В этой главе выведено релятивистское уравнение неразрывности и найдено его решение. На основе вариационного принципа Лагранжа построена релятивистская динамика изотропного упругого континуума. Получен релятивистский закон Гука и показано, что механическая система уравнений, описывающая поведение релятивистского изотропного упругого континуума, является замкнутой. В качестве примеров решена задача о распространении плоских волн в неограниченной изотропной движущейся среде и в рамках СТО найден аналог жесткого "равноускоренного" движения континуума, приведший к концепции Борна.

Важной характеристикой сплошной среды является ее плотность. Для определения последней рассмотрим на некоторой произвольной, но фиксированной гиперповерхности y⁴=const малый объем DV. Масса выделенного объема на этой гиперповерхности есть Dm. Тогда плотностью среды на данной гиперповерхности, ортогональной мировым линиям, назовем величину r^*, определяемую равенством

r*= lim DV® 0   Dm DV =  d m d V .

(35.1)

Так как r^* определяется на ортогональной мировым линиям частиц среды гиперповерхности, то она является инвариантной плотностью той части массы покоя, которая при движении не меняется. Пусть объем d V является объемом некоторого параллелепипеда, построенным из бесконечно малых векторов d x(i), dx(i), Dx(i). Согласно известному соотношению аналитической геометрии, объем этого параллелепипеда есть

d V=e(ijk)d x(i)dx(j)Dx(k).

(35.2)

Так как мы применяем только правосторонние системы координат, то d V является истинным скаляром относительно преобразований триад [h\vec](k). e(ijk) - единичный, совершенно антисимметричный псевдотензор, для которого справедливы следующие известные соотношения [7].

e(123)=1,   e(ijk)=e(jki)=e(kij) =

-e(jik)=-e(kji)=-e(ikj),   e(abc)e(lmn) =

= d(al)d(bm)d(cn)+d(am)d(bn)d(cl)+d(an)d(bl)d(cm)-

-d(al)d(bn)d(cm)- d(an)d(bm)d(cl)- d(am)d(bl)d(cn),

e(abn)e(lmn) = d(al)d(bm)-d(am)d(bl),

e(amn)e(lmn)=2d(al), e(lmn)e(lmn)=6.

(35.3)

Частицы среды, имеющие на актуальной гиперповерхности объем d V, на начальной гиперповерхности [y\dot]⁴=const занимали объем d [V\dot].

d Ч V   =e(ijk)d Ч x   (i)d Ч x   (j)D Ч x   (k).

(35.4)

Так как вектор d[x\dot](i) лежит на начальной гиперповерхности, то его выражение в компонентах есть

d Ч x   (i)= Ч h   p  (i)d yp.

(35.5)

Как известно, детерминант D матрицы некоторого тензора T(pq) можно записать в виде

D=  1 6 e(ijk)e(pqr)T(ip)T(jq)T(kr).

(35.6)

Кроме того, для этого детерминанта имеют место эквивалентные соотношения, а именно

D=e(ijk)T(i1)T(j2)T(k3)=e(ijk)T(1i)T(2j)T(3k).

(35.7)

Из последнего соотношения следует равенство

e(pqr)D=e(ijk)T(ip)T(jq)T(kr)=e(ijk)T(pi)T(qj)T(rk).

(35.8)

Используя (35.8), представим (35.4) в форме

d Ч V   =e(ijk) Ч h   p  (i) Ч h   q  (j) Ч h   r  (k)d yp dyq Dyr = det || Ч h   n  (m) ||epqrd yp dyq Dyr.

(35.9)

На начальной гиперповерхности имеет место равенство

Ч h   n  (4)=0,    Ч h   n  (m) Ч h   k  (m)= Ч g   nk  .

(35.10)

Откуда

det || Ч g   nk  ||= det || ~ Ч h   m  (k)|| det || Ч h   n  (m)||=( det || Ч h   n  (m)||)2,

~ Ч h   m  (k) є Ч h   k  (m).

