В этой главе рассмотрена кинематика деформируемой среды в рамках СТО. На гиперповерхностях ортогональных мировым линиям частиц среды (актуальной и начальной) найдены тензоры деформаций в различных системах отсчета, обобщающие классические тензоры Альманси, Грина, Коши, Фингера. Получены релятивистские уравнения совместности деформаций и выведены соотношения, связывающие тензор распространения натяжений со скоростью изменения тензора деформаций в различных представлениях. Найдены релятивистские уравнения совместности для тензора скоростей деформаций.

Неголономные преобразования и тетрадный формализм в предыдущих разделах использовались лишь эпизодически. В этой и последующих главах формализм ортогональных реперов и неголономные геометрические объекты являются определяющими. Так как в литературе, хорошо известной читателям (например, [7]), сведений по тетрадному формализму недостаточно для дальнейшего изложения, а книги [128], [1], [22], в которых формализм дан достаточно полно, стали библиографической редкостью, то для удобства читателей приведем необходимые в дальнейшем соотношения по формализму ортогональных реперов. Для более тесной связи с классической механикой деформируемых сред будем использовать в пространстве Минковского не сигнатуру (+ - - -), как в предыдущих разделах, а задавать интервал с помощью выражения

-dS2=dmndxm dxn,

(30.1)

где метрический тензор имеет простейший вид

gmn=dmn,   m, n = 1, 2,3,4,   x4=ict, i= Ц   -1   .

Всюду в дальнейшем греческие индексы будут изменяться от единицы до четырех, а латинские - от единицы до трех. В силу выбора x₄=ict не делается различия между ковариантными и контравариантными компонентами.

В каждой точке галилеевой системы координат построим ортонормированный репер - тетраду. Каждая из тетрад будут отличаться друг от друга только параллельными сдвигами ( однородное поле тетрад),

м н о O, ® h   m  ь э ю ,

(30.2)

образующее прямолинейную тетрадную решетку. Наряду с тетрадами (30.2) введем произвольное неоднородное поле тетрад

м н о O, ® h   (a) ь э ю ,

которые связаны с векторами тетрад (30.2) локальным ортогональным преобразованием

® h   (a)=hm(a) ® h   m  .

(30.3)

Тетрадные индексы произвольного тетрадного поля будем заключать в скобки. Коэффициенты h_m(a) называются коэффициентами Ламе. Выбрав точку O какой либо тетрады (30.2) за начало отсчета, остальным точкам O сопоставляются координаты Минковского x_m, отсчитываемые вдоль направлений тетрадных векторов. Подобно тетрадам (30.2), тетрады (30.3) также образуют ортогональную, но уже искривленную тетрадную решетку, с которой можно связать координатную сетку x(a), как и для тетрад (30.2). Координатные сетки тетрад (30.2) и (30.3) связаны локальным ортогональным преобразованием

dx(a) = hm(a)dxm.

(30.4)

Тот факт, что тетрадные векторы единичны и ортогональны запишется в виде

® h   (a)· ® h   (b)=d(ab),    ® h   m  · ® h   n  =dmn.

(30.5)

Из последнего соотношения следует

hm(a)hm(b)=d(ab),   hm(a) hn(a)=dmn,     ® h   m  · ® h   (a)=hm(a).

(30.6)

Так как в каждой точке пространства-времени находятся два ортонормированных репера, то любой вектор [A\vec] может быть разложен по векторам этих реперов.

® A   =Am ® h   m  =A(a) ® h   (a).

(30.7)

Откуда, используя (30.5) и (30.6), получаем

A(a) = hm(a)Am,   Am=hm(a)A(a).

(30.8)

Заметим, что соотношение (30.4) в общем случае неинтегрируемо, т.к. dx(a) не является полным дифференциалом. В этом случае преобразование (30.4) называется неголономным.

Найдем изменение Dx(a) при обходе по замкнутому контуру в случае (30.4).

Dx(a)= у (з) х (L)  hs(a)dxs= у х (f)  Cmn(a)d fmn № 0.

(30.9)

Мы использовали теорему Стокса при переходе от интеграла по замкнутому контуру (L) к интегралу по охватываемой контуром поверхности (f).

Cmn(a)=  1 2 ж и  ¶hn(a) ¶xm -  ¶hm(a) ¶xn ц ш .

(30.10)

Величина C_mn(a) называется объектом неголономности, который является общековариантным тензором в индексах m, n, но не относительно индекса a. Только в том случае, когда все компоненты объекта неголономности равны нулю, преобразование будет голономным. Отметим еще одно важное обстоятельство. Так как соотношение (30.3) приводит к появлению искривленной тетрадной решетки, то при параллельном переносе некоторого вектора [A\vec] его компоненты A(a), вследствие различной ориентации тетрад, будут изменяться по закону

dp A(a)=Ds(ab)A(b)dxs.

(30.11)

Здесь объект связности

Ds(ab)=-Ds(ba)

играет ту же роль, что и символы Кристоффеля при параллельном перенесении некоторого вектора A_m в криволинейной координатной системе. Величины D_s(ab), образующие общековариантный вектор относительно индекса s, называются коэффициентами вращения Риччи, для вычисления которых воспользуемся тем фактом, что при параллельном переносе галилеевы компоненты вектора не меняются

dp As=dp A(a) hs(a)+A(a)dp hs(a)=0,

dp A(a) = - hn(a)  ¶hn(b) ¶xs A(b)dxs.

Откуда, сравнивая с (30.11), имеем

Ds(ab)=-hn(a)  ¶hn(b) ¶xs .

(30.12)

Ковариантный (абсолютный) дифференциал вектора A(a) есть

*DA(a)=dA(a)-dp A(a)= й л  ¶A(a) ¶xs -Ds(ab)A(b) щ ы dxs.

(30.13)

*DA(a) ¶xs =*СsA(a) =  ¶A(a) ¶xs -Ds(ab)A(b).

(30.14)

Отметим, что ^*С_sA(a) является общековариантным тензором относительно локальных преобразований тетрад. Для любого тензора T_m(a), заданного галилеевыми и тетрадными компонентами, имеем

*СsTm(a) =  ¶Tm(a) ¶xs -Ds(ab)Tm(b).

(30.15)

В частности

*Сshm(a) =  ¶hm(a) ¶xs +hn(a)  ¶hn(b) ¶xs hm(b) є 0.

