. |
| (31.56) |
От начальной системы наблюдателя перейдем к начальным сопутствующим
тетрадам
|
Ч
U
|
(ab)= |
Ч
h
|
m
|
(a) |
Ч
h
|
n
|
(b) |
Ч
U
|
mn
|
, |
Ч
U
|
(a4) = |
Ч
U
|
(44)=0, |
|
|
Ч
U
|
(ab)= |
1
2
|
|
й л
|
|
*D u(a)
|
+ |
*D u(b)
|
+ |
*D u(e)
|
|
*D u(e)
|
|
щ ы
|
, |
| (31.57) |
а затем к нерелятивистскому пределу
|
Ч
U
|
ab
|
= |
1
2
|
|
й л
|
|
¶ua
|
+ |
¶ub
|
+ |
¶uk
|
|
¶uk
|
|
щ ы
|
, |
Ч
U
|
a4
|
= |
Ч
U
|
44
|
=0. |
| (31.58) |
32. Геометрический смысл тензоров деформаций
Выясним геометрический смысл компонент тензора деформаций. Наше рассмотрение
среды на гиперповерхностях, которые ортогональны мировым линиям частиц,
подобно классическому рассмотрению в мгновенных состояниях. Тензоры деформаций
в этом случае совпадают по форме с аналогичными тензорами классической
механики сплошной среды. Поэтому для выяснения геометрического и механического
смысла тензоров деформаций будем следовать методам Л.И. Седова [44]
и В. Прагера [129].
Рассмотрим компоненты ukl из (31.17)
|
^
g
|
kl
|
= |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
=| |
®
|
k
|
|| |
®
|
l
|
|cos |
^
y
|
kl
|
,
|
Ч
g
|
kl
|
= |
®
|
k
|
· |
®
|
l
|
= | |
®
|
k
|
|| |
®
|
l
|
|cos |
Ч
y
|
kl
|
, |
| (32.1) |
где [^(y)]kl - углы между векторами [[^h]\vec]k и [[^h]\vec]l,
[(y)\dot]kl - углы между [[h\dot]\vec]k и [[h\dot]\vec]l.
Найдем отношение
где dlk и dl0k - элементы дуг координатных линий yk, а
суммирование по k отсутствует.
Lk - коэффициенты относительных удлинений в направлениях yk,
определяемые соотношениями
Из проделанных выкладок следует, что тензор ukl представим в виде
2ukl=[(1+Lk)(1+Ll)cos |
^
y
|
kl
|
-cos |
Ч
y
|
kl
|
]| |
®
|
k
|
|| |
®
|
l
|
|. |
| (32.4) |
Если индексы у ukl одинаковы, то
2uii=[(1+Li)2-1] |
Ч
g
|
ii
|
. |
| (32.5) |
Если поле 4-скорости [V\dot]m на начальной гиперповерхности [y\dot]4
постоянно, то сопутствующую систему в начальном состоянии можно взять
декартовой, т.е. [g\dot]kl=dkl. (Как будет показано далее,
при неоднородном поле начальных скоростей начальная трехмерная гиперповерхность
будет риманова даже в СТО, и начальные декартовы координаты можно вводить
лишь локально.) Если деформации малы, то, раскладывая (32.6) в ряд, имеем
т.е. ковариантные компоненты тензора деформаций с одинаковыми индексами
в случае бесконечно малых деформаций совпадают с коэффициентами относительных
удлинений вдоль декартовых осей координат на начальной гиперповерхности
[y\dot]4=const.
Рассмотрим ukl при k № l. Ради простоты на начальной гиперповерхности
выберем в данной точке такую систему координат, в которой [[h\dot]\vec]k
взаимно ортогональны, т.е. [(y)\dot]kl=p/2. Полагая
получим из (31.17) и (32.1)
2ukl = | |
®
|
k
|
|| |
®
|
l
|
|sinckl |
| (32.8) |
или
Отсюда видно, что в общем случае углы, бывшие на начальной гиперповерхности
прямыми, после деформации перестают быть прямыми, и ковариантные компоненты
ukl при k № l характеризуют изменение первоначально прямого
координатного угла.
Для выяснения геометрического смысла тензора деформаций Альманси U(ab)
в локальных тетрадах (31.26) воспользуемся соотношением
dx(i)dx(j)- |
Ч
g
|
kl
|
dykdyl=2U(jk)dx(j)dx(k). |
| (32.10) |
Смысл этого соотношения состоит в следующем:
Рассмотрим движение некоторой частицы среды P. Пусть [( ®) || ( PPў)] и
[( ®) || ( PPўў)] два исходящих из точки вектора, указывающих на соседние
частицы. Пусть на некоторой актуальной гиперповерхности y4=const
векторы [( ®) || ( PPў)] и [( ®) || ( PPўў)] имеют компоненты dx(i) и dx(i)
соответственно. На начальной гиперповерхности [y\dot]4=const их компоненты
задаются в виде dyi и dyi. Если окрестность рассматриваемой
частицы не претерпевает деформации, то треугольник PPўPўў имеет на
актуальной гиперповерхности ту же самую форму, что и на начальной. Тогда левая
часть равенства (32.10) обращается в нуль при любом выборе частиц Pў и
Pўў в окрестности частицы P. Таким образом, при отсутствии деформаций
симметричный тензор U(jk) обращается в нуль.