Поэтому

det || Ч h   n  (m)||=   ж Ц det || Ч g   nk  ||   є   ж Ц Ч g   .

(35.11)

Откуда имеем

d Ч V   =   ж Ц Ч g   epqrd yp dyq Dyr.

(35.12)

Так как на начальной и актуальной гиперповерхностях лагранжевы координаты частиц одинаковы, то dy^p можно рассматривать как функции тетрадных переменных Эйлера на актуальной гиперповерхности y⁴=const, т.е.

d Ч V   =   ж Ц Ч g   epqr  ¶yp ¶x(i)  ¶yq ¶x(j)  ¶yr ¶x(k) d x(i)dx(j) Dx(k) =

=   ж Ц Ч g   det к к к к  ¶yn ¶x(m) к к к к dV,

(35.13)

где при выводе воспользовались (35.2) и (35.8). Из сохранения элемента массы покоя (без учета упругого взаимодействия, которое будет рассмотрено далее) на начальной и актуальной гиперповерхностях следует

d m=r* dV=r0*d Ч V   ,

(35.14)

что дает

r* = r0*   ж Ц Ч g   det ||an(m)||,    an(m) є  ¶yn ¶x(m) .

(35.15)

Здесь r₀^* - плотность среды в естественном недеформированном состоянии, отнесенная к начальной ортогональной мировым линиям гиперповерхности и являющаяся поэтому (как и r^*) инвариантной плотностью.

Докажем следующую теорему:

Плотность r^*=r₀^*Ц{[g\dot]}det||aⁿ(m)|| удовлетворяет уравнению неразрывности, т.е. имеет место равенство

¶ ¶xn (r* Vn)=0.

(35.16)

Доказательство.

На произвольной фиксированной гиперповерхности имеет место равенство

¶x(k) ¶yb  ¶yb ¶x(l) =d(kl).

(35.17)

Дифференцируя равенство по s и умножая на ¶yⁿ/¶x(k), получим

-  ¶yn ¶x(k)  d d s ж и  ¶x(k) ¶yb ц ш  ¶yb ¶x(l) =  ¶x(k) ¶yb  d d s ж и  ¶yb ¶x(l) ц ш  ¶yn ¶x(k) =  d d s ж и  ¶yn ¶x(l) ц ш ,

(35.18)

d d s ж и  ¶x(k) ¶yb ц ш =  d ha(k) d s  ¶xa ¶yb +ha(k)  d d s ж и  ¶xa ¶yb ц ш .

(35.19)

В силу переноса Ферми, который используется нами при переносе триад вдоль мировых линий, имеем

d ha(k) d s  ¶xa ¶yb =b Bshs(k)Va  ¶xa ¶yb =0.

Поэтому (35.19) представляется в форме

d d s ж и  ¶x(k) ¶yb ц ш = ha(k)q  ¶ ¶y4 ж и  ¶xa ¶yb ц ш = ha(k)q  ¶ ¶yb ж и  ¶xa ¶y4 ц ш =

= ha(k)q  ¶ ¶yb ж и  Va) q ц ш =ha(k)qVa  ¶ ¶yb ж и  1 q ц ш +ha(k)  ¶Va ¶yb =ha(k)  ¶Va ¶yb .

(35.20)

Подставляя последнее соотношение в (35.18), находим

d d s ж и  ¶yn ¶x(l) ц ш = -  ¶yn ¶x(k)  ¶yb ¶x(l) ha(k)  ¶Va ¶yb = -ha(k)  ¶yn ¶x(k)  ¶Va ¶x(l) ,

т.е.

d d s (an(l)) = -an(k)ha(k)  ¶Va ¶x(l) .

(35.21)

Используя (35.7), представим плотность r^* в виде

r*=   ж Ц Ч g   epqrap(1) aq(2) ar(3).