(30.16)

Таким образом, при ковариантном дифференцировании коэффициенты Ламе являются ковариантно постоянными. Производная по направлению от некоторого геометрического объекта T в направлении x(a) определяется при помощи равенства

¶T ¶x(a) =hs(a)  ¶T ¶xs .

(30.17)

Покажем, что эти производные некоммутативны и вычислим их коммутатор

¶2 T ¶x(b)¶x(a) =he(b)  ¶hn(a) ¶xe  ¶T ¶xn +he(b)hn(a)  ¶2 T ¶xe¶xn ,

¶2 T ¶x(b)¶x(a) -  ¶2 T ¶x(a)¶x(b) = ж и he(b)  ¶hn(a) ¶xe -he(a)  ¶hn(b) ¶xe ц ш  ¶T ¶xn .

Воспользуемся равенствами

C(ab,g)=Cme(g)hm(a)he(b),

(30.18)

C(ab,g)hn(g)=C(ab)n=  1 2 ж и he(b)  ¶hn(a) ¶xe -he(a)  ¶hn(b) ¶xe ц ш .

(30.19)

Используя (3.19), находим

¶2 T ¶x(b)¶x(a) -  ¶2 T ¶x(a)¶x(b) =2C(ab)n  ¶ ¶xn =2C(ab,g)  ¶ ¶x(g) .

(30.20)

Из (30.20) следует, что некоммутативность производных по направлениям является следствием того, что объект неголономности отличен от нуля. Путем непосредственной проверки можно убедиться, что между коэффициентами Риччи и объектом неголономности существует соотношение

D(e,ab)=hs(e)Ds(ab)=C(ae,b)+C(ab,e)+C(eb,a).

(30.21)

Остановимся еще на одном важном пункте, отметив, что тетрады (O,[h\vec](a)) только одной точкой O (началом) принадлежат пространству Минковского, а вся остальная конструкция ему не принадлежит. Геометрически это утверждение означает, что преобразования координатной сетки меняет координаты точек O, но не изменяют ориентации самих тетрад. Рассмотрим обычные (глобальные) преобразования Лоренца.

xmў=Lmўmxm,   LmўmLmўn=dmn,    Lmўm=const.

(30.22)

Из соотношения (30.8)

A(a)=hm(a)Am,

где A_m и h_m(a) при преобразованиях Лоренца преобразуются как 4-векторы, следует, что

Aў(a)=hmў(a)Amў=LmўmLmўnhm(a)An=A(a).

(30.23)

Таким образом, вектор A(a), заданный тетрадными компонентами, при преобразованиях Лоренца ведет себя как совокупность скаляров. Так как тетрады друг от друга отличаются только относительной ориентацией, то они связаны локальным ортогональным преобразованием

® h   (aў)=ø(aўa) ® h   (a),   ø(as)ø(bs)=d(ab),

(30.24)

где коэффициенты преобразования ø(ab) зависят от координат. Преобразование (30.24) образует группу, действующую в пространстве тетрад, которая выполняет примерно ту же роль, что и группа преобразований координатной сетки в пространстве Минковского. При преобразовании (30.24) любой тензор A_a1a2...an, заданный галилеевыми компонентами, преобразуется как совокупность скаляров. Действительно

Aўa1a2...an=ha1(b1)ha2(b2)...han(bn)A(b1...bn) =

= ha1(bў1)ha2(bў2)...han(bўn)ø(b1bў1)ø(b2bў2)...ø(bnbўn)

ø(b1gў1)ø(b2gў2)...ø(bngўn)A(gў1gў2...gўn) = Aa1a2...an.

(30.25)

Таким образом, геометрический объект A_a1...an(b₁...b_m) представляет собой тензор ранга n относительно преобразований Лоренца и тензор ранга m относительно преобразований тетрад. Связь между галилеевыми и тетрадными компонентами в общем случае, как и в случае (30.8), осуществляется при помощи коэффициентов Ламе.

Aa1a2...an(b1b2...bm)ha1(g1)ha2(g2)...han(gn)=A(g1...gnb1...bm),

(30.26)

Aa1a2...an(b1b2...bm)hs1(b1)hs2(b2)...hsm(bm)=Aa1...ans1...sm.

(30.27)

Рассмотрим, как изменяется вектор A(a) при параллельном переносе по бесконечно малому замкнутому контуру

у (з) х dp A(a)= у (з) х De(ab) A(b)dxe=  1 2 у х Rmn(ab) A(b)dfmn =

=  1 2 у х dfmn й л  ¶Dn(ab) ¶xm -  ¶Dm(ab) ¶xn +

+Dm(ae)Dn(be)-Dn(ae)Dm(be) щ ы A(b).

(30.28)

Откуда

Rmn(ab)=  ¶Dn(ab) ¶xm -  ¶Dm(ab) ¶xn +Dm(ae)Dn(be)-Dn(ae)Dm(be).

(30.29)

Подставляя (30.29) в (30.12), получаем, что

Rmn(ab) є 0,

(30.30)

где R_mn(ab) - тензор кривизны, заданный галилеевыми и тетрадными компонентами.

Таким образом, связность D_m(ab) появилась именно потому, что мы ввели некоторое произвольное тетрадное поле. Она не дает вклада в тензор кривизны, компенсируя введение неоднородного тетрадного поля, которое мы ввели наряду с однородным.

Выясним теперь, что нового дает переход от галилеевых координат пространства Минковского к произвольным криволинейным координатам. Пусть y^m - криволинейные координаты, введенные наряду с галилеевыми x_a при помощи соотношения

ym=fm(xa),   xa=fa(ym).

(30.31)

Выражение (30.1) примет более общую форму

-dS2= ^ g   mn  dym dyn,

(30.32)

где компоненты метрического тензора [^g]_mn имеют следующий вид

^ g   mn  =  ¶xa ¶ym  ¶xa ¶yn .

(30.33)

Радиус-вектор [r\vec], проведенный из начала координат в некоторую точку M, будет функцией криволинейных координат y^m. Рассмотрим новый вектор [[^h]\vec]_m, полученный дифференцированием [r\vec] по y^m, т.е.

® ^ h   = ¶ ® r   ¶ym .