Обозначим длины материальных элементов [( ®) || ( PPў)] и [( ®) || ( PPўў)] на актуальной
гиперповерхности через dl и dl соответственно, а на начальной - dl0
и dl0. Введем в актуальном состоянии единичные
векторы n(i) и n(i) вдоль [( ®) || ( PPў)] и
[( ®) || ( PPўў)] соответственно, так чтобы выполнялись равенства.
dx(i)=n(i)dl, dx(i)=n(i)dl. |
| (32.11) |
Из (32.10) и (32.11) после сокращения на dldl имеем
cosq- |
dl0
dl
|
|
dl0
dl
|
cos |
Ч
q
|
=2U(ij)n(i)n(j). |
| (32.12) |
Если, в частности, частица Pўў совпадает с Pў, то последнее соотношение
примет вид
1 - |
ж и
|
|
dl0
dl
|
|
ц ш
|
2
|
=2U(ij)n(i)n(j). |
| (32.13) |
Отношение dl/dl0 назовем коэффициентом длины и обозначим как
где L - коэффициент относительного удлинения. Из (32.13) находим
Линейные элементы, которые на актуальной гиперповерхности совпадают
с тетрадными векторами h(k), имеют следующие коэффициенты длин:
l(1)= |
1
|
, l(2)= |
1
|
l(3)= |
1
|
. |
| (32.15) |
Рассмотрим линейные элементы [( ®) || ( PPў)] и [( ®) || ( PPўў)], которые на
актуальной гиперповерхности ортогональны друг другу.
- |
dl0
dl
|
|
dl0
dl
|
cos |
Ч
q
|
=2U(ij)n(i)n(j). |
| (32.16) |
Введя
как уменьшение угла на начальной гиперповерхности между двумя линейными
элементами [( ®) || ( PPў)] и [( ®) || ( PPўў)], которые на актуальной
гиперповерхности ортогональны друг другу, получим
ø(jk)=arcsin(2l(j)l(k)U(jk)n(j)n(k)). |
| (32.17) |
В частности, если направление линейных элементов на актуальной
гиперповерхности совпадает с направлением тетрадных векторов [h\vec](1),
[h\vec](2), то уменьшение угла определяется равенством
ø(12)=arcsin(2l(1)l(2)U(12)). |
| (32.18) |
При бесконечно малом деформировании из начального состояния имеем
l(n)=1+2U(nn), ø(12)=2U(12). |
| (32.19) |
где суммирование по n отсутствует.
Для выяснения геометрического смысла тензора деформаций [U\dot](ab)
воспользуемся соотношением
|
^
g
|
kl
|
dykdyl-d |
Ч
x
|
(i)d |
Ч
x
|
(j)=2 |
Ч
U
|
(jk)d |
Ч
x
|
(j)d |
Ч
x
|
(k), |
| (32.20) |
где [^g]kldykdyl - скалярное произведение
векторов [( ®) || ( PPў)] и
[( ®) || ( PPўў)] на некоторой актуальной гиперповерхности y4=const,
а d[x\dot](i)d[x\dot](i) скалярное произведение этих векторов
на начальной гиперповерхности [y\dot]4=const в сопутствующей системе
Эйлера.
Обозначим длины материальных элементов [( ®) || ( PPў)] и [( ®) || ( PPўў)] на
начальной
гиперповерхности через d[l\dot] и d[l\dot] соответственно, а
на актуальной - dl
и dl. Введем в начальном состоянии единичные
векторы [n\dot](i) и [(n)\dot](i) вдоль [( ®) || ( PPў)] и
[( ®) || ( PPўў)] соответственно, так чтобы выполнялись равенства.
d |
Ч
x
|
(i)= |
Ч
n
|
(i)d |
Ч
l
|
, d |
Ч
x
|
(i)= |
Ч
n
|
(i)d |
Ч
l
|
,
d |
Ч
l
|
=dl0. |
| (32.21) |
Из (32.20) и (32.21) после сокращения на dl0dl0 имеем
|
dl
dl0
|
|
dl
dl0
|
cosq-cos |
Ч
q
|
=2 |
Ч
U
|
(ij) |
Ч
n
|
(i) |
Ч
n
|
(j). |
| (32.22) |
Если, в частности, частица Pўў совпадает с Pў, то последнее соотношение
примет вид
|
ж и
|
|
dl
dl0
|
|
ц ш
|
2
|
=1+2 |
Ч
U
|
(ij) |
Ч
n
|
(i) |
Ч
n
|
(j). |
| (32.23) |
Для коэффициентов длины [(l)\dot](n) находим
|
Ч
l
|
(n)
|
= |
ж Ц
|
1+2 |
Ч
U
|
(ij) |
Ч
n
|
(i) |
Ч
n
|
(j) |
|
. |
| (32.24) |
Первоначально прямой угол между линейными элементами [( ®) || ( PPў)]
и [( ®) || ( PPўў)], которые на
начальной гиперповерхности были ортогональны друг другу и совпадали
с направлениями [[h\dot]\vec](1) и [[h\dot]\vec](2), уменьшится на
величину
Таким образом, [U\dot](jk) в локальных тетрадах
в точности совпадает с тензором деформаций Грина в классической механике
сплошной среды, вводимом в декартовых координатах. Так как все тензоры
в локальных тетрадах совпадают по форме с аналогичными тензорами в
классической механике сплошных сред, то они имеют тот же самый геометрический
и механический смысл, что и при классическом рассмотрении. Поэтому мы
ограничились лишь кратким рассмотрением геометрических свойств различных
тензоров деформаций. Отметим, что при отсутствии деформаций в среде тензоры
Альманси и Грина обращаются в нуль, в то время как тензоры Коши и Фингера
имеют вид
C(ab)=B(ab) = |
Ч
C
|
(ab)= |
Ч
B
|
(ab)=d(ab), |
| (32.26) |
который в пространстве Минковского сводится к выражениям
Cmn=Bmn = gmn*, |
Ч
C
|
mn
|
= |
Ч
B
|
mn
|
= |
Ч
g
|
* mn
|
. |
| (32.27) |
Таким образом, при отсутствии деформаций тензоры Коши и Фингера в пространстве
Минковского совпадают с операторами проектирования, задающими пространственную
метрику на ортогональных мировым линиям частиц среды гиперповерхностях -
актуальной и начальной соответственно.
