Глава 9
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
В этой главе выведено релятивистское уравнение неразрывности
и найдено его решение. На основе вариационного принципа Лагранжа построена
релятивистская динамика изотропного упругого континуума. Получен
релятивистский закон Гука и показано, что механическая система уравнений,
описывающая поведение релятивистского изотропного упругого континуума,
является замкнутой. В качестве примеров решена задача о распространении
плоских волн в неограниченной изотропной движущейся среде и в рамках СТО
найден аналог жесткого "равноускоренного" движения континуума, приведший
к концепции Борна.
35. Плотность среды. Уравнение неразрывности
Важной характеристикой сплошной среды является ее плотность. Для определения
последней рассмотрим на некоторой произвольной, но фиксированной
гиперповерхности y4=const малый объем DV. Масса выделенного
объема на этой гиперповерхности есть Dm. Тогда плотностью среды на
данной гиперповерхности, ортогональной мировым линиям, назовем величину
r*, определяемую равенством
r*= |
lim
DV® 0
|
|
Dm
DV
|
= |
d m
d V
|
. |
| (35.1) |
Так как r* определяется на ортогональной мировым линиям частиц среды
гиперповерхности, то она является инвариантной плотностью той части массы
покоя, которая при движении не меняется. Пусть объем d V является объемом
некоторого параллелепипеда, построенным из бесконечно малых векторов
d x(i), dx(i), Dx(i). Согласно известному соотношению аналитической
геометрии, объем этого параллелепипеда есть
d V=e(ijk)d x(i)dx(j)Dx(k). |
| (35.2) |
Так как мы применяем только правосторонние системы координат, то d V
является истинным скаляром относительно преобразований триад [h\vec](k).
e(ijk) - единичный, совершенно антисимметричный псевдотензор, для которого
справедливы следующие известные соотношения [7].
e(123)=1, e(ijk)=e(jki)=e(kij) = |
|
-e(jik)=-e(kji)=-e(ikj), e(abc)e(lmn) = |
|
= d(al)d(bm)d(cn)+d(am)d(bn)d(cl)+d(an)d(bl)d(cm)- |
|
-d(al)d(bn)d(cm)- d(an)d(bm)d(cl)- d(am)d(bl)d(cn), |
|
e(abn)e(lmn) = d(al)d(bm)-d(am)d(bl), |
|
e(amn)e(lmn)=2d(al), e(lmn)e(lmn)=6. |
| (35.3) |
Частицы среды, имеющие на актуальной гиперповерхности объем d V, на
начальной гиперповерхности [y\dot]4=const занимали объем d [V\dot].
d |
Ч
V
|
=e(ijk)d |
Ч
x
|
(i)d |
Ч
x
|
(j)D |
Ч
x
|
(k). |
| (35.4) |
Так как вектор d[x\dot](i) лежит на начальной гиперповерхности,
то его выражение в компонентах есть
d |
Ч
x
|
(i)= |
Ч
h
|
p
|
(i)d yp. |
| (35.5) |
Как известно, детерминант D матрицы некоторого тензора T(pq)
можно записать в виде
D= |
1
6
|
e(ijk)e(pqr)T(ip)T(jq)T(kr). |
| (35.6) |
Кроме того, для этого детерминанта имеют место эквивалентные соотношения,
а именно
D=e(ijk)T(i1)T(j2)T(k3)=e(ijk)T(1i)T(2j)T(3k). |
| (35.7) |
Из последнего соотношения следует равенство
e(pqr)D=e(ijk)T(ip)T(jq)T(kr)=e(ijk)T(pi)T(qj)T(rk). |
| (35.8) |
Используя (35.8), представим (35.4) в форме
d |
Ч
V
|
=e(ijk) |
Ч
h
|
p
|
(i) |
Ч
h
|
q
|
(j) |
Ч
h
|
r
|
(k)d yp dyq Dyr = |
det
| || |
Ч
h
|
n
|
(m) ||epqrd yp dyq Dyr. |
| (35.9) |
На начальной гиперповерхности имеет место равенство
|
Ч
h
|
n
|
(4)=0, |
Ч
h
|
n
|
(m) |
Ч
h
|
k
|
(m)= |
Ч
g
|
nk
|
. |
| (35.10) |
Откуда
|
det
| || |
Ч
g
|
nk
|
||= |
det
| || |
~
|
m
|
(k)|| |
det
| || |
Ч
h
|
n
|
(m)||=( |
det
| || |
Ч
h
|
n
|
(m)||)2, |
|
Поэтому
|
det
| || |
Ч
h
|
n
|
(m)||= |
ж Ц
|
|
є |
ж Ц
|
|
. |
| (35.11) |
Откуда имеем
d |
Ч
V
|
= |
ж Ц
|
|
epqrd yp dyq Dyr. |
| (35.12) |
Так как на начальной и актуальной гиперповерхностях лагранжевы координаты
частиц одинаковы, то dyp можно рассматривать как функции тетрадных
переменных Эйлера на актуальной гиперповерхности y4=const, т.е.
d |
Ч
V
|
= |
ж Ц
|
|
epqr |
¶yp
¶x(i)
|
|
¶yq
¶x(j)
|
|
¶yr
¶x(k)
|
d x(i)dx(j) Dx(k) = |
|
= |
ж Ц
|
|
|
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶yn
¶x(m)
|
|
к к
|
|
к к
|
dV, |
| (35.13) |
где при выводе воспользовались (35.2) и (35.8).
Из сохранения элемента массы покоя (без учета упругого взаимодействия,
которое будет рассмотрено далее) на начальной и актуальной гиперповерхностях
следует
что дает
r* = r0* |
ж Ц
|
|
|
det
| ||an(m)||,
an(m) є |
¶yn
¶x(m)
|
. |
| (35.15) |
Здесь r0* - плотность среды в естественном недеформированном
состоянии, отнесенная к начальной ортогональной мировым линиям
гиперповерхности и являющаяся поэтому (как и r*) инвариантной плотностью.
Докажем следующую теорему:
Плотность r*=r0*Ц{[g\dot]}det||an(m)||
удовлетворяет уравнению неразрывности, т.е. имеет место равенство
Доказательство.
На произвольной фиксированной гиперповерхности имеет место равенство
|
¶x(k)
¶yb
|
|
¶yb
¶x(l)
|
=d(kl). |
| (35.17) |
Дифференцируя равенство по s и умножая на ¶yn/¶x(k),
получим
- |
¶yn
¶x(k)
|
|
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶x(k)
¶yb
|
|
ц ш
|
|
¶yb
¶x(l)
|
= |
¶x(k)
¶yb
|
|
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶yb
¶x(l)
|
|
ц ш
|
|
¶yn
¶x(k)
|
= |
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶yn
¶x(l)
|
|
ц ш
|
, |
| (35.18) |
|
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶x(k)
¶yb
|
|
ц ш
|
= |
d ha(k)
d s
|
|
¶xa
¶yb
|
+ha(k) |
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶xa
¶yb
|
|
ц ш
|
. |
| (35.19) |
В силу переноса Ферми, который используется нами при переносе триад вдоль
мировых линий, имеем
|
d ha(k)
d s
|
|
¶xa
¶yb
|
=b Bshs(k)Va |
¶xa
¶yb
|
=0. |
|
Поэтому (35.19) представляется в форме
|
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶x(k)
¶yb
|
|
ц ш
|
= ha(k)q |
¶
¶y4
|
|
ж и
|
|
¶xa
¶yb
|
|
ц ш
|
= ha(k)q |
¶
¶yb
|
|
ж и
|
|
¶xa
¶y4
|
|
ц ш
|
= |
|
= ha(k)q |
¶
¶yb
|
|
ж и
|
|
Va)
q
|
|
ц ш
|
=ha(k)qVa |
¶
¶yb
|
|
ж и
|
|
1
q
|
|
ц ш
|
+ha(k) |
¶Va
¶yb
|
=ha(k) |
¶Va
¶yb
|
. |
| (35.20) |
Подставляя последнее соотношение в (35.18), находим
|
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶yn
¶x(l)
|
|
ц ш
|
= - |
¶yn
¶x(k)
|
|
¶yb
¶x(l)
|
ha(k) |
¶Va
¶yb
|
= -ha(k) |
¶yn
¶x(k)
|
|
¶Va
¶x(l)
|
, |
|
т.е.
|
d
d s
|
(an(l)) = -an(k)ha(k) |
¶Va
¶x(l)
|
. |
| (35.21) |
Используя (35.7), представим плотность r* в виде
r*= |
ж Ц
|
|
epqrap(1) aq(2) ar(3). |
| (35.22) |
Найдем изменение плотности r* вдоль мировых линий. Так как начальное
состояние фиксировано, то d (Ц{[g\dot]})/d s=0. Поэтому, воспользовавшись
(35.21), находим
|
d r*
d s
|
= -r0* |
ж Ц
|
|
epqr |
ж и
|
ap(k)ha(k) |
¶Va
¶x(1)
|
aq(2) ar(3)+ |
|
+ap(1) ar(3) aq(k)ha(k) |
¶Va
¶x(2)
|
+ap(1) aq(2) ar(k)ha(k) |
¶Va
¶x(3)
|
|
ц ш
|
= |
|
= -r0* |
ж Ц
|
|
epqrap(1) aq(2) ar(3)ha(k) |
¶Va
¶x(k)
|
= -r*g*as |
¶Va
¶xs
|
= -r* |
¶Va
¶xa
|
. |
| (35.23) |
Из последнего соотношения следует
|
d r*
d s
|
+r* |
¶Va
¶xa
|
= Ve |
¶r*
¶xv
|
+r* |
¶Ve
¶xv
|
= |
¶
¶xe
|
(r* Ve)=0, |
|
что и доказывает теорему.
Приведем второй способ доказательства теоремы. Для этого перепишем
(35.14) в другой эквивалентной форме.
Так как
то
|
det
| ||an(m)||= |
1
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶x (m)
¶yl
|
|
к к
|
|
к к
|
|
, |
|
|
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶x (m)
¶yl
|
|
к к
|
|
к к
|
= |
det
| |
к к
|
|
к к
|
hm(m) |
¶xm
¶yl
|
|
к к
|
|
к к
|
= |
det
| || |
^
h
|
l
|
(m)||. |
|
С другой стороны
|
^
g
|
ln
|
= |
^
h
|
l
|
(n) |
^
h
|
n
|
(n)= |
^
h
|
l
|
(k) |
^
h
|
n
|
(k)+ |
^
h
|
l
|
(4) |
^
h
|
n
|
(4) = |
^
h
|
l
|
(k) |
^
h
|
n
|
(k), |
|
поскольку
|
^
h
|
l
|
(4)=he(4) |
¶xe
¶yl
|
= |
Ve
i
|
|
¶xe
¶yl
|
=0 |
|
в силу условия ортогональности 4-скорости Ve актуальной гиперповерхности.
Поэтому
|
det
| || |
^
h
|
l
|
(m)||= |
ж Ц
|
|
є |
ж Ц
|
|
,
r*=r0* |
ж ъ
Ц
|
|
. |
| (35.14a) |
Соотношение (35.14а) представляет собой уравнение неразрывности в
переменных Лагранжа. Оно имеет точно такой же вид, как и в классической
механике сплошной среды [44]. Разница между классическим и релятивистским
уравнением неразрывности в переменных Лагранжа состоит в том, что [^g]kl
и [g\dot]kl метрические тензоры на начальной и актуальной
гиперповерхностях, ортогональных мировым линиям, в то время как при
классическом описании эти же тензоры задаются гиперплоскостях одновременных
событий (актуальной и начальной).
От уравнений неразрывности в форме Лагранжа перейдем к уравнениям в форме
Эйлера. Дифференцируя (35.14а) по s, имеем
|
d r*
d s
|
=- |
1
2
|
r0* |
ж Ц
|
|
|
^
g
|
-3/2
|
|
d s
|
,
|
d s
|
= |
|
|
¶s
|
=Aik |
¶s
|
, |
|
где Aik - алгебраическое дополнение элемента [^g]ik. С другой
стороны, Aik=[^g][^g]ik. Кроме того, используя соотношение (34.24),
получаем
|
d r*
d s
|
=-r0*sab |
¶xa
¶yi
|
|
¶xb
¶yk
|
|
^
g
|
ik
|
. |
|
Так как
|
^
g
|
ik
|
= |
¶yi
¶xn
|
|
¶yk
¶xn
|
, |
|
то
|
d r*
d s
|
=-r0*sabg*ang*bn = -r0*snn=-r0* |
¶Vn
¶xn
|
. |
|
Откуда снова имеем (35.16).
Из последнего соотношения следует, что при жестком в смысле Борна движении
плотность r* вдоль мировых линий остается неизменной.
Из соотношения (35.16) выведем интегральный закон сохранения. Проинтегрируем
(35.16) по четырехобъему
В результате получим
Используя теорему Гаусса, интегрируя последнее соотношение по объему
неограниченно расширяющемуся в пространственно подобных направлениях и
ограниченному во временно подобных направлениях двумя трех-плоскостями
x4ў=const и x4ўў=const и считая, что на границах пространственного
объема подинтегральное выражение обращается в нуль, имеем
|
у х
|
|
¶
¶xn
|
(r* Vn)dØ = | у (з) х
| r* Vn d Sn=0. |
|
Интеграл по замкнутой поверхности, ограничивающий четырехобъем,
разобъем на три интеграла:
| у (з) х
| r* Vn d Sn= |
у х
|
r* Vk dSk+ |
у х
|
r* V4 dS4ў- |
у х
|
r* V4 dS4ўў=0. |
|
так как интегрирование происходит по бесконечно удаленной поверхности,
ограничивающий пространственный объем, где вещество отсутствует.
Поэтому имеем
|
у х
|
r* V4 dS4ў = |
у х
|
r* V4 dS4ўў, |
| (35.26) |
где dS4=dV=dx1dx2dx3. Откуда получим
|
у х t=t1
|
r* V4 dV = |
у х t=t2
|
r* V4 dV. |
| (35.27) |
Иными словами тr* V4 dV, рассмотренный в любой момент времени
t, сохраняется, т.е. имеет место равенство.
M*=-i |
у х
|
r* V4 dV= |
у х
|
r* dV*=const, |
| (35.28) |
где dV* - элемент собственного объема в сопутствующей системе Эйлера.
Равенство (35.38) выражает закон сохранения массы покоя тела.
36. Вариационный принцип Лагранжа для изотропной упругой среды
Если вопросам релятивистской гидродинамики и газовой динамики в литературе
уделяется достаточно много внимания, то вопросы, связанные с релятивистской
теорией упругости, рассматриваются значительно реже. При этом, большинство
авторов подходят к рассмотрению проблемы с позиций ОТО. Однако, представляет
интерес рассмотреть эту проблему с позиций СТО.
Вариационные методы в релятивистской механике сплошных сред развиты
в работах Л.И. Седова и его учеников (см., например, [5]
и литературу к ней), К.П. Станюковича [133].
Во многих задачах механики сплошной среды можно не учитывать термических
процессов и ограничиться только чисто механическим рассмотрением.
Помимо этого будем рассматривать для простоты только изотропные тела.
Для
выводов основных законов движения упругой среды воспользуемся вариационным
принципом, предполагая, что упругой среде как некоторой обобщенной
динамической системе может быть сопоставлена функция Лагранжа, представляющая
собой объемный интеграл от плотности функции Лагранжа L. Последняя зависит
от функций поля ym и их первых производных по эйлеровым координатам и
времени. Интеграл от функции Лагранжа по времени называется действием. Оно
может быть представлено в виде интеграла от L по четырехмерному объему
Ø, где dØ определяется соотношением (35.24). Действие S представим в
виде
Мы предполагаем, что действие должно быть экстремальным для действительного
движения, т.е. для таких значений ym, которые должны удовлетворять
"уравнениям поля". Так как эти уравнения должны быть релятивистски
инвариантными, то релятивистским инвариантом должна быть функция L.