(30.34)

Каждый из этих четырех векторов является касательным к координатной линии y^m в точке M и все вместе они образуют локальный аффинный репер, с которым можно связать локальную косоугольную и прямолинейную систему координат. При переходе от точки к точке векторы [[^h]\vec]_m изменяют свою длину и относительную ориентацию. Любой вектор [A\vec], заданный в точке M может быть разложен по векторам [[^h]\vec]_m аффинного репера, для которого точка M служит началом

® A   = ^ A   m   ® ^ h   m  .

(30.35)

Коэффициенты разложения [^A]^m, являющиеся в общем случае функциями координат y^m, называются криволинейными контравариантными компонентами вектора [A\vec]. В каждой точке может быть построен также взаимный аффинный репер [[^h]\vec]^m такой, что

® ^ h   n  · ® ^ h   m   =dmn.

(30.36)

Тогда

® A   = ^ A   m  ® ^ h   m   ,

(30.37)

где [^A]_m - ковариантные компоненты вектора. Кроме того, в каждой точке галилеевой системы может быть построен ортонормированный репер, векторы которого единичные и ортогональные. Так как поле таких векторов в соответствии с (30.2) однородно, то

¶ ® h   m  ¶xe = ¶ ® h   m  ¶ye =0.

(30.38)

Скалярные произведения векторов аффинного и ортонормированного образуют коэффициенты Ламе

hem= ® h   e  · ® ^ h   m  = ¶ ® r   ¶xe · ¶ ® r   ¶ym =  ¶xe ¶ym ,    hem= ® h   e  · ® ^ h   m   = ¶ ® r   ¶yn  ¶yn ¶xe ® ^ h   m   =  ¶ym ¶xe .

(30.39)

Коэффициенты Ламе являются компонентами смешанного тензора, индексы которого относятся к разным координатным системам. Эти коэффициенты позволяют связать ортогональные и криволинейные компоненты векторов.

Aa=ham ^ A   m   =ham ^ A   m  ,    ^ A   m   =ham Aa,    ^ A   m  =hamAa.

(30.40)

При помощи их можно записать компоненты метрического тензора

^ g   mn  =  ¶xa ¶ym  ¶xa ¶yn =hamhan,    ^ g   mn   =  ¶ym ¶xa  ¶yn ¶xa =ham han,   hamhmb=dab.

(30.41)

Используя соотношения (30.3), введем произвольное тетрадное поле {O,[h\vec](a)}. Таким образом, в каждой точке возникают три репера: два ортогональных и один аффинный. Связь между произвольным ортогональным репером и аффинным также осуществляется при помощи параметров Ламе.

® h   (a)· ® ^ h   m  = ^ h   m  (a),    ® h   (a)· ® ^ h   m   = ^ h   m   (a),    ^ h   m  (a) ^ h   m   (b)=d(ab),

^ h   m  (a) ^ h   n  (a)=hemhen= ^ g   mn  ,    ^ h   m  (a) ^ h   n   (a)=hsmhns=dnm,

^ h   m   (a) ^ h   n   (a)=hsmhns= ^ g   mn   .

(30.42)

Между аффинными и тетрадными компонентами для некоторого вектора [A\vec] имеют место равенства.

A(a)= ^ h   m  (a) ^ A   m   =h(a)m ^ A   m  ,    ^ A   m   =h(a)m A(a),    ^ A   m  =hm(a)A(a).

(30.43)

Найдем изменение Dy^m при обходе по замкнутому контуру. Используя значения (30.39), получим

Dym= у (з) х (L)  hmadxa=  1 2 у х (f)  ж и  ¶hmb ¶xa -  ¶hma ¶xb ц ш d fab=0.

(30.43a)

Этим свойством, как известно, обладают голономные преобразования. Подсчитаем аналогичное изменение для

dy(a)= ^ h   m  (a)dym.

Dy(a)= у (з) х (L)  ^ h   s  (a)dxs = у х (f)  ^ C   mn  (a)d fmn № 0,

(30.43b)

так как объект неголономности [^C]_mn(a), отнесенный к произвольной криволинейной координатной сетке и определяемый равенством

Cmn(a)=  1 2 ж и  ¶hn(a) ¶ym -  ¶hm(a) ¶yn ц ш

отличен от нуля. При переходе к галилеевым координатам получим соотношение (30.10).

Рассмотрим как будут изменяться компоненты A(a) при параллельном переносе некоторого вектора [A\vec].

dp A(a)= ^ D   e  (ab)A(b)dye,   dp A(a)=dp( ^ h   m a  ^ A   m   ) =

= - ^ h   m  (a)Gslm ^ A   l   dys++ ^ A   m   ¶ ^ h   m  (a) ¶ys dys =

= ж и - ^ h   m  (a) ^ h   l   (b)Gmel++ ^ h   m   (b) ¶ ^ h   m  (a) ¶ys ц ш A(b)dye.

Откуда находим

^ D   e  (ab)=- ^ h   m  (a) ^ h   l   (b)Gmel+ ^ h   m   (b) ¶ ^ h   m  (a) ¶ye ,

что эквивалентно

Gsl.m=Ds,l.m+ ^ h   m   (b) ¶ ^ h   l  (b) ¶ys

(30.44)

В галилеевых координатах коэффициенты Риччи определяются соотношением (30.12). Коэффициенты G^m_sl (символы Кристоффеля) описывают изменение локальных аффинных реперов при переходе от точки к точке. Если метрический тензор порожден только криволинейной системой координат плоского пространства, то коэффициенты связности имеют вид

Gmsl=  ¶ym ¶xa  ¶2 xa ¶ys¶yl .

(30.45)

При этом [^g]_mn и G^m_sl связаны обычным образом

Gmsl=  1 2 ж и ¶ ^ g   ln  ¶ys + ¶ ^ g   sn  ¶yl - ¶ ^ g   sl  ¶yn ц ш .

(30.46)

Коэффициенты Риччи [^(D)](e,ab) связаны с объектом неголономности по тому же правилу, как и (30.21).

^ D   (e,ab)= ^ C   (ae,b)+ ^ C   (ab,e)+ ^ C   (eb,a).

(30.47)

^ C   (eb,a)= ^ C   mn  (a) ^ h   m   (e) ^ h   n   (b).

(30.48)

Ковариантный (абсолютный) дифференциал вектора A(a), как и в случае (30.13) есть

*DA(a)=dA(a)-dp A(a)= й л  ¶A(a) ¶ys - ^ D   s  (ab)A(b) щ ы dys.