33. Геометрия ортогональных мировым линиям гиперповерхностей
и уравнения совместности деформаций
Компоненты тензора деформаций в общем случае
определяются в согласии с соотношением (31.17). С другой стороны, в
пространстве Минковского шесть независимых компонент ukl
определяются через
производные только четырех функций 4-вектора перемещения um. Поэтому
ukl должны удовлетворять определенным уравнениям, которые называются
уравнениями совместности деформаций и являются условиями интегрируемости.
Следуя работам [25], [130], остановимся на основных соотношениях теории
гиперповерхностей в применении к сплошным средам, считая по определению,
что вмещающее пространство-время является пространством Минковского, т.е.
имеет место тождество
где Rmn,es - тензор кривизны Римана-Кристоффеля.
Уравнения конгруенций мировых линий частиц сплошной среды
для голономных лагранжевых координат
принимают вид
При фиксированном значении y4 эти уравнения представляют собой
уравнения гиперповерхности *V3, ортогональной мировым линиям. Метрический
тензор на *V3 имеет вид
|
^
g
|
kl
|
= |
¶xm
¶yk
|
|
¶xm
¶yl
|
. |
| (33.2) |
В каждой точке M на *V3 строим репер, состоящий из четырех векторов
(30.39)
hmk= |
¶xm
¶yk
|
, Vm=q |
¶xm
¶y4
|
. |
| (33.3) |
Репер (33.3) носит название сопровождающего репера гиперповерхности [25],
для которого имеют место следующие деривационные формулы, выражающие
абсолютные производные от смешанных тензоров hmk, Vm через сами
эти тензоры, а именно:
* |
^
С
|
k
|
hml=bklVm, * |
^
С
|
k
|
Vm=blk hml, |
| (33.4) |
где *[^(С)]k абсолютная производная на *V3, коэффициенты связности
*[^(G)]kln вычисляются на *V3, исходя из метрического тензора
[^g]kl.
Если вмещающее пространство риманово, то
* |
^
С
|
k
|
xml= |
¶xlm
¶yk
|
+hekGmenxnl-* |
^
G
|
n kl
|
xmn. |
| (33.5) |
Для нашего случая hek=hek, Gmen=0, так как во
вмещающем евклидовом пространстве выбраны декартовы координаты. Поэтому
* |
^
С
|
k
|
hml= |
¶hml
¶yk
|
- * |
^
G
|
n kl
|
hmn. |
| (33.6) |
Более того, для любого тензора, отнесенного к пространству Минковского,
имеет место соотношение
* |
^
С
|
k
|
Tm1...mn= |
¶Tm1...mn
¶yk
|
. |
| (33.7) |
В формуле (33.4) тензор bkl=blk называется вторым основным
тензором гиперповерхности *V3 (считая, что первый тензор - метрический
тензор [^g]kl), а отвечающую ему инвариантную квадратичную форму
называем второй квадратичной формой на *V3.
Симметрия bkl вытекает из очевидного соотношения
Если рассматривать деривационные формулы как систему дифференциальных
уравнений относительно hmk(yl), Vm(yl), считая их неизвестными
функциями, то как условия интегрируемости этой системы получаются уравнения
* |
^
R
|
ik,lm
|
=-(bilbkm-bklbim), |
| (33.9) |
первые из которых называются уравнениями Гаусса, а вторые - уравнениями
Петерсона-Кодацци [25].
Уравнения Гаусса представляют собой весьма важные соотношения, связывающие
первый и второй основные тензоры на гиперповерхности *V3. Однако
первый тензор на *V3 входит в уравнение Гаусса через тензор кривизны.
Используя деривационные формулы и принятую нами кинематику, постараемся найти
более простые соотношения, связывающие основные тензоры.