(35.22)

Найдем изменение плотности r^* вдоль мировых линий. Так как начальное состояние фиксировано, то d (Ц{[g\dot]})/d s=0. Поэтому, воспользовавшись (35.21), находим

d r* d s = -r0*   ж Ц Ч g   epqr ж и ap(k)ha(k)  ¶Va ¶x(1) aq(2) ar(3)+

+ap(1) ar(3) aq(k)ha(k)  ¶Va ¶x(2) +ap(1) aq(2) ar(k)ha(k)  ¶Va ¶x(3) ц ш =

= -r0*   ж Ц Ч g   epqrap(1) aq(2) ar(3)ha(k)  ¶Va ¶x(k) = -r*g*as  ¶Va ¶xs = -r*  ¶Va ¶xa .

(35.23)

Из последнего соотношения следует

d r* d s +r*  ¶Va ¶xa = Ve  ¶r* ¶xv +r*  ¶Ve ¶xv =  ¶ ¶xe (r* Ve)=0,

что и доказывает теорему.

Приведем второй способ доказательства теоремы. Для этого перепишем (35.14) в другой эквивалентной форме. Так как

an(m)  ¶x (m) ¶yl =d(nm),

то

det ||an(m)||=  1 det к к к к  ¶x (m) ¶yl к к к к ,

det к к к к  ¶x (m) ¶yl к к к к = det к к к к hm(m)  ¶xm ¶yl к к к к = det || ^ h   l  (m)||.

С другой стороны

^ g   ln  = ^ h   l  (n) ^ h   n  (n)= ^ h   l  (k) ^ h   n  (k)+ ^ h   l  (4) ^ h   n  (4) = ^ h   l  (k) ^ h   n  (k),

поскольку

^ h   l  (4)=he(4)  ¶xe ¶yl =  Ve i  ¶xe ¶yl =0

в силу условия ортогональности 4-скорости V_e актуальной гиперповерхности. Поэтому

det || ^ h   l  (m)||=   ж Ц det || ^ g   kl  ||   є   ж Ц ^ g   ,    r*=r0*   ж  ъ Ц Ч g ^ g   .

(35.14a)

Соотношение (35.14а) представляет собой уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Оно имеет точно такой же вид, как и в классической механике сплошной среды [44]. Разница между классическим и релятивистским уравнением неразрывности в переменных Лагранжа состоит в том, что [^g]_kl и [g\dot]_kl метрические тензоры на начальной и актуальной гиперповерхностях, ортогональных мировым линиям, в то время как при классическом описании эти же тензоры задаются гиперплоскостях одновременных событий (актуальной и начальной).

От уравнений неразрывности в форме Лагранжа перейдем к уравнениям в форме Эйлера. Дифференцируя (35.14а) по s, имеем

d r* d s =-  1 2 r0*   ж Ц Ч g   ^ g   -3/2   d ^ g   d s ,    d ^ g   d s = ¶ ^ g   ¶ ^ g   ik  ¶ ^ g   ik  ¶s =Aik ¶ ^ g   ik  ¶s ,

где A^ik - алгебраическое дополнение элемента [^g]_ik. С другой стороны, A^ik=[^g][^g]^ik. Кроме того, используя соотношение (34.24), получаем

d r* d s =-r0*sab  ¶xa ¶yi  ¶xb ¶yk ^ g   ik   .

Так как

^ g   ik   =  ¶yi ¶xn  ¶yk ¶xn ,

то

d r* d s =-r0*sabg*ang*bn = -r0*snn=-r0*  ¶Vn ¶xn .

Откуда снова имеем (35.16). Из последнего соотношения следует, что при жестком в смысле Борна движении плотность r^* вдоль мировых линий остается неизменной.

Из соотношения (35.16) выведем интегральный закон сохранения. Проинтегрируем (35.16) по четырехобъему

dØ = dx1dx2dx3dx4.

(35.24)

В результате получим

у х  ¶ ¶xn (r* Vn)dØ = 0.

(35.25)

Используя теорему Гаусса, интегрируя последнее соотношение по объему неограниченно расширяющемуся в пространственно подобных направлениях и ограниченному во временно подобных направлениях двумя трех-плоскостями x₄ў=const и x₄ўў=const и считая, что на границах пространственного объема подинтегральное выражение обращается в нуль, имеем

у х  ¶ ¶xn (r* Vn)dØ = у (з) х r* Vn d Sn=0.