(30.49)

*DA(a) ¶ys =*СsA(a) =  ¶A(a) ¶ys - ^ D   s  (ab)A(b).

(30.50)

Для любого тензора [^T]_m(a), заданного аффинными и тетрадными компонентами, имеем

*Сs ^ T   m  (a) = ¶ ^ T   m  (a) ¶ys -Gsml ^ T   l  (a)- ^ D   s  (ab) ^ T   m  (b).

(30.51)

В галилеевых координатах (30.51) переходит в (30.15). ^*С_s[^T]_m(a) является общековариантным тензором по индексам s, m и вектором по отношению к преобразованию тетрад. В частности

*Сs ^ h   m  (a) = ¶ ^ h   m  (a) ¶ys -Glsm ^ h   l  (a)- ^ D   s  (ab) ^ h   m  (b) є 0.

(30.52)

Таким образом, как и в случае (30.16) коэффициенты Ламе являются ковариантно постоянными.

В рассмотренном выше случае всегда можно от криволинейных координат y^m перейти к галилеевым x_a, тогда все сорок коэффициентов связности G_sl^m обратятся в нуль. Если же пространство риманово, то галилееву систему во всем пространстве ввести нельзя и мы вынуждены пользоваться только криволинейными системами координат. Далее, в римановом пространстве вместо радиуса-вектора конечных размеров, которого принципиально не существует, можно построить в каждой точке бесконечно малый радиус вектор d[r\vec], однако он будет принадлежать уже другому многообразию - касательному плоскому пространству, которое можно построить в каждой точке искривленного пространства. В этом касательном (локальном) плоском пространстве располагаются аффинный и ортонормированный реперы, а также любые векторы, которые можно построить по их криволинейным компонентам. Таким образом, формализм плоского пространства в криволинейных координатах применим и к риманову пространству, в котором, правда, метрический тензор и символы Кристоффеля не выражаются через производные от галилеевых координат, как это имело место в плоском пространстве. В римановом пространстве принципиально нельзя выбрать такой координатной системы, в которой координаты метрического тензора [^g]_mn становятся постоянными во всем пространстве. В связи с этим в римановом пространстве появляется новая характеристика, которая отличает его от плоского пространства, а именно,- кривизна. При параллельном переносе вектора A(a) по бесконечно малому замкнутому контуру этот вектор получает приращение DA(a), определяемое как

DA(a)= у (з) х dp A(a) = у (з) х ^ D   e  (ab) A(b)dye=  1 2 у х Rmn(ab) A(b)dfmn,

(30.53)

где

Rmn(ab)= ¶ ^ D   n  (ab) ¶ym - ¶ ^ D   m  (ab) ¶yn + ^ D   m  (ae) ^ D   n  (be)- ^ D   n  (ae) ^ D   m  (be).

(30.54)

Соотношение (30.54) выражает тензор кривизны через коэффициенты Риччи. Свертывая индексы с помощью коэффициентов Ламе [^h]^m(a), [^h]ⁿ(b), получим скалярную кривизну пространства R.

R=4Сs{ ^ C   (eb,b) ^ h   s   (e)}-4 ^ C   (ab,b) ^ C   (ae,e)+ ^ D   (e,ab) ^ C   (ab,e),

(30.55)

где С_s - ковариантная производная относительно группы преобразований координатной сетки, для которых тетрадные индексы являются инвариантными. Поэтому

Сs ^ A   m   (a1,...an)= ¶ ^ A   m   (a1,...an) ¶ys +Gmsl ^ A   l   (a1,...an).

(30.56)

В частности из (30.52)

Сs ^ h   m  (a) = ^ D   s  (ab) ^ h   m  (b).

(30.57)

До сих пор мы рассматривали ортогональные реперы [^h]^m(a) как некоторое произвольное тетрадное поле. Однако особый интерес для нас будут представлять тетрады, связанные с каждой точкой некоторой временно-подобной кривой G (мировой линией) в пространстве-времени. Выпишем соотношения, носящие название формул Френе-Серре.

d ^ A   m   dS = ^ b   ^ B   m   ,

(30.58)

d ^ B   m   dS = ^ c   ^ C   m   + ^ b   ^ A   m   ,

(30.59)

d ^ C   m   dS = ^ d   ^ D   m   - ^ c   ^ B   m   ,

(30.60)

d ^ D   m   dS =- ^ d   ^ C   m   ,

(30.61)

где

^ A   m   ^ A   m  =-1,    ^ B   m   ^ B   m  = ^ C   m   ^ C   m  = ^ D   m   ^ D   m  =1.

(30.62)

[^B]^m, [^C]^m, [^D]^m представляют собой первую вторую и третью нормали к G соответственно, а [^b], [^c], [^d] - первую, вторую и третью кривизны. d[^F]^m/dS - абсолютная производная контравариантного векторного поля F^m на кривой y^m(S), определяемая равенством

d ^ F   m   dS = d ^ F   m   d S +Gmab ^ F   a    d yb d S .

(30.63)

Пусть

^ A   m   =  d ym d S

(30.64)

есть мнимо единичный вектор, касательный к G. Тогда из уравнений (30.58), (30.62) определяются [^B]^m и [^b], из уравнений (30.59), (30.62) определяются [^C]^m и [^c] и из (30.60), (30.62) находим [^D]^m и [^d]. В силу соотношения (30.62) три вектора [^B]^m, [^C]^m, и [^D]^m - единичные и один [^A]^m - мнимоединичный. Установим, что они образуют ортогональный репер и удовлетворяют уравнению (30.61). Умножая уравнение (30.58) на [^A]^m и используя (30.62), имеем

^ A   m  ^ B   m   =0.

(30.65)

Аналогично

^ c   ^ B   m  ^ C   m   = ^ B   m  d ^ B   m   dS =0,    ^ B   m  ^ C   m   =0,

(30.66)

^ C   m  d ^ C   m   dS =0= ^ d   ^ C   m  ^ D   m   - ^ c   ^ C   m  ^ B   m   ,    ^ C   m  ^ D   m   =0.

(30.67)

Умножая (30.59) на [^A]^m, имеем

^ A   m  d ^ B   m   dS = ^ c   ^ C   m   ^ A   m  - ^ b   .

Дифференцируя (30.65), получаем

^ A   m  d ^ B   m   dS =- ^ B   m   d ^ A   m  dS =- ^ b   .