Из (33.4) после умножения на Vm имеем
Переставляя индексы k и l, получим
blk+bkl=-Vm(* |
^
С
|
k
|
hml+* |
^
С
|
l
|
hmk)=2bkl, |
| (33.12) |
т.е.
bkl=- |
1
2
|
Vm(* |
^
С
|
k
|
hml+* |
^
С
|
l
|
hmk). |
| (33.13) |
Так как Vm ортогонален гиперповерхности, то
Беря абсолютную производную от *[^(С)]k(Vm hml),
получим с учетом (33.7)
Vm* |
^
С
|
k
|
hml=-hml |
¶Vm
¶yk
|
. |
| (33.15) |
Учитывая (33.13) и (33.15), получим
bkl= |
1
2
|
|
ж и
|
hml |
¶Vm
¶yk
|
+hmk |
¶Vm
¶yl
|
|
ц ш
|
. |
| (33.16) |
Учтя (33.14) и (31.7), находим
bkl= |
1
2
|
|
й л
|
q |
¶
¶y4
|
(hmlhmk) |
щ ы
|
. |
| (33.16) |
Так как hml hmk=[^g]kl=[^g]lk, а
где s - интервал вдоль мировой линии, то окончательно имеем
Формула (33.18) устанавливает простую взаимосвязь между первым и вторым
основными тензорами на актуальной гиперповерхности.
Уравнения Гаусса (33.9) с использованием (33.18) сводятся к виду
* |
^
R
|
ik,lm
|
=- |
1
4
|
|
ж и
|
|
¶s
|
|
¶s
|
- |
¶s
|
|
¶s
|
|
ц ш
|
, |
| (33.19) |
а уравнения Петерсона-Кодацци дают
* |
^
С
|
k
|
|
¶s
|
= * |
^
С
|
l
|
|
¶s
|
. |
| (33.20) |
Очень примечательным является тот факт, что уравнения Гаусса (33.19)
представляют собой систему из шести независимых дифференциальных уравнений
для определения шести компонент метрического тензора [^g]kl.
Все формулы в этом параграфе получены для актуальной гиперповерхности.
Очевидно, что точно такие же соотношения будут иметь место и для начальной
гиперповерхности с метрическим тензором [g\dot]kl. Для их получения
необходимо лишь сделать замену всех актуальных тензоров на начальные.
В частности, уравнения Гаусса на начальной гиперповерхности будут иметь вид
* |
Ч
|
ik,lm
|
=- |
1
4
|
|
ж и
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
ц ш
|
, |
| (33.21) |
Рассмотрим нерелятивистское приближение. Так как
то
|
¶x4
¶yk
|
=- |
Va
V4
|
|
¶xa
¶yk
|
. |
|
Поэтому
|
^
g
|
kl
|
= |
¶xa
¶yk
|
|
¶xb
¶yl
|
|
ж и
|
dab+ |
VaVb
V42
|
|
ц ш
|
. |
| (33.22) |
При нерелятивистском рассмотрении Va® 0, V4® i, ds® cdt,
c®Ґ, что дает
|
^
g
|
kl
|
= |
¶xa
¶yk
|
|
¶xa
¶yl
|
, |
| (33.23) |
* |
^
R
|
ik,lm
|
=0, * |
Ч
|
ik,lm
|
=0. |
| (33.24) |
Таким образом, уравнения Гаусса для актуального и начального состояний
представимы в форме (32.24) и являются уравнениями совместности деформаций
при классическом рассмотрении.
При релятивистском рассмотрении уравнениями совместности деформаций
являются уравнения (33.19) и (33.21).
Выпишем эти уравнения в развернутом виде. Пусть решением уравнений (33.21)
являются функции
Тогда из (31.17) имеем
Левую часть уравнений (33.19) представим в следующей известной форме [25]
* |
^
R
|
ik,lm
|
= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶yk ¶yl
|
- |
¶yk ¶ym
|
- |
¶yi ¶yl
|
+ |
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
+ |
|
+ |
^
g
|
pq
|
|
ж и
|
* |
^
G
|
qlk
|
* |
^
G
|
pmi
|
- * |
^
G
|
qli
|
* |
^
G
|
pmk
|
|
ц ш
|
, |
|
* |
^
G
|
naj
|
= |
1
2
|
|
й л
|
|
¶yj
|
+ |
¶ya
|
- |
¶yn
|
|
щ ы
|
. |
| (33.27) |
Если в (33.27) подставить (33.26), то так как начальные функции [g\dot]kl
известны, то получим уравнение относительно функций ukl. При этом
компоненты [^g]pq определяются как элементы матрицы, обратной матрице
с компонентами [^g]pq
|| |
^
g
|
pq
|
||=|| |
Ч
g
|
pq
|
+2upq||-1. |
| (33.27) |
Если на начальной гиперповерхности выбрать [g\dot]kl=const,
то уравнения (33.19) примут вид
|
ж и
|
|
¶2 uim
¶yk ¶yl
|
- |
¶2 uil
¶yk ¶ym
|
- |
¶2 ukm
¶yi ¶yl
|
+ |
¶2 ukl
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
+ |
|
+ |
^
g
|
pq
|
|
ж и
|
Gqlk hGpmi- Gqli Gpmk |
ц ш
|
= |
ж и
|
|
¶ukl
¶s
|
|
¶uim
¶s
|
- |
¶uil
¶s
|
|
¶ukm
¶s
|
|
ц ш
|
, |
|
Gnaj= |
1
2
|
|
й л
|
|
¶uan
¶yj
|
+ |
¶ujn
¶ya
|
- |
¶uaj
¶yn
|
|
щ ы
|
. |
| (33.28) |
В нерелятивистском приближении правая часть (33.28) обращается в нуль
и получаются известные классические уравнения совместности [44].