При выводе общих соотношений, в которых плотность лагранжиана не
конкретизируется, мы следуем известным методам, разработанным в классической
и квантовой теории поля, например, в работах [131], [7], [132], [109].
Часто в качестве лагранжиана в механике сплошных сред выбирается давление,
которое является скаляром относительно преобразований Лоренца.
Следуя В.А. Фоку [3], в качестве плотности функции Лагранжа
выбираем инвариант, определяемый равенством
где r* определяется (35.22). P - потенциальная энергия упругого
сжатия единицы массы, рассматриваемая на актуальной гиперповерхности (как
и r*) и являющаяся поэтому скаляром относительно преобразований
Лоренца. Лагранжиан, подобный (36.2), рассматривался В.А. Фоком [3]
при выводе релятивистских уравнений идеальной жидкости, однако в нашем случае
"функциям поля" ym приписывается другой физический смысл, чем в работе
[3]. Под "полевыми функциями" ym, в силу рассматриваемой нами кинематики,
мы понимаем четыре скалярные относительно глобальных преобразований Лоренца
функции, первые три из которых yk постоянны вдоль каждой мировой линии,
а y4 постоянен на каждой фиксированной гиперповерхности, ортогональной
мировым линиям. Величины ¶ym/¶xe представляют собой компоненты
смешанного тензора, так как xe принадлежит пространству Минковского,
а ym к лагранжевой сопутствующей системе.
Действительно, пусть, например xe=xe(xўa), тогда
|
¶ym
¶xўa
|
= |
¶ym
¶xe
|
|
¶xe
¶xўa
|
. |
| (36.3) |
Таким образом ¶ym/¶xe при преобразованиях xe=xe(xўa)
ведет себя как совокупность ковариантных векторов.
Пусть yўm=yўm(ya). Тогда
d yўm= |
¶yўm
¶ya
|
|
¶ya
¶xe
|
dxe,
|
¶yўm
¶xe
|
= |
¶yўm
¶ya
|
|
¶ya
¶xe
|
. |
| (36.4) |
Следовательно, ¶ym/¶xe при преобразованиях yўm=yўm(ya)
ведут себя как совокупность контравариантных векторов.
Общая вариация действия (36.1) связана с варьированием как полевых функций
ym, так и границы области интегрирования. Рассмотрим, прежде всего,
вариацию действия при закрепленных границах, предполагая, что вариация
полевых функций dym на границе равна нулю.
dS=- |
i
c
|
|
у х
|
|
ж и
|
|
¶L
¶ym
|
dym+ |
¶L
|
d |
ж и
|
|
¶ym
¶xe
|
|
ц ш
|
|
ц ш
|
dØ = |
|
= - |
i
c
|
|
у х
|
|
ж и
|
|
¶L
¶ym
|
dym+ |
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
dym |
ц ш
|
- |
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
ц ш
|
dym |
ц ш
|
dØ = 0. |
| (36.5) |
Рассмотрим отдельно второй член, т.е.
|
у х
|
|
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
dym |
ц ш
|
dØ = | у (з) х
| |
¶L
|
dym dSe=0, |
| (36.6) |
где мы применили теорему Гаусса, заменив интеграл по четырехобъему интегралом
по поверхности, охватывающий этот объем. Но вариация на границе области по
предположению равна нулю, так как мы варьировали при закрепленных границах.
Поэтому интеграл (36.6) обращается в нуль.
Откуда следует, что
dS=- |
i
c
|
|
у х
|
|
ж и
|
|
¶L
¶ym
|
- |
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
ц ш
|
|
ц ш
|
dym dØ = 0. |
| (36.7) |
В силу произвольности dym находим следующие "уравнения движения"
("уравнения поля")
|
¶L
¶ym
|
- |
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
ц ш
|
=0. |
| (36.8) |
Этим уравнениям, физический смысл которых выясним позже, должно удовлетворять
действительное движение среды.
Рассмотрим теперь вариацию действия, считая, что и область интегрирования
Ø подвергнута вместе с "волновым полем" бесконечно малому преобразованию,
считая по-прежнему, что вариация dS=0. Рассмотрим бесконечно малое
преобразование координат
dxm=Xmhdøh, (h = 1,2,3...s), |
| (36.10) |
где døh - бесконечно малые параметры.
При таком преобразовании "функции поля" ym(xe) переходят в
функции yўm(xўe), т.е.
ym(xe)® yўm(xўe)=ym(xe)+dym(xe), |
| (36.11) |
где
Полная вариация dym обусловлена как вариацией формы [`(d)]ym,
так и вариацией координат, т.е.
|
-
d
|
ym=dym- |
¶ym
¶xe
|
dxe= |
ж и
|
ymh - |
¶ym
¶xe
|
Xeh |
ц ш
|
døh. |
| (36.13) |
Полная вариация действия dS может быть представлена в виде
dS=- |
i
c
|
d |
у х
|
LdØ = - |
i
c
|
|
ж и
|
|
у х
|
dLdØ+ |
у х
|
Ldd Ø |
ц ш
|
=0, |
| (36.14) |
dL= |
-
d
|
L+ |
dL
¶xe
|
dxe = |
¶L
¶yn
|
|
-
d
|
yn+ |
¶L
|
|
-
d
|
|
ж и
|
|
¶yn
¶xe
|
|
ц ш
|
+ |
dL
¶xe
|
dxe, |
| (36.15) |
Откуда
dS=- |
i
c
|
|
у х
|
|
й л
|
|
¶L
¶yn
|
|
-
d
|
yn+ |
¶L
|
|
¶
¶xe
|
|
-
d
|
yn+ |
dL
¶xe
|
dxe+L |
¶dxe
¶xe
|
|
щ ы
|
dØ = 0. |
| (36.17) |
При выводе последнего соотношения мы учли, что операторы [`(d)] и
¶/¶xe коммутируют.
В силу уравнений движения (36.8) и (36.13) получаем
dS=- |
i
c
|
|
у х
|
|
¶
¶xe
|
|
й л
|
|
¶L
|
|
ж и
|
ynh- |
¶yn
¶xs
|
Xsh |
ц ш
|
+ LXeh |
щ ы
|
døh dØ = 0, |
| (36.18) |
что эквивалентно соотношению (теорема Э. Нетер [131])
где
|
-
Q
|
he
|
є |
¶L
|
|
ж и
|
ynh- |
¶yn
¶xs
|
Xsh |
ц ш
|
+ LXeh. |
| (36.20) |
Используя теорему Гаусса, интегрируя соотношение (36.19) по объему
неограниченно расширяющемуся в пространственно подобных направлениях и
ограниченному во временно подобных направлениях двумя трех-плоскостями
x4ў=const и x4ўў=const и считая, что на границах пространственного
объема подинтегральное выражение обращается в нуль, имеем
где при выводе использовали тот же метод, что и при выводе закона сохранения
массы покоя (35.28).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
37. Тензор энергии-импульса и уравнения движения
Пусть преобразование (36.9) соответствует бесконечно малым смещениям
(трансляциям) координат, т.е.
dxm=døm, Xmh=dmh, (m,h = 1,2,3,4). |
| (37.1) |
Так как ym представляет собой совокупность скалярных функций
относительно преобразований (36.9), то
yўm(xўs)-ym(xs)=0=dym=ymhdøh. |
| (37.2) |
Из последнего соотношения вытекает
что приводит выражение для (36.20) к виду
|
-
Q
|
me
|
=Tmn = Ldmn- |
¶L
|
|
¶yb
¶xm
|
, |
| (37.4) |
Pm=- |
i
c
|
|
у х
|
Tm4 d V=const, |
| (37.6) |
Тензор Tmn, определенный соотношением (37.4), носит название
канонического тензора энергии-импульса.
Сохраняющийся 4-вектор Pm называется четырех-вектором энергии-импульса.
Компонента
|
c
i
|
P4=- |
у х
|
T44 d V=const |
|
представляет собой полную энергию системы, а
Pk=- |
i
c
|
|
у х
|
Tk4 d V=const |
|
выражает закон сохранения импульса замкнутой системы. Отметим, что в общем
случае тензор Tmn не является симметричным.
Применим развитый выше формализм для отыскания тензора энергии-импульса
упругой среды. Для этого в соотношение (37.4) подставим плотность функции
Лагранжа L из (36.2), введя для краткости обозначение
Вычислим
|
¶L
¶abn
|
=-c2 |
¶r*
¶abn
|
|
ж и
|
1+ |
P
c2
|
|
ц ш
|
-r* |
¶P
¶abn
|
. |
| (37.7) |
Используя выражение (35.22), находим
|
¶r*
¶abn
|
= |
¶r*
¶ai(k)
|
|
¶ai(k)
¶abn
|
= |
¶r*
¶ai(k)
|
he(k)dibden = r0* |
ж Ц
|
|
epqrhn(k)dib· |
|
·[d(1k)dpi aq(2) ar(3)+d(2k)dqi ap(1) ar(3)+d(3k)dri ap(1) aq(2)], |
| (37.8) |
|
¶r*
¶abn
|
abn = r0* |
ж Ц
|
|
epqrhn(k)hm(l) |
¶yi
¶x(l)
|
·[d(1k)dpi aq(2) ar(3)+ |
|
+d(2k)dqi ap(1) ar(3)+d(3k)dri ap(1) aq(2)] = r0* |
ж Ц
|
|
epqrhn(k)hm(l)· |
|
·[d(1k)ap(l)aq(2) ar(3)+d(2k)aq(l)ap(1) ar(3)+ |
|
+d(3k)ar(l)ap(1) aq(2)] = r0* |
ж Ц
|
|
epqrap(l)aq(2) ar(3)· |
|
·[hn(1)hm(1)+hn(2)hm(2)+hn(3)hm(3)]=r*g*mn. |
| (37.9) |
Рассмотрим выражение
r* |
¶P
¶abn
|
¶abm = r* |
¶P
¶ai(k)
|
|
¶ai(k)
¶abn
|
abm = |
|
r* |
¶P
¶ai(k)
|
dibhn(k) |
¶yb
¶x(l)
|
hm(l) = r* |
¶P
¶ai(k)
|
ai(l) hn(k)hm(l). |
| (37.10) |
При выводе мы использовали соотношения
|
¶yi
¶xm
|
= |
¶yi
¶x(a)
|
hm(a) = |
¶yi
¶x(4)
|
hm(4)+ |
¶yi
¶x(l)
|
hm(l), |
|
в котором
|
¶yi
¶x(4)
|
= |
1
i
|
|
¶yi
¶s
|
=0, |
|
так как лагранжевы координаты не меняются вдоль мировых линий.
Если ввести обозначение
r* |
¶P
¶ai(k)
|
ai(l) є - S(kl), |
| (37.11) |
то можно увидеть, что тензор S(kl) в локальных тетрадах
совпадает с известным выражением для тензора напряжений в классической
теории упругой среды в декартовых координатах [129], с той лишь разницей,
что переменные Эйлера xk заменяются на тетрадные сопутствующие переменные
Эйлера x(k).
Используя проделанные вычисления, получаем для тензора энергии-импульса
выражение
Tmn=eVm Vn-Smn, e
=-L
= |
ж Ц
|
|
r0*c2 |
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶yi
¶x(k)
|
|
к к
|
|
к к
|
|
ж и
|
1+ |
P
c2
|
|
ц ш
|
, |
| (37.12) |
где Smn - тензор напряжений, отнесенный к пространству Минковского.
Соотношение (37.12) совпадает с общим выражением работы [20], в которой
величина e и Smn не конкретизируется. Требования, которые в [20]
накладываются на тензор напряжений,
в нашем случае выполняются тождественно, что следует из ортогональности
тетрад вида
hm(k)Vm=ihm(k)hm(4)=id(k4)=0. |
|
Кроме того, для тензора Tmn имеют место очевидные соотношения
e=ТmnVm Vn, -Sab=g*alg*bnTln. |
| (37.15) |
Последние соотношения совпадают с аналогичными разложениями при отсутствии
тепловых потоков, полученными в работах [134], [135].
По аналогии с классической механикой сплошной среды введем понятие
упругого потенциала E или плотности энергии в единице собственного объема,
который связан с потенциальной энергией упругого сжатия P при помощи
соотношения
Рассматривая в соотношении (37.11) P как функцию тензора Коши в локальных
тетрадах (31.27), имеем
S(kl)=-r* |
¶P
¶C(ab)
|
|
¶C(ab)
¶ai(k)
|
ai(l) = - |
2r*
r0*
|
|
¶E
¶C(ak)
|
C(al). |
| (37.17) |
Так как мы рассматриваем здесь только изотропные среды, то, как известно
из классической теории сплошных сред [44], [129], упругий потенциал можно
представить как функцию основных инвариантов какого-либо тензора
деформаций, например, тензора Коши. Известно также, что любой симметричный
тензор второго ранга может иметь не более трех независимых инвариантов.
В частности, основными инвариантами Ik тензора Коши C(ab) будут в
согласии со [129] выражения
I1=C(aa), I2=- |
1
2
|
e(ipq)e(irs)C(pr)C(qs), |
|
I3= |
1
6
|
e(ijk)e(pqr)C(ip)C(jq)C(kr). |
| (37.18) |
Из последнего соотношения вытекают равенства
|
¶I1
¶C(ij)
|
=d(ij), |
¶I2
¶C(ij)
|
=C(ij)- C(kk)d(ij), |
|
|
¶I3
¶C(ij)
|
= C(ip)C(pj)-I1C(ij)-I2 d(ij). |
| (37.19) |
Для дальнейших вычислений рассмотрим уравнение Гамильтона-Кэли,
справедливое для любого симметричного тензора K(ab), а именно
K(ip)K(pq)K(qj)=K1 K(ip)K(pj)+K2 K(ij)+K3 d(ij), |
| (37.20) |
где Ki - основные инварианты тензора K(ip).
В частности, для тензора Коши уравнение Гамильтона-Кэли дает
C(ip)C(pq)C(qj)=I1 C(ip)C(pj)+I2 C(ij)+I3 d(ij). |
| (37.21) |
Умножая обе части равенства (37.21) на обратный тензор Фингера B(jl),
определяемый формулой (31.37), получаем
C(ip)C(pl)=I1 C(il)+I2 d(il)+I3 B(il). |
| (37.22) |
Тогда последнее равенство в (37.19) имеет вид
Соотношение (37.17) представим в виде
S(kl) = - |
2r*
r0*
|
|
¶E
¶Ii
|
|
¶Ii
¶C(ak)
|
C(al) = - |
2r*
r0*
|
|
й л
|
|
¶E
¶I1
|
C(kl)+ |
|
+ |
¶E
¶I2
|
(C(al)C(ak)-C(nn)C(kl))+I3 |
¶E
¶I3
|
d(kl) |
щ ы
|
. |
| (37.24) |
Используя (37.21), получим окончательно
S(kl) = - |
2r*
r0*
|
|
й л
|
|
ж и
|
I2 |
¶E
¶I2
|
+I3 |
¶E
¶I3
|
|
ц ш
|
d(kl)+ |
¶E
¶I1
|
C(kl))+I3 |
¶E
¶I2
|
B(kl) |
щ ы
|
. |
| (37.25) |
Из последнего соотношения следует, что тензор S(kl) является симметричным.
Тензор напряжений в пространстве Минковского сведется к виду
Smn = - |
2r*
r0*
|
|
й л
|
|
ж и
|
I2 |
¶E
¶I2
|
+I3 |
¶E
¶I3
|
|
ц ш
|
g*mn+ |
¶E
¶I1
|
Cmn+I3 |
¶E
¶I2
|
Bmn |
щ ы
|
. |
| (37.26) |
Таким образом, тензор энергии-импульса Tmn, полученный из канонического
тензора энергии-импульса (37.4), оказался симметричным.
Так как SmnVn=0, то тензор напряжений имеет лишь шесть
независимых компонент.