Интеграл по замкнутой поверхности, ограничивающий четырехобъем, разобъем на три интеграла:

у (з) х r* Vn d Sn= у х r* Vk dSk+ у х r* V4 dS4ў- у х r* V4 dS4ўў=0.

у х r* Vk dSk=0,

так как интегрирование происходит по бесконечно удаленной поверхности, ограничивающий пространственный объем, где вещество отсутствует. Поэтому имеем

у х r* V4 dS4ў = у х r* V4 dS4ўў,

(35.26)

где dS₄=dV=dx₁dx₂dx₃. Откуда получим

у х t=t1  r* V4 dV = у х t=t2  r* V4 dV.

(35.27)

Иными словами тr^* V₄ dV, рассмотренный в любой момент времени t, сохраняется, т.е. имеет место равенство.

M*=-i у х r* V4 dV= у х r* dV*=const,

(35.28)

где dV^* - элемент собственного объема в сопутствующей системе Эйлера. Равенство (35.38) выражает закон сохранения массы покоя тела.

Если вопросам релятивистской гидродинамики и газовой динамики в литературе уделяется достаточно много внимания, то вопросы, связанные с релятивистской теорией упругости, рассматриваются значительно реже. При этом, большинство авторов подходят к рассмотрению проблемы с позиций ОТО. Однако, представляет интерес рассмотреть эту проблему с позиций СТО. Вариационные методы в релятивистской механике сплошных сред развиты в работах Л.И. Седова и его учеников (см., например, [5] и литературу к ней), К.П. Станюковича [133]. Во многих задачах механики сплошной среды можно не учитывать термических процессов и ограничиться только чисто механическим рассмотрением. Помимо этого будем рассматривать для простоты только изотропные тела. Для выводов основных законов движения упругой среды воспользуемся вариационным принципом, предполагая, что упругой среде как некоторой обобщенной динамической системе может быть сопоставлена функция Лагранжа, представляющая собой объемный интеграл от плотности функции Лагранжа L. Последняя зависит от функций поля y^m и их первых производных по эйлеровым координатам и времени. Интеграл от функции Лагранжа по времени называется действием. Оно может быть представлено в виде интеграла от L по четырехмерному объему Ø, где dØ определяется соотношением (35.24). Действие S представим в виде

S=-  i c у х Ld Ø.

(36.1)

Мы предполагаем, что действие должно быть экстремальным для действительного движения, т.е. для таких значений y^m, которые должны удовлетворять "уравнениям поля". Так как эти уравнения должны быть релятивистски инвариантными, то релятивистским инвариантом должна быть функция L. При выводе общих соотношений, в которых плотность лагранжиана не конкретизируется, мы следуем известным методам, разработанным в классической и квантовой теории поля, например, в работах [131], [7], [132], [109]. Часто в качестве лагранжиана в механике сплошных сред выбирается давление, которое является скаляром относительно преобразований Лоренца. Следуя В.А. Фоку [3], в качестве плотности функции Лагранжа выбираем инвариант, определяемый равенством

L=-r*c2 ж и 1+  P c2 ц ш ,

(36.2)

где r^* определяется (35.22). P - потенциальная энергия упругого сжатия единицы массы, рассматриваемая на актуальной гиперповерхности (как и r^*) и являющаяся поэтому скаляром относительно преобразований Лоренца. Лагранжиан, подобный (36.2), рассматривался В.А. Фоком [3] при выводе релятивистских уравнений идеальной жидкости, однако в нашем случае "функциям поля" y^m приписывается другой физический смысл, чем в работе [3]. Под "полевыми функциями" y^m, в силу рассматриваемой нами кинематики, мы понимаем четыре скалярные относительно глобальных преобразований Лоренца функции, первые три из которых y^k постоянны вдоль каждой мировой линии, а y⁴ постоянен на каждой фиксированной гиперповерхности, ортогональной мировым линиям. Величины ¶y^m/¶x_e представляют собой компоненты смешанного тензора, так как x_e принадлежит пространству Минковского, а y^m к лагранжевой сопутствующей системе. Действительно, пусть, например x_e=x_e(xў^a), тогда

¶ym ¶xўa =  ¶ym ¶xe  ¶xe ¶xўa .