Откуда

^ C   m   ^ A   m  =0.

(30.68)

Остальные соотношения доказываются аналогично. Чтобы доказать справедливость формулы (30.61), замечаем, что любой вектор может быть разложен по реперу [^A]^m, [^B]^m, [^C]^m, [^D]^m и поэтому можно записать

d ^ D   m   dS =a ^ A   m   +b ^ B   m   + g ^ C   m   + d ^ D   m   .

(30.69)

Умножая это уравнение поочередно на [^A]^m, [^B]^m, [^C]^m, [^D]^m и используя уже доказанные условия ортогональности и уравнения (30.58) - (30.60), получаем

a=b=d=0,   g =- ^ d   ,

что удовлетворяет (30.61).

Рассмотрим кривую G, заданную уравнением y^m=y^m(S) и векторное поле [^V]^m, определенное на G. Если вектор [^V]^m переносится параллельно вдоль G, то его абсолютная производная обращается в нуль.

d ^ V   m   dS =0.

(30.70)

При этом ни длина вектора, ни его скалярное произведение не меняется. Кривая носит название геодезической, если всякий вектор касательный к этой кривой в какой-либо точке M остается к ней касательным при параллельном перенесении вдоль нее. В частности, если [^A]^m=dy^m/d S претерпевает параллельный перенос вдоль G и кривая неизотропная, то из равенства d[^A]^m/dS=0 следует уравнение геодезической

d2 ym d S2 +Gmne  dyn dS  dye dS =0.

(30.71)

Помимо параллельного переноса рассмотрим необходимый нам в дальнейшем перенос Ферми-Уолкера. Определим перенос Ферми-Уолкера вектора [^F]^m с помощью уравнения

d ^ F   m   dS = ^ b   ^ F   e  ( ^ A   m   ^ B   e   - ^ A   e   ^ B   m   ),

(30.72)

где [^b], [^A]^m, [^B]^e входят в формулы Френе-Серре, рассмотренные выше. Важное свойство переноса Ферми-Уолкера состоит в том, что в силу формул Френе-Серре, единичный касательный вектор к какой-либо кривой (негеодезической) автоматически претерпевает перенос Ферми-Уолкера. Этот перенос имеет сходство с параллельным переносом в смысле сохранения нормы вектора и скалярного произведения. Действительно

d d S ( ^ F   m  ^ F   m   )=2 ^ b   ^ F   m  ^ F   e  ( ^ A   m   ^ B   e   - ^ A   e   ^ B   m   )=0,

d d S ( ^ F   m  ^ K   m   )= ^ b   ( ^ F   m  ^ K   e  + ^ K   m  ^ F   e  )( ^ A   m   ^ B   e   - ^ A   e   ^ B   m   )=0.

(30.73)

Поскольку параллельный перенос определяется более простым уравнением, он в математическом отношении более фундаментален, чем перенос Ферми-Уолкера, однако последний оказывается более важным в некоторых физических ситуациях. Например, если мы возьмем тетраду на G так, что [^h]^m(4) останется касательным к G, то при переносе Ферми-Уолкера сохраняется не только [^h]^m(4) вдоль G, но сохраняется также ортонормированный 3-репер, ортогональный G. Это приводит к образованию пространственной системы отсчета для наблюдателя, движущегося в пространстве-времени вдоль G. Рассмотрим тетраду [^h]^m(a), подвергающуюся переносу Ферми-Уолкера вдоль G так, что

i ^ h   m   (4)= ^ A   m   .

(30.74)

Откуда следует с учетом (30.72), что

d ^ h   m   (a) dS =i ^ b   ( ^ h   m   (4) ^ B   (a)-d(a4) ^ B   m   ).

(30.75)

В частности

d ^ h   m   (4) dS =-i ^ b   ^ B   m   .

(30.76)

d ^ h   m   (k) dS =i ^ b   ^ h   m   (4) ^ B   (k).

(30.77)

Если перенос Ферми-Уолкера применить к вектору [^F]^m, ортогональному в некоторой точке на G к касательному вектору A^m, то эта ортогональность сохранится и в дальнейшем. Тогда уравнение (30.72) примет вид

d ^ F   m   dS = ^ b   ^ F   e  ^ A   m   ^ B   e   .

(30.78)

Это правило переноса впервые было сформулировано Ферми, поэтому соотношение (30.78) носит название переноса Ферми.

Рассмотрим нужные в дальнейшем некоторые свойства пространства с абсолютным параллелизмом. Таким пространством будем называть пространство, в котором результат параллельного переноса произвольного вектора [^(x)]^m из точки P в точку Q при любом выборе этих точек не зависит от пути перенесения РQ. Подобным свойством обладает, например, евклидово пространство. Выясним, существуют ли другие пространства с абсолютным параллелизмом и какие именно. Рассмотрим риманово пространство, в каждой точке которого в касательном (локальном) плоском пространстве располагаются аффинный и ортонормированный реперы [[^h]\vec]^m и [h\vec](a) соответственно. Объявим по определению, что во всех точках риманова пространства соответствующие тетрадные векторы [h\vec](a) являются параллельными. Рассмотрим некоторый вектор [(x)\vec]=x(a)[h\vec](a). Так как тетрадное поле [h\vec](a) задано и объявлено параллельным, то естественно считать, что при параллельном переносе вектора [(x)\vec] его компоненты x(a) в разных тетрадах одинаковы, т.е.

dp x(a)=0,

(30.79)

dp ^ x   m   =- - G   m sl  ^ x   l   d ys,

(30.80)

где связность [`(G)]^m_sl неизвестна. Найдем эту связность

dp x(a)=dp( ^ x   m   ^ h   m  (a))=0,

ж и - G   m sl  ^ h   m  (a) ^ h   n   (a)- ^ h   n   (a) ¶ ^ h   l  (a) ¶ys ц ш ^ x   l   d ys=0.

Откуда, в силу произвольности [^(x)]^l и d y^s, имеем

- G   m sl  = ^ h   m   (a) ¶ ^ h   l  (a) ¶ys .

(30.81)

Если выражение (30.81) подставить в риманов тензор кривизны, который выражается обычным образом в виде

Rstl.m=  ¶Gmsl ¶yt -  ¶Gmtl ¶ys +GmteGesl-GmseGetl

(30.82)

и заменить в этом тензоре G^m_sl® [`(G)]^m_sl, то

- R   m stl.  ( - G   ) є 0.