Рассмотрим переход от упругой среды к идеальной
жидкости. В нерелятивистском случае такой переход, как известно из [3],
сводится к формальной замене [S\tilde]ik® - Pdik, где P - давление.
Поэтому естественным переходом в релятивистском случае от упругого тела к
идеальной жидкости будет соотношение
рассмотренное на гиперповерхности нормальной мировым линиям и являющееся
поэтому релятивистски инвариантным.
Из последнего соотношения следует,что
S(kl)hm(k)hn(l)=Smn=-P g*mn, |
| (37.28) |
Аналогичное соотношение для идеальной жидкости вводится в работе [135].
Выразим тензор напряжений через энергию упругого сжатия
-Smn=P g*mn=r* |
¶P
¶ai(k)
|
ai(l)hn(k)hm(l). |
| (37.29) |
Так как для идеальной жидкости P = P(r*), то
P g*mn=r* |
¶P
¶r*
|
|
¶r*
¶ai(k)
|
ai(l)hn(k)hm(l). |
| (37.30) |
Выражение (37.9) по аналогии с (37.10) представим в форме
|
¶r*
¶abn
|
abn = |
¶r*
¶ai(k)
|
|
¶ai(k)
¶abn
|
abm = |
¶r*
¶ai(k)
|
ai(l)hn(k)hm(l). |
| (37.31) |
Используя (37.9), формулу (37.30) можно записать как
что эквивалентно
или
Таким образом, тензор энергии-импульса для идеальной жидкости
имеет вид
Tmn=(r* c2 +r* P+P)Vm Vn + Pdmn. |
| (37.35) |
Соотношения (37.33-37.35) в точности совпадают с аналогичными выражениями
в монографии В. Фока [3]. Отметим, что при выводе (37.33) мы не использовали
никаких дополнительных предположений, какие делались при выводе аналогичного
соотношения в [3].
Уравнения движения упругой среды получим из законов сохранения (37.5).
Используя выражение (37.12), имеем
|
¶Tmn
¶xn
|
=Vm |
¶
¶xn
|
(eVn) +eVn |
¶Vm
¶xn
|
- |
¶Smn
¶xn
|
=0. |
| (37.36) |
Умножая последнее соотношение на Vm, получаем выражение
|
¶
¶xn
|
(eVn) = -Vm |
¶Smn
¶xn
|
, |
|
подстановка которого в (37.36) дает
e |
d Vm
d s
|
=g*ms |
¶Ssn
¶xn
|
. |
| (37.37) |
Последние уравнения представляют собой уравнения движения упругой среды.
Так как при выводе теоремы Нетер использовались "уравнения поля"
(36.8), то естественно установить связь их с уравнениями движения.
Если в электродинамике уравнениям поля приписывается явный смысл, то
в теории упругости их смысл не ясен и поэтому его необходимо выяснить.
Используя (37.11), находим
|
¶Tmn
¶xn
|
= |
¶L
¶xm
|
- |
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
¶yb
¶x m
|
|
ц ш
|
= |
|
|
¶L
¶yb
|
|
¶yb
¶xm
|
+ |
¶L
|
|
¶
¶xm
|
|
ж и
|
|
¶yb
¶xs
|
|
ц ш
|
- |
¶L
|
|
¶
¶xn
|
|
ж и
|
|
¶yb
¶xn
|
|
ц ш
|
- |
|
- |
¶
¶xe
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
ц ш
|
|
¶yb
¶x m
|
= |
¶yb
¶xm
|
|
ж и
|
|
¶L
¶yb
|
- |
¶
¶xn
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
ц ш
|
|
ц ш
|
, |
| (37.38) |
или
|
¶Tmn
¶xn
|
|
¶xm
¶ye
|
= |
¶L
¶ye
|
- |
¶
¶xn
|
|
ж и
|
|
¶L
|
|
ц ш
|
=0. |
| (37.39) |
Таким образом, "уравнения поля" (36.8) оказались полностью эквивалентными
уравнениям движения (37.37), так как оба соотношения могут быть получены
из одних и тех же законов сохранения
38. Тензор момента количества движения
Пусть преобразование (36.9) соответствует бесконечно малому преобразованию
Лоренца, или, что то же самое, бесконечно малому повороту.
Как известно, конечное преобразование Лоренца записывается в виде
xmў=Lmўmxm, LmўmLmўn=dmn,
Lmўm=const. |
| (30.22) |
Рассмотрим бесконечно малые преобразования Лоренца, т.е.
где døme - бесконечно малые параметры. Из условия ортогональности
матриц Лоренца имеем
LmeLms=des+døse+døes+ dømedøms=des. |
| (38.2) |
Из (38.2), пренебрегая вторым порядком малости, имеем
Таким образом, соотношение (36.9) можно представить в виде
С другой стороны, из (36.10) имеем
dxm=dømexe=Xm(gs)dø(gs), (h® (gs)), |
| (36.10) |
где индекс h заменен на "собирательный" индекс (gs). Здесь скобки,
естественно, не являются символом симметрирования.
В результате имеем
Учитывая антисимметрию бесконечно малых преобразований døgs и их
произвольность, имеем из (38.5), что
Xm(gs)= |
1
2
|
(dmgxs-dmsxg). |
| (38.6) |
Так как при преобразовании координат (38.4) функции поля ym ведут
себя как совокупность скалярных функций, то
С другой стороны, из (36.12)
dym(xe) = ym(gs) dø(gs)=0. |
| (38.8) |
Из (38.8) следует, что либо ym(gs)=ym(sg),
либо ym(gs)=0. Но так как функции поля ym есть скалярные
функции при любых преобразованиях xe, (а не только при преобразованиях
трансляций или поворотов), то из равенства нулю dym в (36.12) и
произвольности døh вытекает, что ymh=0, а следовательно
и
Подстановка (38.9) и (38.6) в (36.20) дает
|
-
Q
|
(gs),e
|
=TaeXa(gs)= |
1
2
|
(Tgexs- Tsexg). |
| (38.10) |
Введем обозначение
В квантовой теории поля обычно под последней величиной понимается
орбитальный момент волнового поля, а под величиной
понимается спиновый момент. Их сумма представляет собой полный момент.
В нашем случае в силу (38.9) спиновый момент равен нулю, поэтому орбитальный
и полный момент совпадают. Из (36.19) вытекает, что должны иметь место
соотношения
2 |
¶xe
|
= |
¶M0(sg),e
¶xe
|
=0, |
| (38.13) |
что эквивалентно следующему выражению, вытекающему из дифференцирования
(38.11) и закона сохранения энергии (37.5), а именно
|
¶M0(sg),e
¶xe
|
=Тgs-Tsg=0. |
| (38.14) |
Как мы доказали ранее, тензор энергии-импульса симметричен, поэтому
равенство (38.14) удовлетворяется автоматически и из него имеют место закон
сохранения момента количества движения сплошной изотропной упругой среды.
Проведя те же самые вычисления, как и при получении выражения (36.21),
имеем закон сохранения в виде
|
-
М
|
0 sg
|
=- |
i
c
|
|
у х
|
(Tg4xs- Ts4xg)d V=const. |
| (38.15) |
Пространственные компоненты [`M]0ik являются релятивистским
обобщением закона сохранения момента импульса сплошной среды. Выясним,
следуя [7], смысл сохраняющихся компонент [`M]04i.
|
-
М
|
0 4i
|
=x4 |
ж и
|
- |
i
c
|
|
у х
|
(Ti4d V |
ц ш
|
+ |
i
c
|
|
у х
|
xi T44d V=const. |
| (38.16) |
В силу (37.6) имеем
x4 Pi+ |
i
c
|
|
у х
|
xi T44d V=const. |
| (38.17) |
В силу закона сохранения энергии
Поделив обе части равенства (38.17) на W, получим
x4 |
Pi
W
|
- |
i
c
|
Ri=const, Ri є |
|
. |
| (38.19) |
Здесь Ri есть релятивистское определение центра инерции системы.
Дифференцируя (38.19) по времени t, получим с учетом сохранения полного
импульса и энергии системы, что
|
dRi
d t
|
= vic=c2 |
Pi
W
|
=const, |
| (38.20) |
т.е. центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью vic.
39. Релятивистский закон Гука
В классической механике сплошных сред под законом Гука понимают закон,
устанавливающий связь между тензорами напряжений и деформаций.
Мы попытаемся установить эту связь и в релятивистском случае. Поскольку
на некоторой актуальной гиперповерхности, ортогональной мировым линиям,
среда покоится, то ее свойства эквивалентны свойствам среды в лагранжевой
сопутствующей системе отсчета при классическом рассмотрении. Поэтому
все основные выводы классической теории сплошной среды эквивалентны выводам
релятивистского рассмотрения сточки зрения гиперповерхностей, нормальных
мировым линиям частиц среды. Хотя тензор кривизны таких гиперповерхностей
в общем случае отличен от нуля, однако кривизна их зависит не от тензоров
деформаций, а от тензоров скоростей деформаций. Таким образом, в рамках СТО
кривизна гиперповерхностей не влияет на тензор напряжений упругого тела,
зависящий от тензора деформаций.
Как мы отмечали ранее, в силу рассматриваемой нами кинематики, для
любого актуального (начального)
момента "времени"
y4=const в каждой точке пространства-времени имеется четыре репера (два
ортогональных и два аффинных), а именно:
1. Система {O, x1, x2, x3, x4} с векторным базисом hm (30.2),
(30.38), gmn=dmn, x4=ict, -dS2=dmndxmdxn выбирается как система отсчета, в которой определяется
перемещение или движение ( система наблюдателя).
2. Лагранжева система {M, yk, [y\dot]4} с векторами базиса
отвечающая положениям точек среды на некоторой начальной гиперповерхности
[y\dot]4=const. В этой системе образы подвижных точек фиксированы.
4-радиус-вектор [r\vec]0 соединяет начало координат СО с начальными
координатами точек движущейся среды.
3. Лагранжева сопутствующая система {M, ya с векторами базиса
отвечающая измененным положениям точек среды на рассматриваемой
(актуальной) гиперповерхности y4.
4. Эйлерова сопутствующая система, представляющая собой систему тетрад
hm(a), переносимых по Ферми-Уолкеру (30.75).
Дадим определение релятивистски упругого тела, пользуясь аналогией с известным
классическим определением из монографии Л.И. Седова [44].
Назовем среду упругой, в которой компоненты тензора напряжений [^S]ki,
(S(ki)) на актуальной гиперповерхности для каждой частицы являются функциями
компонент тензора деформаций [^u]ij, U(ij), компонент метрического
тензора данной гиперповерхности [^g]ij, (d(ij)), температуры [^T] и
других физико-химических параметров [^(c)]i, т.е.
|
^
S
|
ij
|
= |
^
f
|
ij
|
( |
^
u
|
kl
|
, |
^
g
|
kl
|
, |
^
T
|
, |
^
c
|
i
|
), |
| (39.1) |
S(kl)=f(kl)(U(kl),d(kl), |
^
T
|
, |
^
c
|
i
|
), |
| (39.2) |
где первая формула соответствует сопутствующей лагранжевой, а вторая -
сопутствующей эйлеровой системам отсчета.
Так как в настоящей работе мы интересуемся чисто механическими процессами,
то в дальнейшем параметры [^T] и [^(c)]i указывать не будем.
Конкретный вид функций [^f]ij, (f(ij)) может быть различным для различных
моделей сплошных сред. Как следует из опыта, напряжения и деформации во многих
твердых телах связаны между собой законом Гука.
Для малых деформаций, повторяя те же рассуждения, что и в классической
теории упругости [44], можно написать
|
^
S
|
ij
|
= |
^
A
|
ijkl
|
|
^
u
|
kl
|
, |
| (39.3) |
Соотношения (39.3) и (39.4), заданные на актуальной гиперповерхности
y4=const, назовем релятивистским законом Гука. Все входящие в эти выражения
величины, т.е. тензоры напряжений, деформаций и связывающие их коэффициенты,
являются совокупностью скалярных функций относительно преобразований Лоренца.
Тензоры [^A]ijkl, A(ijkl) (первый является тензором относительно
преобразований лагранжевых переменных yk, а второй - относительно преобразований
триад [h\vec](k)) имеют 81 компоненту, но из-за симметрии тензоров напряжений
и деформаций число независимых компонент [^A]ijkl, A(ijkl) равно 36.
Если среда, подчиняемая закону Гука, обладает какими либо свойствами
симметрии, то число независимых компонент [^A]ijkl, A(ijkl) еще
сокращается. В частности, для изотропной среды все [^A]ijkl, A(ijkl)
определяются всего двумя параметрами. Релятивистски изотропной средой (по
аналогии с классической механикой сплошных сред) назовем такую среду, свойства
которой одинаковы по всем направлениям, выбранным на некоторой актуальной
гиперповерхности. Дадим более точное математическое определение симметрии и,
в частности, изотропии, основываясь на известном классическом определении
[44], с той лишь разницей, что все свойства среды мы рассматриваем на
гиперповерхностях, ортогональных мировым линиям, в то время как при
классическом описании свойства среды задаются в мгновенном состоянии на
гиперплоскости t=const. Упругие свойства среды среды задаются с
помощью тензоров [^A]ijkl, A(ijkl).
Будем говорить, что среда на актуальной гиперповерхности y4=const
обладает симметрией, если существует группа преобразований координат (триад),
такая, что компоненты тензоров, задающих свойства среды, не меняются при
преобразованиях, принадлежащих этой группе. В частности, среду назовем
релятивистски изотропной, если компоненты тензоров, определяющие ее свойства,
не меняются при любых ортогональных преобразованиях координат (триад) на
актуальной гиперповерхности.
Так как упругие свойства среды определяются тензором A(ijkl), то из
определения изотропии вытекает, что
где
Aў(ijkl)=ø(ip)ø(jq)ø(kr)ø(ls)A(pqrs), ø(ip)ø(jp)=d(ij) |
| (39.6) |
Для выявления смысла (39.5) рассмотрим два деформированных состояния
сплошной среды на y4=const, которые имеют одинаковый вид в разных
повернутых друг относительно друга системах [h\vec](a) и [h\vec]ў(a),
связанных преобразованием
|
®
h
|
ў(a)=ø(ab) |
®
h
|
(b), ø(ab)=const. |
| (39.7) |
В системах [h\vec](a) и [h\vec]ў(a) имеем соответственно
S(ij)=A(ijkl)U(kl), Sў(ij)=Aў(ijkl)Uў(kl). |
| (39.9) |
выполняется соотношение (39.5), то из равенства (39.8) следует
Таким образом, если одинаковые деформации, в повернутых друг относительно
друга системах, приводят к к одинаковым напряжениям, то среда изотропна.
Если же U(ab)=Uў(ab), а A(ijkl) № Aў(ijkl), то S(ij) № Sў(ij),
т.е. среда анизотропна. Точно так же как и в классической механике сплошной
среды, можно найти, что для релятивистски изотропной среды
|
^
A
|
ijkl
|
=l |
^
g
|
ij
|
|
^
g
|
kl
|
+m( |
^
g
|
ik
|
|
^
g
|
jl
|
+ |
^
g
|
il
|
|
^
g
|
jk
|
), |
| (39.11) |
A(ijkl)=ld(ij)d(kl)+m(d(ik)d(jl)+d(il)d(jk)), |
| (39.12) |
где l и m - коэффициенты Ламе, заданные на актуальной гиперповерхности
и являющиеся поэтому скалярами относительно преобразований Лоренца.