В случае бесконечно малых деформаций, пренебрегая величинами второго
порядка малости, получаем следующие релятивистские уравнения совместности
|
ж и
|
|
¶2 uim
¶yk ¶yl
|
- |
¶2 uil
¶yk ¶ym
|
- |
¶2 ukm
¶yi ¶yl
|
+ |
¶2 ukl
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
= |
ж и
|
|
¶ukl
¶s
|
|
¶uim
¶s
|
- |
¶uil
¶s
|
|
¶ukm
¶s
|
|
ц ш
|
. |
| (33.29) |
В случае бесконечно малых деформаций в тензоре ukl
(31.42) и (31.43) можно отбросить квадратичные члены второго
порядка малости, что дает
ukl= |
1
2
|
( |
^
g
|
kl
|
- |
Ч
g
|
kl
|
) = |
1
2
|
[ |
^
С
|
k
|
|
^
u
|
l
|
+ |
^
С
|
l
|
|
^
u
|
k
|
] = |
1
2
|
[ |
Ч
С
|
k
|
|
Ч
u
|
l
|
+ |
Ч
С
|
l
|
|
Ч
u
|
k
|
]. |
| (33.30) |
В нерелятивистском приближении уравнения совместности (33.29)
приобретают вид
|
ж и
|
|
¶2 uim
¶yk ¶yl
|
- |
¶2 uil
¶yk ¶ym
|
- |
¶2 ukm
¶yi ¶yl
|
+ |
¶2 ukl
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
=0 |
| (33.31) |
и носят название уравнений совместности Сен-Венана [44].
Как показано в [44], тензор деформаций ukl в представлении конечных
перемещений (33.30) обращает уравнения Сен-Венана в тождество.
В релятивистском случае, развиваемом нами, вместо уравнений Сен-Венана
используются уравнения (33.29), которые отличаются от уравнений (33.31)
ненулевой правой частью. Так как для случая бесконечно малых деформаций
тензоры деформаций (33.30) внешне совпадают с их классическим аналогом,
то, как кажется на первый взгляд, мы пришли к противоречию при
релятивистском рассмотрении. Ведь при подстановке (33.30) в (33.29) мы должны
получить слева 0 в силу справедливости уравнения Сен-Венана, а справа -
в общем случае величину отличную от нуля. Однако это противоречие является
только кажущимся. Дело в том, что при классическом рассмотрении ковариантные
производные в (33.30) вычисляются с помощью трехмерного метрического тензора
и соответствующих трехмерных символов Кристоффеля в лагранжевой сопутствующей
актуальной (или начальной) системе координат, в то время как при
релятивистском рассмотрении пространственные ковариантные производные
в (33.30) вычисляются с использованием четырехмерного метрического тензора
[^g]mn. Это видно из вывода (31.42) и (31.43).
Таким образом, "релятивизм" проявляется в "раскрытии" ковариантных производных.
34. Тензоры скоростей деформаций и их связь с тензорами
деформаций и тензором кривизны
В предыдущем разделе при выводе тензоров деформаций мы не интересовались историей
возникновения деформаций в среде, а лишь констатировали факт присутствия
или отсутствия их. Особый интерес представляет описание процесса возникновения
деформаций в среде. Займемся построением кинематики континуума.
Из соотношений (31.28), (31.29) и ортогональности тензора деформаций Коши
4-скорости Vm следует равенство
|
Ч
g
|
kl
|
dyk dyl = Cmn |
¶xm
¶ye
|
|
¶xn
¶ys
|
dyedys = Cmn |
¶xm
¶yk
|
|
¶xn
¶yl
|
dyk dyl. |
| (34.1) |
Дифференцируя обе части равенства по y4 и считая, что равенство справедливо
при произвольных dyk, получим
|
¶
¶y4
|
|
ж и
|
Cab |
¶xa
¶yl
|
|
¶xb
¶yj
|
|
ц ш
|
= |
¶y4
|
. |
| (34.2) |
Если [g\dot]kl не зависит от y4, т.е. начальное состояние фиксировано,
то имеет место следующее утверждение:
Если якобиан преобразования det||Ia,e|| от координат xa
к координатам ye отличен от нуля, то при фиксированном начальном состоянии
(т.е. при ¶[g\dot]kl/¶y4=0) равенство (34.2) эквивалентно уравнениям
Dab є Vm |
¶Cab
¶xm
|
+ |
¶Vm
¶xa
|
Cmb+ |
¶Vm
¶xb
|
Cma=0. |
| (34.3) |
Доказательство:
Дифференцирование (34.2) дает
|
¶Сab
¶y4
|
|
¶xa
¶yl
|
|
¶xb
¶yj
|
+Cab |
¶
¶yl
|
|
ж и
|
|
¶xa
¶y4