(36.3)

Таким образом ¶y^m/¶x_e при преобразованиях x_e=x_e(xў^a) ведет себя как совокупность ковариантных векторов.

Пусть yў^m=yў^m(y^a). Тогда

d yўm=  ¶yўm ¶ya  ¶ya ¶xe dxe,     ¶yўm ¶xe =  ¶yўm ¶ya  ¶ya ¶xe .

(36.4)

Следовательно, ¶y^m/¶x_e при преобразованиях yў^m=yў^m(y^a) ведут себя как совокупность контравариантных векторов.

Общая вариация действия (36.1) связана с варьированием как полевых функций y^m, так и границы области интегрирования. Рассмотрим, прежде всего, вариацию действия при закрепленных границах, предполагая, что вариация полевых функций dy^m на границе равна нулю.

dS=-  i c у х ж и  ¶L ¶ym dym+  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш d ж и  ¶ym ¶xe ц ш ц ш dØ =

= -  i c у х ж и  ¶L ¶ym dym+  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш dym ц ш -  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш ц ш dym ц ш dØ = 0.

(36.5)

Рассмотрим отдельно второй член, т.е.

у х  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш dym ц ш dØ = у (з) х  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш dym dSe=0,

(36.6)

где мы применили теорему Гаусса, заменив интеграл по четырехобъему интегралом по поверхности, охватывающий этот объем. Но вариация на границе области по предположению равна нулю, так как мы варьировали при закрепленных границах. Поэтому интеграл (36.6) обращается в нуль. Откуда следует, что

dS=-  i c у х ж и  ¶L ¶ym -  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш ц ш ц ш dym dØ = 0.

(36.7)

В силу произвольности dy^m находим следующие "уравнения движения" ("уравнения поля")

¶L ¶ym -  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶ym ¶xe ц ш ц ш =0.

(36.8)

Этим уравнениям, физический смысл которых выясним позже, должно удовлетворять действительное движение среды.

Рассмотрим теперь вариацию действия, считая, что и область интегрирования Ø подвергнута вместе с "волновым полем" бесконечно малому преобразованию, считая по-прежнему, что вариация dS=0. Рассмотрим бесконечно малое преобразование координат

xўm=xm+dxm,

(36.9)

dxm=Xmhdøh,   (h = 1,2,3...s),

(36.10)

где dø_h - бесконечно малые параметры. При таком преобразовании "функции поля" y^m(x_e) переходят в функции yў^m(xў_e), т.е.

ym(xe)® yўm(xўe)=ym(xe)+dym(xe),

(36.11)

где

dym(xe) є ymh døh.

(36.12)

Полная вариация dy^m обусловлена как вариацией формы [`(d)]y^m, так и вариацией координат, т.е.

- d   ym=dym-  ¶ym ¶xe dxe= ж и ymh -  ¶ym ¶xe Xeh ц ш døh.

(36.13)

Полная вариация действия dS может быть представлена в виде

dS=-  i c d у х LdØ = -  i c ж и у х dLdØ+ у х Ldd Ø ц ш =0,

(36.14)

dL= - d   L+  dL ¶xe dxe =  ¶L ¶yn - d   yn+  ¶L ¶ ж и  ¶yn ¶xe ц ш - d   ж и  ¶yn ¶xe ц ш +  dL ¶xe dxe,

(36.15)

ddØ = dØ  ¶dxe ¶xe .

(36.16)

Откуда

dS=-  i c у х й л  ¶L ¶yn - d   yn+  ¶L ¶ ж и  ¶yn ¶xe ц ш  ¶ ¶xe - d   yn+  dL ¶xe dxe+L  ¶dxe ¶xe щ ы dØ = 0.