Для тензоров напряжений имеем
|
^
S
|
ij
|
=l |
^
u
|
k k
|
|
^
g
|
ij
|
+2m |
^
g
|
ik
|
|
^
g
|
jl
|
|
^
u
|
kl
|
, |
| (39.13) |
S(ij)=lU(kk)d(ij)+2mU(ij). |
| (39.14) |
Соотношение (39.14) можно получить и из соотношения (37.17), если для
упругого потенциала в локальных тетрадах выбрать такое же выражение,
как и в классической теории упругости в декартовых координатах [43], а именно
E= |
l
2
|
U(ii)U(kk)+mU(ik)U(ik). |
| (39.15) |
Используя последнее соотношение, формулу (37.17) представим в виде
S(kl) = - |
2r*
r0*
|
|
¶E
¶C(ak)
|
C(al) = |
r*
r0*
|
|
¶E
¶U(ak)
|
[d(al)-2U(al)]. |
| (39.16) |
Или, ограничиваясь линейным приближением, с учетом, что r* » r0*, имеем (39.14).
Переходя в (39.14) от тетрадного представления к галилееву, получим
Smn=hm(i)hn(j)S(ij)=lUssg*mn+2mUmn, |
| (39.17) |
где Umn определяется соотношениями (31.19) и (31.52).
Соотношение (39.17) является релятивистским обобщением известного закона
Гука для изотропного тела в системе отсчета наблюдателя (пространстве
Минковского).
Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига
и всестороннего сжатия, т.е.
U(ik)= |
й л
|
U(ik)- |
1
3
|
d(ik)U(nn) |
щ ы
|
+ |
1
3
|
d(ik)U(nn). |
| (39.18) |
Первый член справа является девиатором, связанный с чистым сдвигом
(шпур девиатора равен нулю), второй член связан со всесторонним сжатием.
Поэтому соотношение (39.17) можно записать и в другой форме
Smn=k Ussg*mn+2m |
й л
|
Umn- |
1
3
|
g*mnUss |
щ ы
|
, k=l+ |
2
3
|
m. |
| (39.19) |
Так как
то из (39.19) вытекает, что
Umn= |
1
9k
|
Sssg*mn+ |
1
2m
|
|
й л
|
Smn- |
1
3
|
g*mnSss |
щ ы
|
. |
| (39.21) |
Последняя формула определяет тензор деформаций по тензору напряжений.
40. Замкнутость системы уравнений релятивистской
упругой среды
Обсудим полученные нами уравнения для описания поведения релятивистской
упругой среды. Так как при этом для простоты рассмотрения мы не учитывали
взаимодействия между механическими и термическими процессами, то полагали,
что поле температур, которое будет влиять на плотность среды, считаем
заданным из немеханических соображений. В силу того, что Vm Vm=-1,
из четырех уравнений движения сплошной среды (37.37) лишь три уравнения
являются независимыми. Они образуют систему трех уравнений для девяти
неизвестных функций: трех пространственных компонент 4-скорости Vk и
шести независимых компонент тензора напряжений Skn. Наличие шести
независимых компонент тензора напряжений связано с его симметрией и
ортогональности 4-скорости, что дает
Sk4=i |
vb
c
|
Skb, S44=- |
va vb
c2
|
Sab. |
| (40.1) |
При этом плотность r* удовлетворяет уравнению неразрывности (35.16),
решение которого может быть записано в виде (35.14a). Представим выражение
для плотности как функцию тензора деформаций Коши (31.27), (31.28).
Замечаем, что
|
det
| ||С(ab)|| = |
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
Ч
g
|
kl
|
|
¶yk
¶x(a)
|
|
¶yl
¶x(b)
|
|
к к
|
|
к к
|
. |
| (40.2) |
Откуда следует
|
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶ya
¶x(b)
|
|
к к
|
|
к к
|
= |
1
|
|
ж Ц
|
|
. |
| (40.3) |
Используя (35.15), имеем с учетом (37.18)
r*=r0* |
ж Ц
|
1
6
|
[2CbnCnsCsb-3CmnCnmCee+CmmCnnCss] |
|
. |
| (40.4) |
Таким образом, плотность r* зависит от тензоров Коши в тетрадном
или галилеевом представлении.
Вычислим тензор напряжений Smn, выражая его через тензор Коши,
отнесенный к пространству Минковского.
Из соотношений (37.13) и (37.17) получим
Smn = - |
2r*
r0*
|
g*mb |
¶E
¶C(ab)
|
C(an). |
| (40.5) |
Таким образом, уравнения движения сплошной среды (37.37) можно представить
в виде
r* c2 |
ж и
|
1+ |
E
r0* c2
|
|
ц ш
|
Ve |
¶Vm
¶xe
|
=- |
2
r0*
|
g*ms |
¶
¶xn
|
|
ж и
|
r* g*sbCan |
¶E
¶Cab
|
|
ц ш
|
, |
| (40.6) |
где в (40.6) входят только величины, выражающиеся через тензор Коши, 4-скорость
и ее производные. Отметим, что тензор Коши из-за ортогональности 4-скорости
и симметрии имеет шесть независимых компонент. Так как для трех независимых
компонент 4-скорости и шести независимых компонент тензора Коши имеется лишь
три независимых уравнения движения, то для замкнутости системы необходимо
еще шесть независимых уравнений. В качестве таковых можно использовать
уравнения (34.3).
Dab є Vm |
¶Cab
¶xm
|
+ |
¶Vm
¶xa
|
Cmb+ |
¶Vm
¶xb
|
Cma=0. |
| (34.3) |
В силу того, что Dab=Dba и DabVb=0, это уравнение
имеет лишь шесть независимых компонент.
Таким образом, для девяти неизвестных функций в нашем распоряжении
имеется девять независимых уравнений, что и доказывает замкнутость системы
уравнений, описывающих поведение релятивистского упругого континуума.
При наличии внешнего поля, действующего на упругую среду, в правой части
уравнения движения (40.6) нужно добавить член, характеризующий взаимодействие
среды с внешним полем.
Если мы получили решение в переменных Эйлера, то от них можно перейти и к
переменным Лагранжа. Переход от одних переменных к другим при заданном
поле 4-скорости Vm(xe) связан с интегрированием дифференциальных
уравнений. Для нахождения Лагранжевых координат yk воспользуемся
уравнением
Vm |
¶yk
¶xm
|
= |
d yk
d S
|
=0, |
| (40.7) |
означающим постоянство лагранжевых координат вдоль мировых линий частиц
движущейся среды.
Интегралом этих уравнений будут искомые функции yk=fk(xm).
Для нахождения параметра y4, нумерующего ортогональные мировым линиям
гиперповерхности, воспользуемся формулой (31.48)
Получим условия интегрируемости этой системы.
Умножая обе части на Vm, находим, что
После чего систему (31.48) можно записать в эквивалентной форме
Рассмотрим выражение
g*ms |
¶
¶xs
|
|
ж и
|
g*ne |
¶y4
¶xe
|
|
ц ш
|
= g*ms |
¶g*ne
¶xs
|
|
¶y4
¶xe
|
+g*msg*ne |
¶2 y4
¶xs¶xe
|
=0. |
| (40.10) |
Переставляя индексы m и n, имеем
g*ns |
¶
¶xs
|
|
ж и
|
g*me |
¶y4
¶xe
|
|
ц ш
|
= g*ns |
¶g*me
¶xs
|
|
¶y4
¶xe
|
+g*nsg*me |
¶2 y4
¶xs¶xe
|
=0. |
| (40.11) |
Вычитая из (4.10) выражение (4.11), воспользуясь (31.48), получаем
-qVe |
ж и
|
g*ms |
¶g*ne
¶xs
|
-g*ns |
¶g*me
¶xs
|
|
ц ш
|
=0. |
| (40.12) |
Последнее соотношение после простых преобразований приводит к равенству
где тензор угловой скорости вращения определен в (34.14) или (при выборе
другой сигнатуры) в (1.4).
Таким образом, условия интегрируемости системы (31.48) сводятся к известному
утверждению [20], что при отсутствии вращений мировые линии среды образуют
нормальную конгруенцию. Если ømn № 0, то система (31.48)
несовместна, т.е. в этом случае нельзя построить гиперповерхности y4=const,
которая ортогональна мировым линиям частиц среды.
Отметим, что при выводе тензоров деформаций мы допускали существование
семейства гиперповерхностей, ортогональных мировым линиям. Однако, если
глобальные гиперповерхности существуют при ømn=0, то в малой
области изменения параметра yk, когда рассматриваются две соседние мировые
линии, всегда можно построить локально нормальную им гиперповерхность.
Аппарат неголономных преобразований, развитый нами в главе 2,
допускает рассмотрение произвольного движения сплошной среды как с отсутствием,
так и с наличием вращений. Он позволяет легко обобщить полученные в этой
главе результаты на случай произвольного движения континуума.
Однако мы этим заниматься не будем, а решим некоторые конкретные задачи.
41. Плоские упругие волны в неограниченной изотропной среде
Рассмотрим распространение малых возмущений в упругих телах. При
адиабатических деформациях тензор напряжений Smn связан с тензором
деформаций Umn при помощи релятивистского закона Гука (39.17),
(39.19), а уравнения движения упругой среды задаются формулой (37.37).
Ранее при выводе тензоров деформаций (31.44), (31.56) в качестве начального
состояния мы выбирали недеформированную среду, отображаемую точками
некоторой начальной гиперповерхности [y\dot]4=const с метрическим
тензором [g\dot]kl. Однако начальное состояние можно определять
по разному. В общем случае формула (31.50) не имеет места, т.е.
Правая часть формулы (31.45) с учетом (31.48) имеет вид
|
ж и
|
|
¶ue
¶xm
|
- |
¶ue
¶y4
|
|
¶y4
¶xm
|
|
ц ш
|
|
ж и
|
dem- |
¶xe
¶y4
|
|
¶y4
¶xn
|
|
ц ш
|
= |
ж и
|
|
¶ue
¶xm
|
+ |
¶ue
¶s
|
Vm |
ц ш
|
g*en = |
¶ue
¶xs
|
g*smg*en. |
|
Соответственно, правая часть (31.51) запишется в виде
|
ж и
|
|
¶ue
¶xm
|
- |
¶ue
¶y4
|
|
¶y4
¶xm
|
|
ц ш
|
|
ж и
|
|
¶ue
¶xn
|
- |
¶ue
¶y4
|
|
¶y4
¶xn
|
|
ц ш
|
= |
¶ue
¶xs
|
|
¶ue
¶xl
|
g*smg*ln. |
|
Поэтому тензор деформаций (31.52) можно представить в форме
Umn= |
1
2
|
|
й л
|
g*smg*en |
ж и
|
|
¶ue
¶xs
|
+ |
¶us
¶xe
|
- |
¶ul
¶xs
|
|
¶ul
¶xe
|
|
ц ш
|
|
щ ы
|
. |
| (41.1) |
Переход к сопутствующим тетрадам дает
Uab= |
1
2
|
hm(a)hn(b)hs(k)hm(k)he(l)hn(l) |
ж и
|
|
¶ue
¶xs
|
+ |
¶us
¶xe
|
- |
¶ul
¶xs
|
|
¶ul
¶xe
|
|
ц ш
|
= |
|
= |
1
2
|
d(ak)d(bl) |
ж и
|
|
*D u(l)
¶x(k)
|
+ |
*D u(k)
¶x(l)
|
- |
*D u(l)
¶x(k)
|
|
*D u(l)
¶x(l)
|
|
ц ш
|
, |
|
U(ab)= |
1
2
|
|
ж и
|
|
*D u(b)
¶x(a)
|
+ |
*D u(a)
¶x(b)
|
- |
*D u(l)
¶x(a)
|
|
*D u(l)
¶x(b)
|
|
ц ш
|
, |
|
Отметим, что формула (41.1) получена для общего случая при условии,
что 4-вектор перемещения [u\vec] существует. Она обобщает формулу (31.52),
в которой начальное состояние фиксировано.
Рассмотрим случай бесконечно малых деформаций. Среда, отображаемая точками
некоторой актуальной гиперповерхности y4=const (мы считаем, что вращения
отсутствуют), в общем случае деформируема. В качестве начального состояния
на этой же гиперповерхности введем такое воображаемое состояние, в котором
на каждый элемент не действуют никакие силы. (Внешние поля мы здесь не
рассматриваем.) Таким образом, на актуальной гиперповерхности среда находится
в двух состояниях: истинном деформированном и "примысленном" (терминология
[44]) недеформированном состоянии, по отношению к которому мы и будем измерять
деформацию среды. Тот факт, что рассматриваемая гиперповерхность в общем
случае искривлена, ни в коей мере не означает еще, что в среде отсутствуют или
присутствуют деформации, так как кривизна гиперповерхности определяется не
тензором деформаций, а тензором скоростей деформаций. Следовательно, для
любой произвольной нормальной мировым линиям гиперповерхности, среда на
которой деформирована, найдется такое поле скоростей для недеформированного
состояния, которая индуцирует гиперповерхность, совпадающую с данной в общей
области их задания.
Так как мы рассматриваем бесконечно малые деформации, а в качестве начального
состояния выбираем состояние на актуальной гиперповерхности, то малы будут
не только деформации, но и 4-векторы перемещения [u\vec], которые по
построению лежат в касательном к y4=const пространстве. Откуда имеем
u(4)=0, ihm(4)um=Vm um=0. |
| (41.3) |
Для малых деформаций соотношения (41.2) и (41.1) представляются в виде
U(ab)= |
1
2
|
|
ж и
|
|
*D u(b)
¶x(a)
|
+ |
*D u(a)
¶x(b)
|
|
ц ш
|
, U(a4)=U(44)=0. |
| (41.4) |
Umn= |
1
2
|
g*smg*en |
ж и
|
|
¶ue
¶xs
|
+ |
¶us
¶xe
|
|
ц ш
|
. |
| (41.5) |
В силу соотношения (34.16) при отсутствии вращения видно, что при
бесконечно малых Uab малы также sab, следовательно,
произведение smaUmb представляют более высокий порядок
малости, чем sab и d Uab/d s. Поэтому соотношение (34.16)
сводится к виду
Вычислим 4-ускорение d Vm/d s, используя равенства
xm- |
Ч
x
|
m
|
=um, |
d xm
d s
|
= |
d um
d s
|
+ |
d s
|
= |
d um
d s
|
+ |
|
|
d s
|
. |
|
Так как um бесконечно мал, то собственное время на двух бесконечно близких
мировых линиях отличается мало, поэтому
Vm- |
Ч
V
|
m
|
= |
d um
d s
|
=Ve |
¶um
¶xe
|
. |
| (41.7) |
Повторное дифференцирование (41.7) по s с учетом, что
d [V\dot]m/d s=0, дает
|
d Vm
d s
|
= |
d Ve
d s
|
|
¶um
¶xe
|
+VeVs |
¶2 um
¶xe¶xs
|
=VeVs |
¶2 um
¶xe¶xs
|
, |
| (41.8) |
где сохранены члены одного порядка малости, так как рассматривается тот
случай, когда малы не только деформации, но и перемещения и ускорения.
При этом скорость v не предполагается малой, хотя малы ее градиенты.
Итак, как и в классической теории упругости, при выводе уравнений для
упругих волн мы делаем следующие допущения: Считаем малыми величинами
деформации, перемещения, градиенты скоростей и ускорения. Произведение
любых из этих величин есть второй порядок малости. В полученных уравнениях
будем оставлять только члены первого порядка малости.
Из этого допущения находим
|
d Umn
d s
|
= |
1
2
|
g*smg*en |
d
d s
|
|
ж и
|
|
¶ue
¶xs
|
+ |
¶us
¶xe
|
|
ц ш
|
. |
| (41.9) |
Заметим, что соотношение (41.6), примененное к бесконечно малым деформациям,
справедливо лишь в том случае, если начальное состояние фиксировано.
Формулы (34.3) и (34.16) были получены при условии, что
¶[g\dot]kl/¶y4=0. Для настоящей задачи это условие не имеет места.