|
|
ц ш
|
|
¶xb
¶yj
|
+Cab |
¶xa
¶yl
|
|
¶
¶yj
|
|
ж и
|
|
¶xb
¶y4
|
|
ц ш
|
=0. |
| (34.4) |
В силу того, что CabVb=0, имеем
Cab |
¶
¶yl
|
|
ж и
|
|
¶xa
¶y4
|
|
ц ш
|
= Cab |
¶
¶yl
|
|
ж и
|
|
Va
q
|
|
ц ш
|
= |
1
q
|
Cab |
¶Va
¶yl
|
. |
| (34.5) |
Поэтому
|
¶Сab
¶y4
|
|
¶xa
¶yl
|
|
¶xb
¶yj
|
+ |
1
q
|
Cab |
¶Va
¶yl
|
|
¶xb
¶yj
|
+ |
1
q
|
Cab |
¶xa
¶yl
|
|
¶Vb
¶yj
|
=0 |
| (34.6) |
Рассматривая поле 4-скоростей как функцию переменных xe и меняя
индексы суммирования, получаем
|
ж и
|
q |
¶Сab
¶y4
|
+Cmb |
¶Vm
¶xa
|
+Cma |
¶Vm
¶xb
|
|
ц ш
|
|
¶xa
¶yl
|
|
¶xb
¶yj
|
=0 |
| (34.7) |
Учитывая, что в переменных Эйлера для любой функции y(xa)
справедливо соотношение
q |
¶y
¶y4
|
=q |
¶y
¶xb
|
|
¶xb
¶y4
|
= Vb |
¶y
¶xb
|
= |
d y
d s
|
, |
|
имеем
Так как
то (34.8) эквивалентно соотношениям
Так как по условию утверждения det||Ia,e|| № 0, то отсюда
вытекает
что и доказывает утверждение.
Используя (31.28), последнее соотношение представим в виде
sab = Vm |
¶Uab
¶xm
|
+ |
¶Vm
¶xa
|
Umb+ |
¶Vm
¶xb
|
Uma, |
| (34.11) |
где
sab є |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶Va
¶xb
|
+ |
¶Vb
¶xa
|
+ |
¶Va
¶xn
|
Vn Vb+ |
¶Vb
¶xn
|
Vn Va |
ц ш
|
|
| (34.12) |
по терминологии работы [20] носит название тензора распространения натяжений,
совпадающим с введенным нами ранее в главе 1 тензором скоростей деформаций
§ab (1.3). Непринципиальное отличие (34.12) от (1.3) только в
выборе сигнатуры метрики и соответствующей нормировки 4-скорости.
Выражение (34.11) представляет собой релятивистское обобщение классического
выражения для материальной скорости изменения тензора деформаций Альманси.
Так как sab=sba, sabVb=0, то система (34.1)
содержит лишь 6 независимых уравнений. Используя равенство
|
¶Vm
¶xa
|
Umb = |
ж и
|
|
¶Vm
¶xa
|
+Vm Vn |
¶Va
¶xn
|
|
ц ш
|
Umb, |
|
получим
|
¶Vm
¶xa
|
Umb = (sma+øma)Umb, |
| (34.13) |
где
øma є |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶Vm
¶xa
|
- |
¶Va
¶xm
|
+ |
¶Vm
¶xn
|
Vn Va
- |
¶Va
¶xn
|
Vn Vm |
ц ш
|
. |
| (34.14) |
oma - носит название тензора спина сплошной среды [20]. Этот
тензор совпадает с введенным нами ранее в главе 1 (с точностью до выбора
сигнатуры метрики и условия нормировки 4-скорости) с тензором угловой скорости
вращения (1.4).
Этот тензор антисимметричен и ортогонален 4-скорости.
Движение среды можно назвать поступательным, если øma=0.
По аналогии с классической механикой сплошной среды [129] введем понятие
скорости деформаций Альманси и обозначим ее как
U*ab є |
d Uab
d s
|
-øamUmb-øbmUma. |
| (34.15) |
Используя (34.13), представим (34.11) в виде
sab = Vm |
¶Uab
¶xm
|
+(sma+øma)Umb+(smb+ømb)Uma. |
| (34.16) |
Откуда получим
Если тело движется как жесткое в смысле Борна, т.е. расстояния любыми
двумя соседними мировыми линиями в процессе движения не изменяется, то
как известно sab=0. Откуда следует
Для случая отсутствия вращения последнее соотношение при жестком
движении эквивалентно условию
Смысл последнего соотношения становится особенно ясным, если переписать
последнее соотношение в поле тетрад, которое представляет у нас эйлерову
сопутствующую систему отсчета. А именно
|
d Uab
d s
|
= |
d ha(a)
d s
|
hb(b)U(ab)+ |
|
+ha(a) |
d hb(b)
d s
|
U(ab)+ ha(a)hb(b) |
d U(ab)
d s
|
=0. |
|
Откуда имеем
ha(k)hb(b) |
d Uab
d s
|
= |
d U(kn)
d s
|
=0. |
| (34.18) |
При выводе учли, что триада ha(a) переносится по Ферми, т.е.
|
d ha(a)
d s
|
=Vahe(a)Beb, Vaha(k)=id(k4)=0. |
| (34.19) |
Таким образом, если тело движется как жесткое в смысле Борна тело, то
тензор деформаций Альманси в сопутствующих тетрадах остается постоянным.