(30.83)

Таким образом, связность (30.81) является связностью пространства с абсолютным параллелизмом, так как результат параллельного переноса вектора [^(x)]^m в силу (30.83) не зависит от пути переноса. Из соотношения (30.81) следует, что [`(G)]^m_sl не является симметричной по нижним индексам. Поэтому можно построить тензор кручения, определяемый как

Csm.l=G[sm]l=  1 2 ж и ¶ ^ h   m  (a) ¶ys - ¶ ^ h   s  (a) ¶ym ц ш ^ h   l   (a).

(30.84)

Используя (30.41), находим взаимосвязь между тензором кручения и объектом неголономности

Csm.l= ^ h   l   (a) ^ C   sm  (a).

(30.85)

Таким образом, из равенства нулю тензора кривизны можно получить два решения: 1) плоское пространство, 2) выражение для связности в пространстве с абсолютным параллелизмом. Если потребовать равенства нулю тензора кручения, то пространство окажется плоским.

Исследуем метрику пространства, задаваемую в согласии с (30.42) выражением

^ g   mn  = ^ h   m   (a) ^ h   n  (a).

Подставляя это выражение в (30.46) и (30.82), получим, что тензор кривизны будет отличен от нуля, так как исходное пространство риманово. Рассматривая (30.43) и (30.83), замечаем, что полная риманова связность складывается из коэффициентов вращения Риччи и связности пространства с абсолютным параллелизмом, т.е.

Gsl.m= ^ D   m s,l.  + - G   m sl.  .

(30.86)

Поэтому наличие кривизны риманова пространства связано с отличием от нуля коэффициентов Риччи. Ясно, что связность абсолютного параллелизма можно ввести и в пространстве Минковского. В частности, в галилеевых координатах достаточно положить G_sl^m=0. Тот факт, что в этом случае коэффициенты Риччи и коэффициенты связности абсолютного параллелизма отличаются знаком, обусловлен тем, что при выводе последних мы объявили "параллельными" тетрадные векторы [h\vec](a), в то время как при выводе (30.12) параллельными векторами в буквальном смысле этого слова являются векторы [h\vec]_m.

Движение сплошной среды будем описывать сначала в пространстве Минковского, интервал в котором дается выражением (30.1). Выбор галилеевых координат для описания движения, вообще говоря, не является обязательным и при желании можно перейти к любой криволинейной системе координат, но так как галилеевы координаты имеют метрический смысл, то мы отдаем им предпочтение.

Каждой точке среды в пространстве Минковского соответствует своя мировая линия. Следовательно, для всей среды мы будем иметь конгруенцию мировых линий, характер которой зависит и от движения среды как целого, так и от деформаций, возникающих в среде. Если среда обладает тем свойством, что под действием приложенных сил меняет свою форму - деформируется и полностью восстанавливает свою форму после устранения причины, вызывающей деформацию, то такую среду будем называть упругой. (Математическое определение упругой среды дадим ниже).

Прежде, чем переходить к релятивистскому описанию движения сплошной среды, остановимся на классическом рассмотрении. Для описания движения сплошной среды существуют два метода - метод Лагранжа и метод Эйлера. Движение материальной точки в классической механике сплошной среды описывается при помощи уравнений

xi=xi(t),

(31.1)

где x_i - текущие координаты, t - время. Рассматривая частицу сплошной среды как материальную точку, приведенные уравнения опишут ее движение. Так как сплошную среду, непрерывным образом заполняющую пространство, можно представить состоящей из бесконечного множества точек, то для описания движения этих точек при помощи уравнений (31.1) необходимо ввести в них параметры a_k, характеризующие конкретную точку среды. Тогда уравнения движения точек можно записать в виде

xi=xi(ak,t).

(31.2)

В частности, параметры a_k, образующие трехмерный вектор, можно выбрать так, чтобы они определяли начальные координаты точек среды. Метод описания (31.2) носит название метода Лагранжа, а переменные a_k называются переменными Лагранжа.

Однако к вопросу о движении среды можно подойти и иначе. А именно, за объект изучения можно выбрать неподвижное пространство, заполненное движущейся средой, и изучать изменение различных элементов движения в фиксированной точке пространства, изучая изменение этих элементов как с течением времени, так и при переходе к другим точкам пространства. Тогда величины, характеризующие движение, рассматриваются как функции координат точки x_k и времени t. Этот метод был развит Эйлером, поэтому четыре аргумента x_k и t носят название переменных Эйлера. Разрешив уравнения (31.2) относительно a_k, получим

ak=ak(xi,t).

(31.3)

Если a_k характеризует начальное положение точки среды, то уравнения (31.3) указывают начальное положение той точки среды, которая находится в момент времени t в точке пространства x_k. При релятивистском рассмотрении уравнения (31.2) заменяются уравнениями

xm=xm(xn),

(31.4)

где x^k - лагранжевы координаты, определяющие начальные положения точек среды, постоянные вдоль каждой из мировых линий, x⁴ - любой удобный времениподобный параметр, изменяющийся вдоль мировых линий.

Наш подход к кинематике базируется на использовании лагранжевых сопутствующих систем отсчета [44], [5]. Действительно, наиболее естественным способом построения релятивистской кинематики является рассмотрение движения среды с точки зрения семейства пространственно подобных гиперповерхностей, ортогональных мировым линиям. Эти мировые линии и гиперповерхности образуют инвариантную структуру, не зависящую от выбора системы координат. Рассмотрение движения среды с позиции таких гиперповерхностей сводят задачи динамики к задачам статики, так как на гиперповерхностях среда всегда покоится. В разделе 30 был дан тетрадный формализм, который справедлив для произвольного тетрадного поля [^h]_m(a). Однако особый интерес для нас будут представлять тетрады, связанные с мировыми линиями. Пусть h_m(4) единичный вектор, направленный по касательной к мировой в некоторой точке. Так как движение сплошной среды описывается при помощи конгруенции мировых линий, то возникает поле единичных касательных векторов. Поле этих векторов, как очевидно, совпадает по направлению с полем 4-скорости V_m. Поэтому имеет место равенство

ihm(4)=Vm.