Обобщим, доказанное для соотношения (34.3) утверждение, на случай
¶[g\dot]kl/¶y4 № 0. Для этого правую часть (34.2) представим в
виде
|
¶y4
|
= |
¶
¶y4
|
|
ж и
|
|
|
|
|
|
ц ш
|
= |
¶
|
|
ж и
|
|
|
|
ц ш
|
|
|
+ |
¶
|
|
ж и
|
|
|
|
ц ш
|
|
|
= |
|
= |
ж и
|
|
|
+ |
|
++ |
Ч
V
|
a
|
|
|
+ |
Ч
V
|
b
|
|
|
|
ц ш
|
|
|
|
|
= 2 |
Ч
s
|
ab
|
|
|
|
|
. |
| (41.10) |
Так как [(s)\dot]ab=[(s)\dot]ba, [(s)\dot]ab[V\dot]b=0,
то
|
¶y4
|
= 2 |
Ч
s
|
ab
|
|
ж и
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
ц ш
|
. |
| (41.11) |
Соотношение (41.11) с учетом последнего равенства заменяется на
Dab |
¶xa
¶ye
|
|
¶xb
¶ys
|
= 2 |
Ч
s
|
ab
|
|
|
|
|
, |
| (41.12) |
где ¶/¶[y\dot]a=¶/¶ya.
Формула (41.12) справедлива для любых деформаций, если только начальное
состояние задается на актуальной гиперповерхности.
Для бесконечно малых деформаций, используя равенство xm-[x\dot]m=um,
и отличие от нуля якобиана преобразования
|
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶xa
¶ye
|
|
к к
|
|
к к
|
№ 0 |
|
получаем
sab= |
Ч
s
|
ab
|
+ |
d Uab
d s
|
. |
| (41.13) |
Рассмотрим выражение
|
d
d s
|
|
¶ue
¶xs
|
=Vl |
¶2 ue
¶xl¶xs
|
= |
¶
¶xs
|
|
ж и
|
|
¶ue
¶xl
|
Vl |
ц ш
|
- |
¶Vl
¶xs
|
|
¶ue
¶xl
|
» |
|
» |
¶
¶xs
|
|
d ue
d s
|
= |
¶Ve
¶xs
|
- |
¶xs
|
. |
| (41.14) |
Используя последнее равенство, находим для (41.9)
|
d Umn
d s
|
» smn- |
Ч
s
|
mn
|
. |
| (41.15) |
Таким образом, выражение (41.5) обращает (41.13) в тождество.
В разделе 40 было показано, что замкнутой системой для упругой среды
является система из девяти уравнений, из которых три уравнения динамических и
шесть - кинематических. Так как для бесконечно малых деформаций соотношение
(41.5) является решением (41.13), то для нахождения трех независимых компонент
4-вектора ue остается три независимых уравнения движения (37.37), которые
с использованием закона Гука, можно записать в виде
e |
d Vm
d s
|
=g*ms |
¶Ssn
¶xn
|
=g*ms |
ж и
|
|
^
l
|
|
¶g*sn
¶xn
|
Uee+ |
^
l
|
g*sn |
¶Uee
¶xn
|
+2m |
¶Usn
¶xn
|
|
ц ш
|
, |
| (41.16) |
где [^(l)] и m - коэффициенты Ламе для адиабатических процессов,
заданные на актуальной гиперповерхности.
Из (41.3) вытекает, что
|
¶Vm
¶xe
|
um+ |
¶um
¶xe
|
Vm=0, |
|
или, отбросив члены второго порядка малости, находим
Из последнего соотношения имеем
|
¶u4
¶xe
|
=- |
Vk
V4
|
|
¶uk
¶xe
|
=i |
vk
c
|
|
¶uk
¶xe
|
, Uee= |
¶ue
¶xe
|
. |
| (41.17) |
Замечая, что
g*ms |
¶g*sn
¶xn
|
= |
d Vm
d s
|
, |
|
воспользуясь также допущением о малости, получаем из (41.16) уравнения
eVsVb |
¶2 ua
¶xs¶xb
|
= |
^
l
|
g*an |
ж и
|
|
¶2 uk
¶xn ¶xk
|
+i |
vk
c
|
|
¶2 uk
¶xn ¶x4
|
|
ц ш
|
+mg*na |
¶2 ua
¶xn ¶xa
|
+ |
|
+mg*aa |
¶2 uk
¶xa¶xk
|
+m |
ivk
c
|
g*aa |
¶2 uk
¶x4 ¶xa
|
+Fa, |
| (41.18) |
где
Fa= |
^
l
|
|
i
c
|
g*an |
¶vk
¶xn
|
|
¶uk
¶x4
|
+m |
i
c
|
g*a4g*na |
¶vk
¶xn
|
|
¶uk
¶xa
|
+ |
|
+m |
i
c
|
g*aag*n4 |
¶vk
¶xn
|
|
¶uk
¶xa
|
+m |
¶Vs
¶xs
|
|
¶ua
¶xe
|
Ve-e |
¶Vs
¶xs
|
|
¶ua
¶xe
|
Vs. |
| (41.19) |
Отметим, что Fa являются малыми величинами по сравнению с остальными
членами уравнения (41.18), так как в них входят в явном виде произведения
малых величин градиентов скоростей и градиентов деформаций.
Допустим теперь, что величины uk являются функциями только от x1 и
x4. Поле скоростей среды [v\vec] пусть совпадает с осью x1. Тогда
для отдельных компонент uk получим уравнения
[eV42+(2m+ |
^
l
|
)V12] |
¶2 u1
¶x42
|
+2V1V4[e-(2m+ |
^
l
|
)] |
¶2 u1
¶x1 ¶x4
|
+ |
|
+[eV12+(2m+ |
^
l
|
)V42] |
¶2 u1
¶x12
|
=F1, |
| (41.20) |
[eV42+mV12] |
¶2 u2
¶x42
|
+2V1V4[e-m] |
¶2 u2
¶x1 ¶x4
|
+[eV12+mV42] |
¶2 u2
¶x12
|
=F2, |
| (41.21) |
[eV42+mV12] |
¶2 u3
¶x42
|
+2V1V4[e-m] |
¶2 u3
¶x1 ¶x4
|
+[eV12+mV42] |
¶2 u3
¶x12
|
=F3. |
| (41.22) |
Исследуем полученные уравнения. Из (37.12) следует выражение
e= |
ж Ц
|
|
r0*c2 |
det
| |
к к
|
|
к к
|
|
¶yi
¶x(k)
|
|
к к
|
|
к к
|
|
ж и
|
1+ |
P
c2
|
|
ц ш
|
, |
|
которое для малых деформаций сводится к виду
Как известно из классической теории упругости [43], [44], между
коэффициентами Ламе и плотностью среды r*0 существуют следующие
соотношения
|
^
l
|
+2m = cl2r*0, m = ct2r*0, |
| (41.24) |
где cl и ct - продольные и поперечные скорости звука соответственно.
Из (41.24) следует, что cl > ct.
Рассмотрим движение "релятивистски твердого" тела.
Для классически твердых
тел скорости звука (продольные и поперечные) стремятся к бесконечности.
В согласии же со СТО, любые взаимодействия передаются со скоростями,
не превышающими скорость света в вакууме.
По этой причине мы введем определение "релятивистски твердого" тела.
Назовем тело "релятивистски твердым", если продольная скорость звука
cl равна скорости света в вакууме c.
Для "релятивистски твердого" тела в силу (41.23) имеем
|
^
l
|
+2m = e=r*0 c2=r*0 cl2. |
| (41.25) |
Для "релятивистски твердых" тел, пренебрегая поправками второго порядка
малости F1 по сравнению с другими членами, имеем
вместо (41.20) уравнение
[¯] u1 є |
ж и
|
|
¶2
¶x12
|
- |
1
c2
|
|
¶2
¶t2
|
|
ц ш
|
u1=0. |
| (41.26) |
Последнее уравнение представляет собой хорошо известное уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль оси x1 со скоростью света в вакууме.
Причем скорость света (как и должно быть в СТО) не зависит от скорости
движения среды.
Для компактности записи уравнения (41.20) введем обозначения
-[eV42+(2m+ |
^
l
|
)V12]=a11, x4=ict=ix, x1=y, |
|
a12= |
1
i
|
V1V4[e-(2m+ |
^
l
|
)],
a22=[eV12+(2m+ |
^
l
|
)V42], |
| (41.27) |
после которых уравнение принимает вид
a11 |
¶2 u1
¶x2
|
+2a12 |
¶2 u1
¶x ¶y
|
+a22 |
¶2 u1
¶y2
|
- F1=0. |
| (41.28) |
С помощью преобразования переменных
мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному, а именно
|
-
a
|
11
|
|
¶2 u1
¶x2
|
+2 |
-
a
|
12
|
|
¶2 u1
¶x¶h
|
+ |
-
a
|
22
|
|
¶2 u1
¶h2
|
- |
-
F
|
1
|
=0, |
| (41.30) |
где
|
-
a
|
11
|
=a11 |
ж и
|
|
¶x
¶x
|
|
ц ш
|
2
|
+2a12 |
¶x
¶x
|
|
¶x
¶y
|
+ a22 |
ж и
|
|
¶x
¶y
|
|
ц ш
|
2
|
, |
|
|
-
a
|
12
|
=a11 |
¶x
¶x
|
|
¶h
¶x
|
+a12 |
ж и
|
|
¶x
¶x
|
|
¶h
¶y
|
+ |
¶x
¶y
|
|
¶h
¶x
|
|
ц ш
|
+ a22 |
¶x
¶y
|
|
¶h
¶y
|
, |
|
|
-
a
|
22
|
=a11 |
ж и
|
|
¶h
¶x
|
|
ц ш
|
2
|
+2a12 |
¶h
¶x
|
|
¶h
¶y
|
+ a22 |
ж и
|
|
¶h
¶y
|
|
ц ш
|
2
|
, |
| (41.31) |
а функция [`(F)]1 не зависит от вторых производных.
Естественно поставить вопрос: как выбрать x и h, чтобы уравнение
в этих переменных имело наиболее простую форму?
Выберем переменные x и h так, чтобы [`a]11=0.
Рассмотрим дифференциальные уравнения с частными производными первого
порядка.
a11 |
¶2 z
¶x2
|
+2a12 |
¶2 z
¶x ¶y
|
+a22 |
¶2 z
¶y2
|
=0. |
| (41.32) |
Воспользуемся леммой [82], которая гласит, что если f(x,y) = const представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального
уравнения
a11d y2-2 a12dxdy+a22d x2=0, |
| (41.33) |
то функция z=f(x,y) удовлетворяет уравнению (41.32).
Уравнение (41.33) распадается на два уравнения
|
d y
d x
|
= |
a11
|
,
|
d y
d x
|
= |
a11
|
. |
| (41.34) |
Знак подкоренного выражения в этих уравнениях определяет тип уравнения (41.28).
Используя (41.27), имеем
a122-a11a22=e( |
^
l
|
+2m) > 0. |
| (41.35) |
Это означает, что уравнение (41.28) относится к гиперболическому типу.
Уравнения (41.34) после несложных алгебраических преобразований, учитывая,
что
сводятся к виду
|
d y
d x
|
= |
v1+cl
|
,
|
d y
d x
|
= |
v1-cl
|
. |
| (41.36) |
Характеристические уравнения (41.36) совпадают с характеристическими
уравнениями для плоских волн в релятивистской газовой динамике [136].
Так как в нашем случае v1 и cl практически постоянны, то интегралами
(41.36) будут выражения
y- |
v1+cl
|
x=C1,
y- |
v1-cl
|
x=C2. |
| (41.37) |
Полагая
x = y- |
v1+cl
|
x,
h = y- |
v1-cl
|
x |
| (41.38) |
и воспользуясь вышеупомянутой леммой, мы обратим в нуль коэффициенты
[`a]11 и [`a]22 в уравнении (41.30), которое при [`(F)]1=0
сводится к виду
Решением последнего уравнения будет
которое после подстановок (41.38) и (41.27) дают
u1=f1 |
ж и
|
x1- |
v1+cl
|
t |
ц ш
|
+f2 |
ж и
|
x1- |
v1-cl
|
t |
ц ш
|
. |
| (41.41) |
Решение (41.41) имеет простой физический смысл. Функции f1 и f2
представляют собой две плоские волны, бегущие навстречу друг другу
со скоростями vў1 и vў2 относительно неподвижной системы отсчета. При
этом
vў1= |
v1+cl
|
,
vў2= |
cl-v1
|
. |
| (41.42) |
Соотношения (41.42) представляют собой хорошо известный релятивистский
закон сложения скоростей, направленных по одной прямой.
Уравнения (41.21) и (41.22) решаются аналогично и их решения отличаются
от (41.41) лишь заменой в (41.41) продольной скорости звука cl на поперечную
скорость звука ct.
u2,3= |
-
f
|
1
|
|
ж и
|
x1- |
v1+ct
|
t |
ц ш
|
+ |
-
f
|
2
|
|
ж и
|
x1- |
v1-ct
|
t |
ц ш
|
. |
| (41.43) |
Таким образом, при отсутствии внешних сил решением уравнения (41.16) в
акустическом приближении являются продольные и поперечные волны, которые
распространяются независимо друг от друга. Фазовые скорости этих волн
складываются (релятивистски) из соответствующих фазовых скоростей относительно
неподвижной системы плюс (минус) скорости системы v1 как целой.
При v1=0 решения (41.41), (41.43) описывают продольные и поперечные волны
в изотропной среде в классической теории упругости в случае малых деформаций.
Конечно, этот результат можно было ожидать с самого начала, а рассмотренная
задача является некоторой предварительной проверкой построенного аппарата.
Любопытно, что релятивистский закон сложения скоростей,
вытекающий из преобразований Лоренца, получен из решения дифференциальных
уравнений теории упругости.
42. Релятивистский осциллятор
Используя релятивистское уравнение Ньютона,
рассмотрим движение материальной точки вдоль оси x1. В приведенном уравнении
m0 - масса покоя, Fm - 4-вектор силы, определяемый обычным образом
где fk - трехмерный вектор силы. Сопутствующие тетрады для данного
движения определяются равенством
hm(a) = |
ж з з з з
з з з и
|
|
ц ч ч ч ч
ч ч ч ш
|
, |
| (42.2) |
где a - номер строки, а m - номер столбца. Переход к сопутствующим
тетрадам дает
m0chm(k) |
d Vm
d s
|
=hm(k)Fm=F(k), F(4)=0. |
| (42.3) |
Так как V1=V, V2=V3=0, то
m0chm(1) |
d Vm
d s
|
=m0 |
d V
d t
|
. |
| (42.3) |
Поэтому уравнение (42.3) представим в виде
m0 |
d V
d t
|
=F(1)=h1(1)F1+h4(1)F4= |
1
c
|
f1. |
| (42.4) |
Релятивистски инвариантным определением упругой силы будет равенство
где k0 - коэффициент жесткости, заданный в сопутствующей тетраде и
являющийся поэтому скаляром относительно преобразований Лоренца.
dx(1)=hm(1)dxm=LmmўLmnўhmў(1)dxmў = hmўdxmў. |
| (42.6) |
Из (42.6) следует, что dx(1) - скаляр относительно преобразований
Лоренца (Lmmў - матрица Лоренца).
Интегрирование производится вдоль прямой линии L, лежащей на
гиперплоскости dx(4)=0 и соединяющей мировую линию xk=0 с мировой
линией рассматриваемой частицы. Равенство dx(4)=0 эквивалентно
dx(4)=hm(4)dxm= |
1
i
|
Vm dxm=0. |
| (42.7) |
Считая, что на гиперплоскости dx(4)=0 тетрадное поле постоянно, используя
(42.7), получим
x(1)= |
x1 у х 0
|
|
ж и
|
h1(1) - |
V1
V4
|
h4(1) |
ц ш
|
d x = |
ix1
V4
|
. |
| (42.8) |
Уравнение (42.3) представим в виде
Считая, что
|
d V
d t
|
= |
d V
d x1
|
v= |
cV
|
|
d V
d x1
|
, |
|
получим
Интеграл этого уравнения имеет вид
Постоянную интегрирования C1 определим из условия, что при x1=0
должно быть V=V0. Откуда имеем
Интегрирование уравнения (42.12) приводит к соотношению
ø0 t+f0= |
ж Ц
|
|
E |
ж и
|
arcsin |
x1
A
|
, k |
ц ш
|
|
| (42.13) |
где f0 - произвольная постоянная,
ø0= |
ж Ц
|
|
, k2= |
ø02 A2
c2+ø02 A2
|
, |
| (42.14) |
а E(u,k) - эллиптический интеграл второго рода.