В частности, если на некоторой начальной гиперповерхности тело находилось
в недеформированном состоянии, то при жестком движении никаких деформаций
в среде не возникает.
Используя соотношение (31.29), найдем взаимосвязь между материальной
скоростью изменения тензора деформаций [^u]kl и тензором скоростей
деформаций, считая начальное состояние фиксированным.
|
d s
|
= |
d s
|
= |
d
d s
|
(hmnhmm)-2 |
d
d s
|
|
^
u
|
mn
|
. |
| (34.20) |
Откуда
|
d
d s
|
|
^
u
|
mn
|
= |
1
2
|
|
d s
|
= |
1
2
|
|
ж и
|
hmn |
d hmm
d s
|
+hmm |
d hmn
d s
|
|
ц ш
|
=bnm, |
| (34.21) |
где мы воспользовались (33.18).
Формула (34.21) связывает второй основной тензор гиперповерхности со
скоростью изменения тензора деформаций [^u]nm. Выясним связь между
тензором bnm и [^(s)]mn, т.е. связь между вторым основным тензором
гиперповерхности и тензором скоростей деформаций в сопутствующей лагранжевой
системе.
|
^
s
|
nm
|
=sabhanhbm= |
1
2
|
|
ж и
|
|
¶Va
¶ym
|
han+ |
¶Vb
¶yn
|
hbm |
ц ш
|
. |
| (34.22) |
Используя (33.16), получаем окончательно
Поэтому (34.21) можно представить в окончательном виде
|
d s
|
= |
1
2
|
|
d s
|
=bmn= |
^
s
|
mn
|
. |
| (34.24) |
Таким образом, второй основной тензор гиперповерхности bkl тождественен
с тензором скоростей деформаций [^(s)]kl.
Если окрестность рассматриваемой частицы движется как жесткое в смысле
Борна тело, то sab=0. Поэтому d [^u]nm/d s=0.
Можно доказать и обратное утверждение, а именно:
Если скорость изменения тензора деформаций d [^u]mn/d s=0,
то окрестность рассматриваемой частицы движется как жесткое в смысле Борна
тело.
Действительно, так как sabVb=0, то из равенства нулю выражения
вытекает, что
Так как
|
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶xa
¶ye
|
|
к к
|
|
к к
|
№ 0, |
|
то sab=0, что и доказывает утверждение.
Используя (34.23), находим для уравнений Гаусса (33.9) соотношения
* |
^
R
|
ik,lm
|
= |
^
s
|
kl
|
|
^
s
|
im
|
- |
^
s
|
il
|
|
^
s
|
km
|
. |
| (34.25) |
Переход от сопутствующей системы к системе наблюдателя (т.е. к пространству
Минковского) дает
*Rmn,gs = * |
^
R
|
ik,lm
|
him hkn hlghms=sngsms - smgsns. |
| (34.26) |
При жестком движении smn=0 и гиперповерхность, ортогональная
мировым линиям, становится плоской.
Чтобы получить условия интегрируемости для компонент тензора скоростей
деформаций, продифференцируем уравнения Гаусса (34.25) по y4,
используя (33.27) и (34.24) и (34.25)
|
1
2
|
|
ж и
|
|
¶2 Tim
¶yk ¶yl
|
- |
¶2 Til
¶yk ¶ym
|
- |
¶2 Tkm
¶yi ¶yl
|
+ |
¶2 Tkl
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
+ |
|
+ |
¶
¶y4
|
|
й л
|
|
^
g
|
pq
|
|
ж и
|
* |
^
G
|
qlk
|
* |
^
G
|
pmi
|
-* |
^
G
|
qli
|
* |
^
G
|
pmk
|
|
ц ш
|
|
щ ы
|
= |
¶
¶y4
|
|
ж и
|
|
^
s
|
kl
|
|
^
s
|
im
|
- |
^
s
|
il
|
|
^
s
|
km
|
|
ц ш
|
. |
| (34.27) |
Здесь
Если уравнения (34.27) являются действительно уравнениями совместности
для тензора скоростей деформаций, то общим интегралами этих уравнений
должны быть компоненты тензора (34.22). Докажем, что выражения (34.22)
обращают в тождество (34.27).