(36.17)

При выводе последнего соотношения мы учли, что операторы [`(d)] и ¶/¶x_e коммутируют. В силу уравнений движения (36.8) и (36.13) получаем

dS=-  i c у х  ¶ ¶xe й л  ¶L ¶ ж и  ¶yn ¶xe ц ш ж и ynh-  ¶yn ¶xs Xsh ц ш + LXeh щ ы døh dØ = 0,

(36.18)

что эквивалентно соотношению (теорема Э. Нетер [131])

¶ - Q   he  ¶xe =0,

(36.19)

где

- Q   he  є  ¶L ¶ ж и  ¶yn ¶xe ц ш ж и ynh-  ¶yn ¶xs Xsh ц ш + LXeh.

(36.20)

Используя теорему Гаусса, интегрируя соотношение (36.19) по объему неограниченно расширяющемуся в пространственно подобных направлениях и ограниченному во временно подобных направлениях двумя трех-плоскостями x₄ў=const и x₄ўў=const и считая, что на границах пространственного объема подинтегральное выражение обращается в нуль, имеем

у х - Q   h4  d V=const,

(36.21)

где при выводе использовали тот же метод, что и при выводе закона сохранения массы покоя (35.28). Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть преобразование (36.9) соответствует бесконечно малым смещениям (трансляциям) координат, т.е.

dxm=døm,   Xmh=dmh,   (m,h = 1,2,3,4).

(37.1)

Так как y^m представляет собой совокупность скалярных функций относительно преобразований (36.9), то

yўm(xўs)-ym(xs)=0=dym=ymhdøh.

(37.2)

Из последнего соотношения вытекает

ymh=0,

(37.3)

что приводит выражение для (36.20) к виду

- Q   me  =Tmn = Ldmn-  ¶L ¶ ж и  ¶yb ¶xn ц ш  ¶yb ¶xm ,

(37.4)

¶Tmn ¶xe =0,

(37.5)

Pm=-  i c у х Tm4 d V=const,

(37.6)

Тензор T_mn, определенный соотношением (37.4), носит название канонического тензора энергии-импульса. Сохраняющийся 4-вектор P_m называется четырех-вектором энергии-импульса. Компонента

c i P4=- у х T44 d V=const

представляет собой полную энергию системы, а

Pk=-  i c у х Tk4 d V=const

выражает закон сохранения импульса замкнутой системы. Отметим, что в общем случае тензор T_mn не является симметричным.

Применим развитый выше формализм для отыскания тензора энергии-импульса упругой среды. Для этого в соотношение (37.4) подставим плотность функции Лагранжа L из (36.2), введя для краткости обозначение

¶yb ¶xn є abn.

(37.6)

Вычислим

¶L ¶abn =-c2  ¶r* ¶abn ж и 1+  P c2 ц ш -r*  ¶P ¶abn .

(37.7)

Используя выражение (35.22), находим

¶r* ¶abn =  ¶r* ¶ai(k)  ¶ai(k) ¶abn =  ¶r* ¶ai(k) he(k)dibden = r0*   ж Ц Ч g   epqrhn(k)dib·

·[d(1k)dpi aq(2) ar(3)+d(2k)dqi ap(1) ar(3)+d(3k)dri ap(1) aq(2)],

(37.8)

¶r* ¶abn abn = r0*   ж Ц Ч g   epqrhn(k)hm(l)  ¶yi ¶x(l) ·[d(1k)dpi aq(2) ar(3)+

+d(2k)dqi ap(1) ar(3)+d(3k)dri ap(1) aq(2)] = r0*   ж Ц Ч g   epqrhn(k)hm(l)·

·[d(1k)ap(l)aq(2) ar(3)+d(2k)aq(l)ap(1) ar(3)+

+d(3k)ar(l)ap(1) aq(2)] = r0*   ж Ц Ч g   epqrap(l)aq(2) ar(3)·

·[hn(1)hm(1)+hn(2)hm(2)+hn(3)hm(3)]=r*g*mn.