Если ø02 A2/c2 << 1, то соотношение (42.13) сводится к классическому
При
V02= |
ø02 A2
c2
|
= |
k0 A2
m0 c2
|
>> 1, |
| (42.16) |
т.е. когда потенциальная энергия деформации много больше энергии покоя
частицы, можно пользоваться рядом [105]
E(u,k)= |
2
p
|
Eў(k)lntan |
ж и
|
|
u
2
|
+ |
p
4
|
|
ц ш
|
+..., |
|
Eў(k)= |
p
2
|
|
ж и
|
1- |
1
2
|
kў2-...- |
й л
|
|
(2n-1)!!
2n n!
|
|
щ ы
|
|
kўn
2n-1
|
-... |
ц ш
|
, kў= | Ц
|
1-k2
|
. |
| (42.17) |
При выполнении неравенства (42.16) kў << 1, поэтому Eў(k) » p/2.
E(u,k) » lntan |
ж и
|
|
u
2
|
+ |
p
4
|
|
ц ш
|
, u=arcsin |
ж и
|
|
x1
A
|
|
ц ш
|
. |
| (42.18) |
Формула (42.13) для рассматриваемого случая (42.16) представима в
виде
tan |
ж и
|
|
p
4
|
+ |
1
2
|
arcsin |
ж и
|
|
x1
A
|
|
ц ш
|
|
ц ш
|
=e[ ct/a]+[(cf0)/(ø0A)]. |
| (42.19) |
Левая часть последней формулы может быть представлена в виде
tan |
ж и
|
|
p
4
|
+ |
1
2
|
arcsin |
ж и
|
|
x1
A
|
|
ц ш
|
|
ц ш
|
= |
|
. |
| (42.20) |
Используя (42.20), разрешив (42.19) относительно x1, получаем
x1=Atanh |
ж и
|
|
ct
A
|
+ |
cf0
ø0A
|
|
ц ш
|
, |
| (42.21) |
v= |
d x1
d t
|
= |
c
cosh2 |
ж и
|
|
ct
A
|
+ |
cf0
ø0A
|
|
ц ш
|
|
, |
| (42.22) |
Постоянную f0 определим из начальных условий. Пусть при t=0 частица
находилась в начале координат, т.е. x1=0. Тогда
x1=Atanh |
ж и
|
|
ct
A
|
|
ц ш
|
, v= |
c
|
. |
| (42.23) |
Таким образом, когда энергия упругой деформации намного превышает энергию
покоя частицы, колебательный процесс не имеет места. Частица, выходя из начала
координат со скоростью близкой к скорости света, за бесконечное время
достигает своего амплитудного значения.
43. Прямолинейное релятивистское жесткое движение сплошной среды
В разделе 2 главы 1 мы рассматривали релятивистские жесткие равноускоренные
НСО и доказали, что в пространстве Минковского в принципе невозможно жесткое
в смысле Борна равноускоренное движение континуума.
Пространство Минковского оказалось "тесным",
чтобы удовлетворить одновременно критериям жесткости и
равноускоренности.
Следовательно, возникает вопрос, какая НСО в СТО является аналогом классической
жесткой равноускоренной системы отсчета?
В научной литературе переход в жесткую "равноускоренную" (кавычки наши)
НСО связывают с преобразованиями Меллера (2.11). Однако физический смысл
координат и "времени" в НСО Меллера не обсуждается.
Поэтому имеет смысл, не используя преобразования Меллера, описать жесткую
НСО в рамках СТО на основе релятивистской механики сплошных сред [4].
Именно таким путем шел автор, ничего не подозревая в то время о
преобразованиях Меллера.
Итак, поставим и решим следующую задачу. Пусть в момент времени t=0 вдоль
оси x1 приходит в движение покоящаяся ранее сплошная среда. При этом,
частица среды, находящаяся в покое в начальный момент времени в начале
эйлеровых координат, движется так, что ее ускорение в локально сопутствующей
системе отсчета постоянно и равно a0. Требуется определить как будут
двигаться остальные частицы среды, если движение среды является жестким в
смысле Борна. Мы не можем требовать постоянства ускорения в локально
сопутствующих тетрадах всех частиц, так как это требование не совместно
с критерием жесткости по Борну.
Очевидно, что в системе наблюдателя (O, x1, x2, x3, x4) поле 4-скорости
Vm имеет вид
V1=V1(x1, x4), V2=V3=0, V4=i | Ц
|
1+V12
|
. |
| (43.1) |
При этом
hm(a) = |
ж з з з з
з з з и
|
|
ц ч ч ч ч
ч ч ч ш
|
, |
| (43.2) |
где a - номер строки, а m - номер столбца.
4-ускорение a(a) в локально сопутствующей системе
имеет вид
a(a)=hm(a) |
d Vm
d s
|
, a(2)=a(3)=a(4)=0, a(1)= |
i
V4
|
|
d V1
d s
|
= |
a0
c2
|
, |
| (43.3) |
где a0 - обычное трехмерное ускорение.
Так как мы интересуемся сейчас движением индивидуальной частицы среды,
покоящейся в начальный момент времени в начале координат, то для описания
ее движения перейдем к переменным Лагранжа. Соотношение (43.3) примет вид
q |
¶V1
¶y4
|
= |
¶V1
¶s
|
= |
V4
i
|
|
a0
c2
|
= | Ц
|
1+V12
|
|
a0
c2
|
, |
| (43.4) |
где s=ct, a0=const, t - собственное время движущейся частицы.
Интегрирование (43.4) при условии, что при s=0 должно быть V1=0, дает
|
¶x1
¶s
|
=V1=sinh |
ж и
|
|
a0 s
c2
|
|
ц ш
|
,
|
¶x4
¶s
|
=V4=i | Ц
|
1+V12
|
=icosh |
ж и
|
|
a0 s
c2
|
|
ц ш
|
. |
| (43.5) |
Интегрирование последних уравнений
при условии, что при s=0 должно быть x1=x4=0 приводит к хорошо
известным соотношениям [7] (гиперболическое движение)
x1= |
c2
a0
|
cosh |
ж и
|
|
a0 s
c2
|
|
ц ш
|
- |
c2
a0
|
,
x4=i |
c2
a0
|
sinh |
ж и
|
|
a0 s
c2
|
|
ц ш
|
, |
| (43.6) |
исключая s из которых, находим
В отличие от равноускоренной системы Логунова [6], в которой все частицы
среды совершают гиперболическое движение с равными друг другу и постоянными
ускорениями в локально сопутствующей системе, мы требуем постоянства
ускорения лишь для одной частицы среды. Все остальные частицы должны двигаться
таким образом, чтобы сохранить конгруенцию мировых линий частиц среды
жесткой в смысле Борна.
В равноускоренной системе Логунова, в силу (2.10), нарушается критерий
жесткости. В нашем случае, стараясь сохранить критерий жесткости и остаться
в рамках СТО, мы вынуждены отказаться от равенства ускорений для всех
частиц среды.
Для дальнейшего решения задачи воспользуемся критерием жесткости, т.е.
решим уравнения
где smn задается формулой (34.12).
Для рассматриваемого нам движения система уравнений (43.8) сводится
к одному единственному уравнению
s11= |
¶V1
¶x1
|
+V1Ve |
¶V1
¶xe
|
=0, |
| (43.9) |
решение которого можно представить в виде
где Y - произвольная функция.
Для решения задачи Коши по отысканию функции Y воспользуемся условиями,
что при x1 и x4, вычисленными в (43.6), V1 и V4
задаются соотношением (43.5). Откуда находим
Подставив (43.11) в (43.10) и воспользуясь, что V1=V4 v1/(ic), получим
Последнее соотношение определяет поле скоростей искомой жесткой СО в
переменных Эйлера. При нерелятивистском рассмотрении c®Ґ получаем
классическое жесткое равноускоренное движение. Хотя предельный переход в
формуле (43.12) приводит к классически правильному результату, однако
распределение скоростей, на первый взгляд, приводит к противоречию с основным
положением СТО, согласно которому скорость частиц среды не может быть больше
скорости света в вакууме. Действительно, если фиксировать произвольную точку
x1, то можно всегда указать такой момент времени t, что скорость частиц
среды v1 в этой точке превысит скорость света c. Таким образом, или
соотношение (43.12) не верно, либо область задания функции v1 ограничена.
Для выяснения этого вопроса рассмотрим движение среды с точки зрения
лагранжевой системы координат. Интегрируя соотношение (43.12) при условии,
что при t=0 должно быть x1=y1, где y1 - начальные координаты точек
континуума, получаем
x1= |
c2
a0
|
|
й л
|
|
ж Ц
|
a02 t2
c2
|
+ |
ж и
|
1+ |
a0 y1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
|
-1 |
щ ы
|
, |
|
v1(y1, t)= |
a0 t
|
ж Ц
|
a02 t2
c2
|
+ |
ж и
|
1+ |
a0 y1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
|
|
|
. |
| (43.13) |
Из полученного соотношения следует, что все частицы среды имеют скорость
меньшую, чем скорость света, за исключением частиц с лагранжевыми
координатами y1=-c2/a0, которые движутся со световой скоростью.
Итак, поставленная задача имеет смысл лишь для тех точек континуума,
начальные координаты которых y1 і -c2/a0.
Из соотношения (43.13) вытекает неравенство
|
ж и
|
1+ |
a0 x1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
- |
a02 t2
c2
|
= |
ж и
|
1+ |
a0 y1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
і 0, |
|
которое эквивалентно неравенству
Откуда следует, что (43.12) удовлетворяет неравенству
Таким образом, если мы фиксируем в (43.12) или (43.14) любую точку
пространства x1 і -c2/a0 то решение (43.14) справедливо лишь до
того момента времени t, когда в фиксированную точку пространства не
попадет "крайняя" частица, начальная координата которой y1=-c2/a0,
а скорость v1=c. При любом фиксированном t в (43.14) решение справедливо
для тех точек пространства x1, которые больше координаты крайней частицы
в момент времени t.
Полагая в формуле (43.13) y1=0, получим выражения
которые совпадают с известными выражениями для смещения и скорости
равноускоренного движения материальной точки среды, расположенной первоначально
в начале координат [7].
Вычислим величину ускорения в сопутствующих тетрадах. Из выражений (43.10) и
(43.11) находим
V1= |
a0 t
c
|
|
1
|
ж Ц
|
|
ж и
|
1+ |
a0 x1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
- |
a02 t2
c2
|
|
|
|
. |
| (43.16) |
В силу (43.3), ускорение в сопутствующих тетрадах имеет вид
a(1)= |
a0
c2
|
|
1
|
ж Ц
|
|
ж и
|
1+ |
a0 x1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
- |
a02 t2
c2
|
|
|
|
. |
| (43.17) |
Переходя к переменным Лагранжа, получим
Таким образом, каждая фиксированная частица среды движется с постоянным
в собственной системе отсчета ускорением, но эти ускорения не равны друг
другу.
Поэтому назвать такое движение релятивистски жестким и равноускоренным
можно лишь весьма условно.
Легко проверить, что в силу выбранной нами кинематики тензор угловой
скорости вращения ømn тождественно равен нулю, поэтому мировые
линии образуют нормальную конгруенцию.
Задача
по отысканию параметра y4
сводится к интегрированию уравнений
условия интегрируемости для которых ømn=0 в нашем случае
выполнены.
Если расписать по компонентам два уравнения из (40.9) для m = 1,4, то
оказывается, что оба из них сводятся к одному уравнению
|
¶y4
¶x1
|
+ |
v1
c2
|
|
¶y4
¶t
|
=0. |
| (43.19) |
Два остальных уравнения сводятся к виду
решение которых y4=y4(x1,t). Подставив из (43.12) в (43.19), получим
уравнение
|
¶y4
¶x1
|
+ |
a0t
c2+a0 x1
|
|
¶y4
¶t
|
=0. |
| (43.20) |
Решив последнее уравнение, получим
Для определения функции f выберем y4=is вдоль мировой линии частицы,
выходящей из начала координат, для которой справедливы уравнения (43.6).
Тогда
is=f |
ж и
|
|
1
a0c
|
tanh |
a0s
c2
|
|
ц ш
|
, |
|
или
f(u)=i |
c2
a0
|
|
artanh
| \nolimits(uca0), |
|
что дает
y4=i |
c2
a0
|
|
artanh
| \nolimits |
ж и
|
|
a0t
|
|
ц ш
|
= i |
c2
a0
|
|
artanh
| \nolimits |
ж и
|
|
v1
c
|
|
ц ш
|
. |
| (43.21) |
Вычислим скалярный множитель
Вычисления дают
q = |
i
|
ж Ц
|
|
ж и
|
1+ |
a0 x1
c2
|
|
ц ш
|
2
|
- |
a02 t2
c2
|
|
|
|
= |
i
|
. |
| (43.22) |
Величина q является интегрирующим множителем, связывающим полный
дифференциал d y4 с d s, который полным дифференциалом не является.
Найдем уравнения конгруенции мировых линий для рассматриваемого движения,
т.е. определим функции xm=xm(ya). Так как начальная
гиперповерхность, ортогональная мировым линиям, совпадает с гиперплоскостью
x4=0, то в качестве лагранжевых сопутствующих координат yk можно
выбрать начальные координаты покоящегося тела.
В силу того, что среда движется вдоль оси x1, имеем x2=y2, x3=y3.
Разрешив совместно систему уравнений (43.21) и (43.13) относительно
t и x1, получим
t= |
c
a0
|
|
ж и
|
1+ |
a0 y1
c2
|
|
ц ш
|
sinh |
ж и
|
|
a0 y4
ic2
|
|
ц ш
|
,
x1= |
c2
a0
|
|
й л
|
|
ж и
|
1+ |
a0 y1
c2
|
|
ц ш
|
cosh |
ж и
|
|
a0 y4
ic2
|
|
ц ш
|
-1 |
щ ы
|
. |
| (43.23) |
Если обозначить
то закон движения (43.23) в точности совпадает с преобразованиями Меллера
(2.11).
Отметим, что в литературе преобразование Меллера (см., например, широко
известную монографию В.А. Фока [3]) связывают (ошибочно!) с переходом от ИСО к
жесткой равноускоренной НСО. Ошибка состоит в том, что НСО Меллера,
являясь жесткой, не является равноускоренной. Об этом говорит формула (43.18),
которая содержится и в книге Меллера [2]. Меллер (в отличие от его
интерпретаторов) не считает свою систему равноускоренной.
Итак, неоднородное силовое поле приводит к релятивистски жесткому
движению (очевидно, ускорение (43.18) может быть обусловлено только
неоднородным силовым полем), а однородное силовое поле (система Логунова)
приводит к нарушению жесткости. Это обстоятельство, на наш взгляд,
является главной трудностью описания сплошной среды в рамках пространства
Минковского. Только выходя за рамки плоского пространства-времени, можно
добиться того, что однородное силовое поле не будет нарушать жесткости
движущейся в нем среды. Это мы показали в главе 1.
Используя (42.23) и (42.22), вычислим метрический тензор на актуальной,
ортогональной мировым линиям гиперповерхности.
|
^
g
|
kl
|
= |
¶xm
¶yk
|
|
¶xm
¶yl
|
=dkl. |
| (43.24) |
Таким образом, метрический тензор gkl не зависит от параметра y4.