Из ортогональности Vm hml=0 вытекает
|
^
s
|
im
|
=- |
1
2
|
|
ж и
|
Va |
¶hai
¶ym
|
+Va |
¶ham
¶yi
|
|
ц ш
|
=-q |
¶xa
¶y4
|
|
¶2 xa
¶ym ¶yi
|
, |
| (34.29) |
Tim=- |
¶xa
¶y4
|
|
¶2 xa
¶ym ¶yi
|
, |
| (34.30) |
|
¶2 Tim
¶yk ¶yl
|
=- |
ж и
|
|
¶3 xa
¶y4 ¶yk ¶yl
|
|
¶2 xa
¶yi ¶ym
|
+ |
¶3 xa
¶yi ¶yk ¶ym
|
|
¶2 xa
¶y4 ¶yl
|
+ |
|
+ |
¶3 xa
¶yi ¶yl ¶ym
|
|
¶2 xa
¶y4 ¶yk
|
+ |
¶4 xa
¶yi ¶ym ¶yk ¶yl
|
|
¶xa
¶y4
|
|
ц ш
|
, |
| (34.31) |
|
¶2 Tim
¶yk ¶yl
|
- |
¶2 Til
¶yk ¶ym
|
= |
ж и
|
|
¶3 xa
¶y4 ¶yk ¶ym
|
|
¶2 xa
¶yi ¶yl
|
- |
¶3 xa
¶y4 ¶yk ¶yl
|
|
¶2 xa
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
+ |
|
+ |
ж и
|
|
¶3 xa
¶yi ¶yk ¶yl
|
|
¶2 xa
¶y4 ¶ym
|
- |
¶3 xa
¶yi ¶yk ¶ym
|
|
¶2 xa
¶y4 ¶yl
|
|
ц ш
|
, |
| (34.32) |
|
¶2 Tkl
¶yi ¶ym
|
- |
¶2 Tkm
¶yi ¶yl
|
= |
ж и
|
|
¶3 xa
¶y4 ¶yi ¶yl
|
|
¶2 xa
¶yk ¶ym
|
- |
¶3 xa
¶y4 ¶yi ¶ym
|
|
¶2 xa
¶yk ¶yl
|
|
ц ш
|
+ |
|
+ |
ж и
|
|
¶3 xa
¶yk ¶yi ¶ym
|
|
¶2 xa
¶y4 ¶yl
|
- |
¶3 xa
¶yk ¶yi ¶yl
|
|
¶2 xa
¶y4 ¶ym
|
|
ц ш
|
, |
| (34.33) |
|
¶2 Tim
¶yk ¶yl
|
- |
¶2 Til
¶yk ¶ym
|
- |
¶2 Tkm
¶yi ¶yl
|
+ |
¶2 Tkl
¶yi ¶ym
|
|
|
= |
ж и
|
|
¶3 xa
¶y4 ¶yk ¶ym
|
|
¶2 xa
¶yi ¶yl
|
+ |
¶3 xa
¶y4 ¶yl ¶yi
|
|
¶2 xa
¶yk ¶ym
|
|
ц ш
|
- |
|
- |
ж и
|
|
¶3 xa
¶y4 ¶yi ¶ym
|
|
¶2 xa
¶yk ¶yl
|
+ |
¶3 xa
¶y4 ¶yk ¶yl
|
|
¶2 xa
¶yi ¶ym
|
|
ц ш
|
= |
|
= |
¶
¶y4
|
|
ж и
|
|
¶ham
¶yk
|
|
¶hal
¶yi
|
- |
¶ham
¶yi
|
|
¶hal
¶yk
|
|
ц ш
|
. |
| (34.34) |
Используя формулы (33.6) и (33.4), имеем
|
¶hml
¶yk
|
=* |
^
С
|
k
|
hml+ * |
^
G
|
n kl
|
hmn. |
|
Откуда, правая часть (34.34) сводится к виду
|
¶
¶y4
|
|
й л
|
|
ж и
|
* |
^
С
|
k
|
ham+ * |
^
G
|
n km
|
han |
ц ш
|
|
ж и
|
* |
^
С
|
i
|
hal+ * |
^
G
|
p il
|
hap |
ц ш
|
- |
|
- |
ж и
|
* |
^
С
|
i
|
ham+ * |
^
G
|
n im
|
han |
ц ш
|
|
ж и
|
* |
^
С
|
k
|
hal+ * |
^
G
|
p kl
|
han |
ц ш
|
|
щ ы
|
= |
|
= |
¶
¶y4
|
(-bkmbil+bklbim)+ |
¶
¶y4
|
|
ж и
|
* |
^
G
|
n km
|
* |
^
G
|
p il
|
|
^
g
|
np
|
-* |
^
G
|
n im
|
* |
^
G
|
p kl
|
|
^
g
|
np
|
|
ц ш
|
. |
| (34.35) |
Левая часть (34.27) с учетом (34.35) преобразуется к виду
|
¶
¶y4
|
( |
^
s
|
kl
|
|
^
s
|
im
|
- |
^
s
|
km
|
|
^
s
|
il
|
)+ |
¶
¶y4
|
|
ж и
|
* |
^
G
|
pkm
|
* |
^
G
|
p il
|
-* |
^
G
|
pim
|
* |
^
G
|
p kl
|
|
ц ш
|
+ |
|
+ |
ж и
|
* |
^
G
|
p lk
|
* |
^
G
|
pmi
|
-* |
^
G
|
p li
|
* |
^
G
|
pmk
|
|
ц ш
|
= |
¶
¶y4
|
( |
^
s
|
kl
|
|
^
s
|
im
|
- |
^
s
|
km
|
|
^
s
|
il
|
). |
| (34.36) |
Итак, система (34.27) удовлетворяется тождественно и является системой уравнений
совместности для компонент тензора скоростей деформаций в релятивистском
случае.
На этом мы заканчиваем кинематику и переходим к динамике сплошной среды в
СТО.
© Подосенов С.А. Пространство, время и классические поля связанных структур, 2002
Все права защищены Российским и международным законодательством.
Перепечатка и тиражирование только с согласия автора.