(31.5)

Как известно из [20], в случае движения среды без вращений, мировые линии образуют нормальную конгруенцию, т.е. существует семейство трехмерных гиперповерхностей, по отношению к которым мировые линии ортогональны. Согласно методу Лагранжа, введем четыре параметра y^a, первые три из которых y^k постоянны вдоль каждой мировой линии, а четвертый y⁴ - переменный (временной). В качестве временного параметра y⁴ выберем параметр, нумерующий ортогональные мировым мировым линиям гиперповерхности. При наличии вращений среды такой параметр будет неголономным, а при отсутствии - голономным.

Уравнения конгруенций мировых линий для голономных лагранжевых координат принимают вид

xm=xm(ya).

(31.6)

Вектор 4-скорости V_m в переменных Лагранжа определяется как

Vm=q  ¶xm ¶y4 ,

(31.7)

где скалярный множитель q выбирается здесь таким образом, что

Vm Vm=q2  ¶xm ¶y4  ¶xm ¶y4 =-1.

(31.8)

(Обратим внимание, что в силу выбранной в (30.1) метрики, 4-скорость нормируется в этом разделе на минус единицу, а не на единицу, как в (1.2)). Так как три лагранжевых параметра y^k характеризуют положения мировых линий частиц среды на гиперповерхностях, а y⁴ отсчитывается вдоль каждой мировой линии, то y^a, очевидно, являются скалярными функциями относительно глобальных преобразований Лоренца. Совокупность лагранжевых параметров y^k образует на любой фиксированной гиперповерхности y⁴=const деформируемую криволинейную координатную сетку, которая называется сопутствующей системой координат. Она, очевидно, будет изменяться в зависимости от y⁴. Как в классической механике сплошной среды [44], так и при релятивистском рассмотрении [5], [46], выбор такой системы координат при фиксированном y⁴ в нашей власти, но в следующий момент (y⁴+dy⁴) она уже не подвластна нам, так как она "вморожена" в среду и деформируется вместе с ней. Такую вмороженную в среду систему координат по аналогии с классической механикой сплошной среды [44] определим как сопутствующую систему. Координаты точек сплошной среды y^k на любой произвольной, но фиксированной гиперповерхности y⁴=const не изменяются, в то время как метрический тензор [^g]_kl на этих гиперповерхностях, отнесенный к системе координат y^k, вообще говоря, зависит от y⁴. Кроме голономных координат y^k на всякой фиксированной гиперповерхности y⁴=const возникают неголономные координаты x(k). Действительно, так как h_m(4) касательный вектор к мировой линии, то триада h_m(k) лежит в ортогональной к ней гиперповерхности. Поэтому система тетрад (31.5) является сопутствующей системой отсчета. Это можно доказать и математически, переходя от галилеева представления к тетрадному.

V(a)=hm(a)Vm=id(a4),   V(k)=0,   V(4)=i,

(31.9)

что и доказывает утверждение.

При изменении параметра y⁴ триады h_m(k), связанные с мировыми линиями частиц среды, в общем случае изменяются. Простейшим переносом, удовлетворяющим (31.5), т.е. оставляющим h_m(4) всегда касательным к мировой линии, является перенос Ферми-Уолкера (30.75), который в пространстве Минковского задается уравнениями

dhm(a) dS =  d hm(a) d S =ibhe(a)(hm(4)Be-he(4)Bm),

(31.10)

где b, B_e входят в уравнения Френе-Серре (30.58-30.62), записанные в пространстве Минковского. Так как триады переносятся по Ферми, то как известно из [20], их поле является той системой отсчета, которая позволяет обеспечить правильное релятивистское обобщение ньютоновского понятия "невращающейся системы отсчета". При поступательном движении элемент среды не поворачивается относительно осей переносимых по Ферми вдоль мировых линий.

Всякому вектору dy^k, соединяющему на некоторой гиперповерхности y⁴=const две соседние мировые линии, ставится в соответствие вектор dx(k)=h_m(k)dx_m, соединяющий эти же мировые линии. Координаты x(a) в отличие от y^a, x_a являются неголономными. Этими координатами можно пользоваться только локально (в бесконечно малой окрестности каждой точки). В отличие от произвольных криволинейных координат y^a, неголономные координаты сохраняют обычный метрический смысл, в то время как произвольные криволинейные координаты y^a его теряют. Поэтому все результаты, полученные в произвольных координатах, прежде чем сравнивать с опытом, необходимо выразить в локальной (связанной с наблюдателем) ортогональной системе координат. Так как локальные ортогональные преобразования столь важны, то естественно возникает вопрос, нельзя ли их сделать голономными?

Условия ортогональности

hm(a)hm(b)=d(ab)

и условия голономности

hm(a)=  ¶x(a) ¶xm ,

вытекающие из равенства нулю объекта неголономности (30.10), дают систему десяти дифференциальных уравнений

¶x(a) ¶xm  ¶x(b) ¶xm =d(ab),

которым должны удовлетворять четыре функции x(a)=f_a(x_m). Ясно, что это в общем случае невозможно.

Перейдем к рассмотрению деформаций, которые возникают при движении среды под действием сил. Наш "релятивистский" подход по форме и содержанию почти полностью эквивалентен классическому подходу, развиваемому в широко известной монографии Л.И. Седова [44]. Отличие нашего подхода от классического состоит в замене начального и актуального состояния среды на начальные и актуальные гиперповерхности, ортогональные мировым линиям частиц среды. Таким образом, "релятивизм" проявляется в замене ньютоновского времени t на параметр y⁴/ic, нумерующий ортогональные мировым линиям гиперповерхности.

Рассмотрим произвольные перемещения среды. Пусть {O, x_m} координаты событий различных точек континуума. Отметим четыре основные системы координат, которыми будем пользоваться.

1. Система {O, x₁, x₂, x₃, x₄} с векторным базисом h_m (30.2), (30.38), g_mn=d_mn, x₄=ict, -dS²=d_mndx_mdx_n выбирается как система отсчета, в которой определяется перемещение или движение. (Назовем ее системой наблюдателя).

2. Лагранжева система {M, y^k, [y\dot]⁴} с векторами базиса

¶ ® r   0  ¶yk = ® Ч h   k  ,    ¶ ® r   0  ¶ Ч y   4   = ® Ч h   4  ,

(31.11)

отвечающая положениям точек среды на некоторой начальной гиперповерхности [y\dot]⁴=const. В этой системе образы подвижных точек фиксированы. 4-радиус-вектор [r\vec]₀ соединяет начало координат СО с начальными координатами точек движущейся среды.