Следовательно, на любой, в том числе и на начальной гиперповерхности
метрический тензор [g\dot]kl=dkl. Поэтому тензор деформаций
ukl= |
1
2
|
( |
^
g
|
kl
|
- |
Ч
g
|
kl
|
)=0. |
| (43.25) |
Полученный результат не является неожиданным. Он вытекает из общей развитой
здесь теории, согласно которой жесткое в смысле Борна движение
из начального недеформированного состояния не приводит к возникновению
в среде деформаций.
Характерной особенностью полученного решения является наличие "горизонта".
Т.е такая НСО может осуществляться только ограниченными телами, размер
которых вдоль оси x1 в начальный момент времени определяется интервалом
44. Объяснение эффектов ОТО на основе механики СТО и свойств НСО
Раздел 21 был посвящен моделированию полей гравитации в рамках ОТО.
Однако существует и другая возможность объяснения всех эффектов ОТО на базе
релятивистской механики СТО и учете свойств неинерциальности Земли, на
которой вынужден находиться наблюдатель и его приборы.
Известно, что одной из основных
трудностей ОТО является та, что уравнения Эйнштейна (уравнения поля)
общековариантны, в то время как все ее результаты не являются таковыми.
Более того ..."эйнштейновской формулировке теории тяготения присущ тот
основной недостаток, что она совершенно умалчивает о физической системе
отсчета, относительно которой должны производиться измерения [40]."
Однако не существует такого явления и нет такого наблюдателя, которых
нельзя было бы отнести к какой либо системе отсчета. Иногда последняя
задается помимо воли и желания экспериментатора. Он с его приборами, как
правило, находится на Земле. Принадлежность наблюдателя к такой СО
накладывает определенные поправки на результаты наблюдений, с которыми
следует считаться. Подробно эти вопросы рассмотрены в работах В. И. Родичева
[1], [13-15].
В предлагаемом разделе исследуются геометрические свойства пространства-времени
НСО для случая, когда метрические тензоры на гиперповерхностях ортогональных
мировым линиям для НСО и квази-ИСО совпадают. Метрический тензор НСО при этом
однозначно определяется конгруенцией мировых линий, описывающих движение
базиса НСО в силовом поле любой природы. Дается геометрическая интерпретация
основных характеристик континуума, представляющих базис НСО. Показывается,
что тензор аффинной деформации связности в локально сопутствующих тетрадах
содержит в себе информацию о силовом поле, в котором движется этот базис,
а также выражается через тензор скоростей деформаций и тензор угловой скорости
вращения сплошной среды. На основе того, что гравитационная и инертная массы
совпадают, из принципа наименьшего действия выводится тензор гравитационного
поля и уравнения пробной массы в гравитационном поле. При этом, уравнения
Эйнштейна не используются. Выводятся уравнения Гамильтона-Якоби в НСО для
пробной массы, мировая линия которой может как принадлежать, так и не
принадлежать конгруенции мировых линий базиса НСО. В качестве примеров, на
основе предложенной в работе схемы, рассматривается движение в
центрально-симметричном гравитационном поле. При этом, полученные
результаты для
смещения перигелия орбиты, отклонения луча света, и красного смещения такие
же, как и в ОТО. На основании полученных результатов делаются выводы:
1. Сходство между законами Кулона и Ньютона позволяет построить теорию
тяготения в плоском пространстве-времени по аналогии с электродинамикой.
2. Учет свойств НСО, в которой исследователь проводит свои измерения,
является столь же необходимым, что и сами уравнения.
Показывается, что именно из-за того, что экспериментатор и его приборы
находятся на Земле (а не на Солнце и звездах), три известных эффекта ОТО
могут быть объяснены в рамках формализма, развитого в плоском
пространстве-времени.
Перейдем к непосредственному решению поставленной задачи.
Рассмотрим многообразие, в котором задана конгруенция линий
Всюду в дальнейшем греческие индексы будут изменяться от единицы до четырех,
а латинские - от единицы до трех.
В каждой точке многообразия M зададим два тензорных поля.
gmn(M)=gmn(x1,x2,x3,x4),
|
~
g
|
mn
|
(M)= |
~
g
|
mn
|
(x1,x2,x3,x4). |
| (44.2) |
Пусть gmn - есть метрический тензор пространства Минковского,
а [g\tilde]mn - метрический тензор некоторого псевдориманова пространства,
квадраты интервалов в которых между между одними и теми же точками выражаются
соответственно как
-d |
~
S
|
2
|
= |
~
g
|
mn
|
dxm dxn. |
| (44.4) |
Конгруенцию (44.1) будем рассматривать с двух точек зрения:
1. Пусть (44.1) есть конгруенция мировых линий, отображающих в пространстве
Минковского движение базиса некоторой СО, представляющей собой совокупность
бесконечного числа тел, заполняющих все пространство (или часть его). Роль
параметров ya выполняют лагранжевы координаты, первые три из которых
yk постоянны вдоль каждой мировой линии частицы среды, а y4 -
переменный, "временной".
2. Пусть (44.1) есть конгруенция геодезических в псевдоримановом пространстве
с каноническим параметром y4.
Из определений 1, 2 вытекают следующие соотношения
|
D Vm
d S
|
= |
¶2 xm
¶S2
|
+Gmes |
¶xe
¶S
|
|
¶xs
¶S
|
=fm, |
| (44.5) |
|
d y4
|
= |
¶2 xm
¶y42
|
+ |
~
G
|
m es
|
|
¶xe
¶y4
|
|
¶xs
¶y4
|
=0, |
| (44.6) |
Vm=Q |
¶xm
¶y4
|
= |
¶xm
¶S
|
=Q |
~
V
|
m
|
, |
| (44.7) |
где скалярный множитель Q выбирается так, чтобы выполнить условие
На основе (44.7) соотношение (44.6) принимает вид
|
¶2 xm
¶S2
|
+ |
~
G
|
m es
|
|
¶xe
¶S
|
|
¶xs
¶S
|
-Vm |
¶lnQ
¶S
|
=0. |
| (44.9) |
Учитывая (44.5), находим
где
Так как Smes представляет собой разность двух символов
Кристоффеля в одной и той же точке пространства, то эта величина
является общековариантным тензором аффинной деформации связности.
Прежде чем переходить к дальнейшему рассмотрению, проанализируем
физический смысл определений 1 и 2. Соотношение (44.5) представляет собой
релятивистский закон Ньютона в пространстве Минковского, а соотношение
(44.6) - уравнения геодезических в псевдоримановом пространстве с равным
нулю 4-ускорением [f\tilde]m.
Однако по определению решения уравнений (44.5) и (44.6) есть одни и те же
величины (44.1), которые можно интерпретировать как закон движения сплошной
среды в переменных Лагранжа в общей координации.
При этом простые соображения подсказывают, что соотношения (44.6) можно
интерпретировать как описание движения базиса НСО с точки зрения наблюдателей,
связанных с точками этого базиса. Тогда по отношению к каждому из наблюдателей
соответствующие точки базиса покоятся, т.е. относительная скорость и
относительное ускорение базиса по отношению к таким наблюдателям равны нулю.
Это видно и непосредственно из формулы (11.8), когда мировая линия
произвольной пробной частицы совпадает с одной из мировых линий базиса.
Очевидно, что при Vm=Um следует, что относительное 4-ускорение Ka=0.
Исчезновение же объективно существующего поля ускорений (силового поля)
должно привести к
появлению "чего-то другого", чем является (как будет показано ниже) тензор
аффинной деформации связности или производный от него тензор кривизны.
Целью этого раздела является установление связи между тензорами gmn и
[g\tilde]mn, т.е. между метрическим тензором пространства Минковского
и метрическим тензором псевдориманова пространства, каким в общем случае
описывается базис НСО, история движения которого отображается множеством
мировых линий. Построим к этому семейству мировых линий (если это окажется
невозможным в конечной, то ограничимся малыми областями, установив между
ними связь) семейство ортогональных к ним гиперповерхностей, на которых
выполняется условие ортогональности
Используя (44.12) и тождество
Vmdnmu= |
¶xm
¶ya
|
|
¶ya
¶xn
|
Vm, |
| (44.13) |
получим
Сn |
¶y4
¶xm
|
=-QСn Vm-Vn |
¶Q
¶xm
|
. |
| (44.15) |
Воспользуясь равенством
Сn |
¶y4
¶xm
|
-Сm |
¶y4
¶xn
|
=0, |
| (44.16) |
соотношение (44.16) сведем к виду
|
D Vm
d S
|
=-(dnm+Vn Vm) |
¶lnQ
¶xn
|
=fm, |
| (44.17) |
или
|
D Vm
d S
|
=-g*mn |
¶lnQ
¶xn
|
=fm. |
| (44.18) |
Полагая также
i |
¶xm
¶y4
|
= |
~
V
|
m
|
, |
i
Q
|
є ef, |
| (44.19) |
имеем
|
D Vm
d S
|
=-g*nm |
¶f
¶xn
|
=fm. |
| (44.21) |
Так как
то вычитая из (44.22) выражение (44.8) и используя (44.20),
находим
Если бы Va было произвольным, то из (44.23) вытекало бы
Однако Va задано заранее и (44.24) не имеет места в общем случае.
Общим решением (44.23) будет соотношение [13]
где aab=aba и aabVb=0. Множитель e2f
в правой части введен из удобства. Произвольный тензор aab, лежащий
на гиперповерхности, ортогональной мировым линиям, не может быть определен
без дополнительных условий.
Для выяснения этих условий рассмотрим на произвольной ортогональной мировым
линям гиперповерхности квадрат "физического" пространственного расстояния между
двумя бесконечно близкими частицами среды с точки зрения наблюдателей из
двух пространств.
dl2=gmn |
¶xm
¶yk
|
|
¶xn
¶yl
|
d yk dyl, |
| (44.26) |
d |
~
l
|
2
|
= |
~
g
|
mn
|
|
¶xm
¶yk
|
|
¶xn
¶yl
|
d yk dyl, |
| (44.27) |
что дает
d |
~
l
|
2
|
-dl2=( |
^
|
kl
|
- |
^
g
|
kl
|
)d yk d yl, |
| (44.28) |
где [^[g\tilde]]kl и [^g]kl - трехмерные "физические" тензоры.
Для выяснения связи между пространственными метрическими тензорами рассмотрим
двух наблюдателей. Пусть первый наблюдатель находится в данной НСО, т.е.
движется вместе с одной из частиц среды, относительно которой его трехмерная
скорость и ускорение равно нулю. Пусть второй наблюдатель движется равномерно
так, что его скорость в какой то момент времени совпадает со скоростью
рассматриваемой частицы среды. По отношению ко второму наблюдателю в данный
момент времени рассматриваемая частица также покоится, но имеет отличное
от нуля ускорение. Далее, оба наблюдателя измеряют пространственное расстояние
между какими-либо двумя бесконечно близкими фиксированными точками частицы (т.е.
расстояние между двумя бесконечно близкими мировыми линиями на гиперповерхности,
которая к этим линиям ортогональна). В согласии с СТО, всякое неинерциальное
движение локально инерциально. Поэтому мы можем ожидать, что результат измерений
двух наблюдателей будет одинаков.
Математически это означает обращение равенства (44.28) в нуль, что приводит
к соотношению
Умножая последнее равенство на
и учитывая (44.7) и (44.14), а также равенства
|
~
V
|
e
|
=e-fVe, |
~
V
|
e
|
=efVe,
|
~
V
|
e
|
|
~
V
|
e
|
=VeVe=-1, |
| (44.30) |
получим
|
~
g
|
mn
|
=gmn+ |
ж и
|
1-e2f |
ц ш
|
Vm Vn. |
| (44.31) |
Последнее соотношение можно представить в виде
|
~
g
|
mn
|
=e2f(gmn+amn), amn = |
ж и
|
e-2f-1 |
ц ш
|
g*mn. |
| (44.32) |
Итак, требование (44.29) приводит к однозначному определению [g\tilde]mn,
если задать такое поле 4-силы, что будут выполняться условия интегрируемости
системы (44.21) для отыскания поля скоростей и конформной функции f.
Из (44.31) найдем, что контрвариантный тензор [g\tilde]mn определяется
равенством
|
~
g
|
mn
|
=gmn+ |
ж и
|
1-e-2f |
ц ш
|
Vm Vn |
| (44.33) |
или, что то же самое
|
~
g
|
mn
|
=e-2f |
ж и
|
gmn+bmn |
ц ш
|
,
bmn= |
ж и
|
e2f-1 |
ц ш
|
g*mn. |
| (44.34) |
Отметим, что в работе [13] тензоры amn и bmn не
конкретизированы и связаны лишь условием их ортогональности 4-скорости,
которое в нашем случае выполняется тождественно.
Конечно, вывод тензоров amn и bmn, основанный нами на
равенстве бесконечно малых пространственных расстояний в сопутствующей СО
для для двух различных наблюдателей, отнюдь не является строгим. Последнее
слово в теоретических исследованиях всегда принадлежит эксперименту.
Рассмотрим геометрию движущегося континуума для найденного нами метрического
тензора. Так как общий анализ геометрических свойств СО подробно изложен
в [13], то мы остановимся только на свойствах, связанных с явным заданием
метрических тензоров (44.31), (44.33).
В силу (44.11)
где [(G)\tilde]mes, Gmes - символы Кристоффеля, соответствующие
метрическим тензорам [g\tilde]mn и gmn соответственно.
Следовательно,
|
~
С
|
s
|
|
~
g
|
mn
|
=0, Сsgmn=0, |
| (44.35) |
где [(С)\tilde]s и Сs - символы соответствующих ковариантных производных.
Тензор аффинной деформации связности Stmn может быть найден
из соотношений
Stmn= |
~
g
|
ts
|
Smn,s, Smn,s = |
1
2
|
|
ж и
|
Сm |
~
g
|
ns
|
+Сn |
~
g
|
ms
|
-Сs |
~
g
|
mn
|
|
ц ш
|
. |
| (44.36) |
Или с учетом (44.31) и (44.33) получим
Stmn = |
1
2
|
|
~
g
|
ts
|
|
ж и
|
2VsV(nTm)+2T VsС(m Vn)+ |
|
+2TVnС[mVs]+2TVmС[nVs]-Vm Vn Ts |
ц ш
|
, |
| (44.37) |
где
T= |
ж и
|
1-e2f |
ц ш
|
, Ts= |
¶T
¶xs
|
. |
| (44.38) |
Найдем выражение для тензора аффинной деформации связности в сопутствующих
тетрадах пространства Минковского, для которых выполняется условие
Отметим предварительное равенство
|
~
g
|
ts
|
ht (g)=hs(g)+i |
ж и
|
1-e-2f |
ц ш
|
Vsd(4g). |
| (44.40) |
В результате находим
S(ab,c)=0, S(ab,4)=S(ba,4)=i |
ж и
|
e-2f-1 |
ц ш
|
s(ab), |
|
S(a4,4)=S(4a,4)=-S(44,a)=-f(a)=hn(a) |
¶f
¶xn
|
, |
|
S(44,4)=-i |
df
d S
|
, S(4b,c)=S(b4,c) = |
|
= -S(4c,b)= |
i
2
|
|
ж и
|
1-e2f |
ц ш
|
w(bc), |
| (44.41) |
где s(ab) и ø(ab) - соответственно тензоры скоростей деформаций
и угловой скорости вращения в локальных тетрадах, которые в пространстве
Минковского определены с помощью соотношений (34.12) и (34.14).
Легко проверить, что подстановка выражения (44.37) в выражение (44.10)
обращает последнее в тождество.
Таким образом, мы видим, что тензор аффинной деформации связности в
локальных тетрадах содержит в себе как информацию о силовом поле, так и
кинематические характеристики континуума.