3. Лагранжева сопутствующая система {M, y^a с векторами базиса

¶ ® r   ¶ya = ® ^ h   a  ,

(31.12)

отвечающая измененным положениям точек среды на рассматриваемой (актуальной) гиперповерхности y⁴.

4. Эйлерова сопутствующая система, представляющая собой систему тетрад h_m(a), переносимых по Ферми-Уолкеру.

Как известно из классической механики сплошной среды [44], при изучении конечных перемещений необходимо пользоваться самым общим видом криволинейных координат. Однако для простоты базисы системы 1 [h\vec]_m и системы 4 [h\vec](a) можно фиксировать по выбору, в то время как базисы лагранжевых систем 2 [[h\dot]\vec]_k и 3 [[^h]\vec]_k не могут выбираться произвольно, так как они связаны друг с другом через свойства перемещения.

Рассмотрим две бесконечно близкие мировые линии движущегося континуума на некоторой произвольной, но фиксированной гиперповерхности y⁴=const: M(y¹, y², y³, y⁴) и Mў(y¹+dy¹, y²+dy², y³+dy³, y⁴). Пусть на начальной гиперповерхности [y\dot]⁴=const положение точки Mў по отношению к точке M определено бесконечно малым вектором d[r\vec]₀, а на гиперповерхности y⁴ (в силу непрерывности) бесконечно малым вектором d[r\vec]. Из определения базисов (31.11) и (31.12) имеем

d ® r   0  = ¶ ® r   0  ¶yk dyk= ® Ч h   k  dyk,    d ® r   = ¶ ® r   ¶yk dyk= ® ^ h   k  dyk.

(31.13)

Для начального и деформированного состояния получаем

dl02=(d ® r   0  ·d ® r   0  )=( ® Ч h   k  · ® Ч h   l  )dykdyl = Ч g   kl  dykdyl,

Ч g   kl  =( ® Ч h   k  · ® Ч h   l  )= ¶ Ч x   m  ¶yk ¶ Ч x   m  ¶yl ,    Ч x   m  = Ч x   m  (yk, Ч y   4   )

(31.14)

dl2=(d ® r   ·d ® r   )=( ® ^ h   k  · ® ^ h   l  )dykdyl = ^ g   kl  dykdyl,

^ g   kl  =( ® ^ h   k  · ® ^ h   l  )=  ¶xm ¶yk  ¶xm ¶yl ,   xm=xm(yk,y4)

(31.15)

Деформацию удобно определить следующим образом

dl2-dl02=( ^ g   kl  - Ч g   kl  )dykdyl=2ukldykdyl,

(31.16)

где

ukl=  1 2 ( ^ g   kl  - Ч g   kl  ).

(31.17)

Здесь [^g]_kl - метрический тензор на гиперповерхности y⁴=const, [g\dot]_kl - метрический тензор на начальной гиперповерхности [y\dot]⁴=const. u_kl можно рассматривать как ковариантные компоненты тензора относительно лагранжевых переменных y^k на фиксированных актуальной или начальной гиперповерхностях. Коэффициенты матрицы u_kl являются скалярными функциями относительно преобразований Лоренца. Так как закон движения (31.6) известен, а лагранжевы параметры y^a - голономны, то разрешив систему (31.6) относительно y^a, получим

ya=ya(xm).

(31.18)

Воспользовавшись (31.6) и (31.18), представим тензоры деформаций (31.17), отнесенными к лагранжевой сопутствующей системе координат и к начальной гиперповерхности соответственно

^ u   kl  =  1 2 ж и  ¶xm ¶yk  ¶xm ¶yl - Ч g   kl  ц ш ,

(31.19)

Ч u   kl  =  1 2 ж и ^ g   kl  - ¶ Ч x   m  ¶yk ¶ Ч x   m  ¶yl ц ш .

(31.20)

Переходя от лагранжевой сопутствующей системы к системе наблюдателя, получим после несложных вычислений

Umn= ^ u   kl  hkm hln =  1 2 ж и g*mn- Ч g   kl   ¶yk ¶xm  ¶yl ¶xn ц ш ,

(31.21)

g*mn=dmn+Vm Vn

(31.22)

Тензор относительно глобальных преобразований Лоренца g^*_mn совпадает с оператором проектирования или проекционным, введенным нами ранее в (10.67). Однако в силу выбранной нами в этом разделе нормировки 4-скорости и введенной метрики, в форме записи имеются непринципиальные различия. Рассмотрим более подробно свойства этого оператора.

g*mnVn є 0,   g*a1a2g*a2a3...g*an-1an=g*a1an.

(31.23)

В последнем соотношении по индексам a₂,...a_n-1 произведено суммирование. Оператор проектирования проектирует любой 4-вектор F_m на гиперповерхность, ортогональную мировым линиям. Действительно

g*meFm=Pe=Fe+VeVm Fm,   PeVe=FeVe-Vm Fm = 0.

(31.24)

От системы наблюдателя можно перейти к сопутствующим тетрадам, т.е. к сопутствующей системе Эйлера

U(ab)=Umnhm(a)hn(b)

(31.25)

Из свойств проекционного оператора и постоянства лагранжевых координат y^k вдоль каждой из мировых линий частиц среды, т.е. из равенства

Vm  ¶yk ¶xm =  d yk d S =0

следует, что тензор U_mn ортогонален 4-скорости V_n. Отсюда в силу симметрии U_mn имеет лишь шесть независимых компонент. Так же шесть независимых компонент имеет тензор в локальных тетрадах U(ab), поскольку ih_m(4)=V_m.

U(4k)=U(44)=0,   U(ab) =  1 2 ж и d(ab) - Ч g   kl   ¶yk ¶x(a)  ¶yl ¶x(b) ц ш .

(31.26)

Тензор U(ab) в локальных тетрадах является аналогом тензора Альманси для конечных деформаций в нерелятивистском приближении [129]. Шесть независимых компонент U(ab) представляют собой скалярные функции относительно преобразований Лоренца. Тензор Альманси U_mn относительно лоренцевых преобразований, отнесенный к пространству Минковского, является релятивистским обобщением его классического выражения. Он содержит десять отличных от нуля компонент, из которых шесть независимых.