Тензор кривизны для НСО с учетом, что метрический тензор gmn
принадлежит пространству Минковского, можно записать в виде
|
~
R
|
t mn,s.
|
=2 |
й л
|
¶[m |
~
G
|
t n]s
|
+ |
~
G
|
t l[m
|
|
~
G
|
l n]s
|
|
щ ы
|
= |
|
= 2 |
й л
|
С[m Sn]st+ Sl[mt Sn]sl |
щ ы
|
. |
| (44.42) |
Рассмотрим некоторые частные случаи СО. Если в качестве СО рассмотреть
квази-ИСО, для которой
|
D Vm
¶S
|
=-(dnm+Vn Vm) |
¶f
¶xn
|
=fm=0,
С[m Vn]=0, |
| (44.43) |
то
Тензор кривизны в этом случае представим в виде
|
~
R
|
t mn,s.
|
= |
ж и
|
1-e-2f |
ц ш
|
|
й л
|
sntsms-smtsns |
щ ы
|
, |
| (44.44) |
где f = const.
Как мы показали ранее, тензор скоростей деформаций в пространстве Минковского
совпадает со вторым основным тензором гиперповерхностей, ортогональных
мировым линиям. Для жесткого в смысле Борна
движения smn=0 и квази-ИСО
превращается в ИСО с параллельными мировыми линиями.
Таким образом, происхождение тензора кривизны квази-ИСО связано с тем фактом,
что тела базиса квази-ИСО находятся в относительном движении.
Рассмотрим уравнения движения в поле тяжести пробной массы с точек
зрения наблюдателей ИСО и НСО. Так как закон Кулона и закон Ньютона одинаков,
то можно попытаться строить теорию гравитационного поля по аналогии с
электродинамикой. Однако, как известно из опыта, между гравитационным полем
и электростатическим имеется существенное различие.
В гравитационном поле тела различных масс испытывают одинаковое ускорение.
Как известно из СТО, движение частиц, из которых состоит тело, увеличивает
массу этого тела. Так как гравитационная и инертная массы эквивалентны, то
движение массы должно увеличивать и создаваемое ей гравитационное поле, в
то время как в электродинамике величина заряда не зависит от скорости заряда.
Итак, действие для частицы, движущейся в заданном гравитационном поле,
с точки зрения наблюдателей ИСО складывается из двух частей: из действия
свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем.
S= |
у х
|
b
a
|
|
ж и
|
-mcds+ |
m0
c
|
yAmdxm |
ц ш
|
, |
| (44.45) |
где m0 - масса покоя пробной частицы, Am - 4-вектор потенциал,
y - скаляр, описывающий отличие гравитационного поля от электромагнитного.
Заметим, что если положить y = 1, m0=e, то получим действие для заряда,
движущегося в электромагнитном поле, которое (с точностью до выбора сигнатуры
метрики) совпадает с (21.2). Из принципа наименьшего действия обычным
образом [7] получим
m0 c |
DVўm
ds
|
= |
m0
c
|
FmnVўn, |
| (44.46) |
Fmn=Сm(yAn)-Сn(yAm) = |
¶(yAn)
¶xm
|
- |
¶(yAm)
¶xn
|
, |
| (44.47) |
|
¶S
¶xm
|
=m0 c Vўm+ |
m0
c
|
yAm=Pm. |
| (44.48) |
Для определения смысла скаляра y воспользуемся тем, что в случае
статического с точки зрения наблюдателя ИСО поля в галилеевой системе
координат должен отсутствовать векторный потенциал, т.е. Ak=0.
В этом случае уравнение движения должно иметь вид
m0 c |
DVўk
ds
|
= |
m0
c
|
|
¶(yA4)
¶xk
|
Vў4. |
| (44.49) |
Так как
Vўk= |
vk
|
, Vў4= |
i
|
,
A4=iF0, |
|
ds=c dt |
ж Ц
|
|
, F0=- |
k M0
r
|
, |
| (44.50) |
то
|
d
d t
|
|
ж и
|
|
m0 vk
|
|
ц ш
|
= |
¶
¶xk
|
|
ж и
|
y |
k m0 M0
r
|
|
ц ш
|
. |
| (44.51) |
В последней формуле k - гравитационная постоянная, M0 - масса источника
гравитирующего тела, r - расстояние между центрами пробного тела и источника.
Так как при возрастании скорости тела его масса возрастает, то должна
возрастать и его потенциальная энергия взаимодействия. Поэтому скаляр y
должен быть равен
где vў - величина относительной скорости между массами m0 и M0.
Очевидно, что этот скаляр в общем случае можно представить в явном виде
в лоренц ковариантной форме.
где Vўm - 4-скорость пробного тела, Vўўm - 4-скорость источника.
Так как в исходной ИСО источник покоится, то Vўўk=0, Vўў4=i и поэтому
Таким образом, уравнение (44.51) можно представить в виде
|
d
d t
|
|
ж и
|
|
m0 vўk
|
|
ц ш
|
= |
d
d t
|
(mэ vўk) = |
¶
¶xk
|
|
ж и
|
|
k mэ M0
r
|
|
ц ш
|
. |
| (44.52) |
Таким образом, последнее уравнение напоминает классическое
нерелятивистское уравнение
движения, в котором масса покоя пробного тела m0 заменена на эффективную
массу движущегося тела mэ. Для электродинамики y = 1.
Для описания движения пробной частицы с точки зрения наблюдателя из НСО
удобнее воспользоваться уравнением Гамильтона-Якоби.
Пусть пробная частица движется по отношению к НСО так, что ее мировая линия
не принадлежит конгруенции мировых линий, образующих базис НСО. Будем
по-прежнему обозначать вектор 4-скорости пробной частицы относительно ИСО
как Vўm и как
Vm - поле скоростей базиса НСО по отношению к ИСО.
Рассмотрим предварительное выражение, на основе которого попытаемся
вывести уравнение Гамильтона Якоби. Воспользуясь формулой (44.33), находим
|
~
g
|
mn
|
m0c Vўm m0 c Vўn=(gmn+cVm Vn)m02c2Vўm Vўn=-m02 c2[1-c(Vm Vўm)2], |
|
Если в это выражение подставить вместо m0 c Vўm его компоненты
из (44.48), то получим
(gmn+cVm Vn) |
ж и
|
|
¶S
¶xm
|
- |
m0
c
|
yAm |
ц ш
|
|
ж и
|
|
¶S
¶xn
|
- |
m0
c
|
yAn |
ц ш
|
+ |
|
Итак, получили уравнение Гамильтона-Якоби, которое описывает движение
пробной массы для наблюдателей в НСО, использующих координаты ИСО пространства
Минковского. Для перехода от НСО к ИСО в уравнении (44.53) нужно положить
c = 0. Для дальнейших исследований перейдем к сопутствующим тетрадам базиса
НСО, в котором i hm(4)=Vm. Для этого случая уравнение (44.53) примет
вид
(1-c) |
ж и
|
|
¶S
¶x(4)
|
- |
m0
c
|
yA(4) |
ц ш
|
2
|
+ |
ж и
|
|
¶S
¶x(k)
|
- |
m0
c
|
yA(k) |
ц ш
|
· |
|
· |
ж и
|
|
¶S
¶x(k)
|
- |
m0
c
|
yA(k) |
ц ш
|
+ m02 c2[1-c(i Vў(4))2]=0. |
| (44.54) |
На основе полученного уравнения рассмотрим движение пробной массы
в центрально-симметрическом гравитационном поле.
Рассмотрим сначала случай, когда мировая линия рассматриваемой частицы
принадлежит одной из мировых линий базиса НСО. Для этого случая Vў(4)=i.
Кроме того примем, что A(k)=0. Тогда уравнение (44.54) будет иметь вид
(1-c) |
й л
|
|
ж и
|
|
¶S
¶x(4)
|
- |
m0
c
|
yA(4) |
ц ш
|
2
|
+ m02 c2 |
щ ы
|
+ |
¶S
¶x(k)
|
|
¶S
¶x(k)
|
=0. |
| (44.55) |
Конформную функцию f определим из уравнений движения (44.21) и (44.46),
записанных в сопутствующих тетрадах.
Уравнение (44.21) в сопутствующих тетрадах представимо в виде
hm(k)fm=f(k)=- |
¶f
¶x(k)
|
. |
| (44.56) |
Уравнение (44.6) с учетом A(k)=0 в сопутствующих тетрадах представимо как
f(k)= |
i
c2
|
|
¶(y1 A(4))
¶x(k)
|
|
1
|
|
| (44.57) |
Полагая A(4)=iF, находим из сравнения двух последних формул, что
|
¶f
¶x(k)
|
= |
¶
¶x(k)
|
ln |
ж и
|
1+ |
y1F
c2
|
|
ц ш
|
. |
| (44.58) |
Для дальнейших вычислений сделаем следующие физические допущения:
В центре массивного тела, создающего гравитационное поле, выбираем начало
координат ИСО. В качестве базиса НСО выбирается планетарная система отсчета
[1], т.е. совокупность тел, движущихся по замкнутым орбитам в плоскости
q = p/2 (т.е. плоскости x1, x2) вокруг оси x3.
Очевидно, что для наблюдателей, находящихся на одном из тел НСО,
пространственные расстояния измеряются в гиперплоскости, ортогональной
мировой трубке наблюдателей. Выбирая на этой гиперплоскости сферическую
систему координат, начало которой связано с мировой линией начала координат
ИСО, и учитывая, что движение тел (с точки зрения ИСО) происходит в одной
плоскости, имеем
f(3)=- |
¶f
¶x(3)
|
=0, |
¶f
¶x(k)
|
= |
¶f
¶R
|
|
¶R
¶x(k)
|
= |
¶f
¶R
|
n(k), k=1,2, |
|
n(k)n(k)=1, f = ln |
ж и
|
1+ |
y1F
c2
|
|
ц ш
|
. |
| (44.59) |
Для наблюдателя из планетарной НСО уравнение Гамильтона-Якоби сведется к
виду
(1-c) |
й л
|
- |
1
c2
|
|
ж и
|
|
¶S
¶t
|
+ |
m0
c
|
y1F) |
ц ш
|
2
|
+m02 c2 |
щ ы
|
+ |
ж и
|
|
¶S
¶R
|
|
ц ш
|
2
|
+ |
1
R2
|
|
ж и
|
|
¶S
¶u
|
|
ц ш
|
2
|
=0, |
| (44.60) |
где R - радиальные, u - угловые полярные координаты на гиперплоскости.
Для определения скаляра y1 проинтегрируем
(44.52), когда движение происходит по круговой орбите.
y1= |
1
|
= |
1
|
, x є |
kM0
Rc2
|
= |
r0
2R
|
, |
| (44.61) |
где M0 - масса покоя тела, создающего гравитационное поле, r0
- гравитационный радиус, O(x) - члены большего порядка малости по x, чем
x.
Величина
В последнем соотношении мы ограничились членами второго порядка малости
по x.
По общим правилам решение уравнения Гамильтона-Якоби ищем в виде
с постоянной энергией E0 и моментом импульса M. Радиальная часть
действия сводится к виду
SR= |
у х
|
|
ж Ц
|
|
й л
|
|
1
c2
|
|
ж и
|
E0- |
m0y1
c
|
F |
ц ш
|
2
|
-m02 c2 |
щ ы
|
(1-c)- |
M2
R2
|
|
|
d R, |
| (44.63) |
где
F = - |
k M0
R
|
, - |
m0y1
c
|
F = |
m0 c2 x
|
= m0 c2 |
ж и
|
x+ |
1
2
|
x2 |
ц ш
|
. |
| (44.64) |
Раскрыв подкоренное выражение в (44.63) и ограничившись членами квадратичными
по x, имеем
SR= |
у х
|
|
й л
|
|
ж и
|
2Eўm0+ |
Eў2
c2
|
|
ц ш
|
(1+2x+4x2)+2E0m0x+ |
|
+(5 E0m0+m02 c2)x2- |
M2
R2
|
|
щ ы
|
1/2
|
d R, |
| (44.65) |
где Eў - нерелятивистская энергия (без энергии покоя). Так как мы
рассматриваем нерелятивистский случай, то E0 >> Eў и поэтому
E0 » m0 c2. Как известно из [7], поправочные коэффициенты
при x и свободный член под корнем отражаются только на не представляющем
особого интереса изменении связи между энергией и моментом частицы и
параметрами ее ньютоновской орбиты (эллипса). Изменение коэффициента при
1/R2 приводит к более существенному эффекту - смещению перигелия орбиты.
Траектория определяется из уравнения
Используя вычисления из [7], получим
где e - эксцентриситет эллипса, a - большая полуось, du -
перемещение ньютоновского эллипса за время одного оборота, т.е. смещение
перигелия орбиты.
Полученная формула (44.66) совпадает с аналогичным выражением из ОТО.
Отметим, что если бы мы вывели эту формулу при y1=1, что соответствует
электродинамике, то получили бы значение перигелия с точки зрения НСО как
du= |
5pQ q
c2a(1-e2)m0
|
= |
5pQ2 q2
c2 M2
|
, |
| (44.67) |
где Q - заряд, создающий поле, q - противоположный по знаку пробный заряд.
Сравнение последней формулы с (26.40), где рассматривалось движение электрона
в поле протона, говорит о их совпадении.
Переходя к ИСО (т.е. c = 0 в (44.63)), получим для случая модифицированного
гравитационного взаимодействия
а для электродинамики
du= |
pQ q
c2a(1-e2)m0
|
= |
pQ2 q2
c2 M2
|
. |
| (44.69) |
Таким образом, смещение перигелия с точки зрения ИСО для модифицированной
гравитации в три раза меньше, а для электродинамики в пять раз меньше, чем
для наблюдателя из НСО.
Рассмотрим распространение светового луча в центрально-симметричном
гравитационном поле с точки зрения наблюдателя из НСО.
Так как мировая линия фотона не принадлежит конгруенции мировых линий базиса
НСО, то в формуле (44.53) Vm Vўm № 1, но масса покоя m0=0.
Поэтому последний член в (44.53) выпадает. Следовательно, для описания
фотона в (44.63) нужно положить m0=0. Следует отметить одно очень
существенное обстоятельство. Хотя m0® 0, но v® c и y®Ґ,
оставляя конечной величину энергии E
Закон сохранения полной энергии фотона E0 в поле тяжести
имеет очевидный вид
E0=E- |
m0yM0 k
R
|
=E(1-x)=const. |
| (44.71) |
Так как x - малая величина по сравнению с единицей, то
Выразив энергию фотона через частоту n
и постоянную Планка h в виде
получим хорошо известный закон изменения частоты в поле тяжести
Из формулы видно, что частота света возрастает с увеличением абсолютной
величины потенциала.
Выражение (44.63) с учетом (44.62) и (44.71) можно представить в виде
SR= |
у х
|
|
ж Ц
|
E02
c2
|
(1+4x+11x2)- |
M2
R2
|
|
d R, |
| (44.74) |
Далее, полагая E0=hn0, M=m0ycr, где r - ближайшее
расстояние до центра гравитирующего тела и пренебрегая x2, получим
|
SR
h
|
=YR= |
n0
c
|
|
у х
|
|
ж Ц
|
|
d R, |
| (44.75) |
Выражение (44.75) в точности совпадает с радиальной частью эйконала YR,
полученной из ОТО [7]. В последней формуле r0 - гравитационный радиус
гравитирующего тела
Из (44.75) следует, что под влиянием поля тяготения световой луч искривляется
(притягивается к центру), так что угол между асимптотами траектории луча
меньше p на величину
С точки зрения наблюдателя ИСО (c = 0) и угол отклонения
т.е. в два раза меньше.
Основным результатом этого раздела является тот, что именно из-за того,
что наблюдатель и его приборы находятся на Земле, а не на Солнце и звездах,
можно объяснить известные эффекты ОТО, не используя уравнения поля
Эйнштейна.
© Подосенов С.А. Пространство, время и классические поля связанных структур, 2002
Все права защищены Российским и международным законодательством.
Перепечатка и тиражирование только с согласия автора.