(37.9)

Рассмотрим выражение

r*  ¶P ¶abn ¶abm = r*  ¶P ¶ai(k)  ¶ai(k) ¶abn abm =

r*  ¶P ¶ai(k) dibhn(k)  ¶yb ¶x(l) hm(l) = r*  ¶P ¶ai(k) ai(l) hn(k)hm(l).

(37.10)

При выводе мы использовали соотношения

¶yi ¶xm =  ¶yi ¶x(a) hm(a) =  ¶yi ¶x(4) hm(4)+  ¶yi ¶x(l) hm(l),

в котором

¶yi ¶x(4) =  1 i  ¶yi ¶s =0,

так как лагранжевы координаты не меняются вдоль мировых линий. Если ввести обозначение

r*  ¶P ¶ai(k) ai(l) є - S(kl),

(37.11)

то можно увидеть, что тензор S_(kl) в локальных тетрадах совпадает с известным выражением для тензора напряжений в классической теории упругой среды в декартовых координатах [129], с той лишь разницей, что переменные Эйлера x_k заменяются на тетрадные сопутствующие переменные Эйлера x(k). Используя проделанные вычисления, получаем для тензора энергии-импульса выражение

Tmn=eVm Vn-Smn,   e =-L =   ж Ц Ч g   r0*c2 det к к к к  ¶yi ¶x(k) к к к к ж и 1+  P c2 ц ш ,

(37.12)

Smn=hm(k)hn(l) S(kl),

(37.13)

где S_mn - тензор напряжений, отнесенный к пространству Минковского. Соотношение (37.12) совпадает с общим выражением работы [20], в которой величина e и S_mn не конкретизируется. Требования, которые в [20] накладываются на тензор напряжений,

SmnVn=0,   SmnVm=0,

(37.14)

в нашем случае выполняются тождественно, что следует из ортогональности тетрад вида

hm(k)Vm=ihm(k)hm(4)=id(k4)=0.

Кроме того, для тензора T_mn имеют место очевидные соотношения

e=ТmnVm Vn,   -Sab=g*alg*bnTln.

(37.15)

Последние соотношения совпадают с аналогичными разложениями при отсутствии тепловых потоков, полученными в работах [134], [135].

По аналогии с классической механикой сплошной среды введем понятие упругого потенциала E или плотности энергии в единице собственного объема, который связан с потенциальной энергией упругого сжатия P при помощи соотношения

E=r0* P.

(37.16)

Рассматривая в соотношении (37.11) P как функцию тензора Коши в локальных тетрадах (31.27), имеем

S(kl)=-r*  ¶P ¶C(ab)  ¶C(ab) ¶ai(k) ai(l) = -  2r* r0*  ¶E ¶C(ak) C(al).

(37.17)

Так как мы рассматриваем здесь только изотропные среды, то, как известно из классической теории сплошных сред [44], [129], упругий потенциал можно представить как функцию основных инвариантов какого-либо тензора деформаций, например, тензора Коши. Известно также, что любой симметричный тензор второго ранга может иметь не более трех независимых инвариантов. В частности, основными инвариантами I_k тензора Коши C(ab) будут в согласии со [129] выражения

I1=C(aa),   I2=-  1 2 e(ipq)e(irs)C(pr)C(qs),

I3=  1 6 e(ijk)e(pqr)C(ip)C(jq)C(kr).

(37.18)

Из последнего соотношения вытекают равенства

¶I1 ¶C(ij) =d(ij),     ¶I2 ¶C(ij) =C(ij)- C(kk)d(ij),

¶I3 ¶C(ij) = C(ip)C(pj)-I1C(ij)-I2 d(ij).

(37.19)

Для дальнейших вычислений рассмотрим уравнение Гамильтона-Кэли, справедливое для любого симметричного тензора K(ab), а именно

K(ip)K(pq)K(qj)=K1 K(ip)K(pj)+K2 K(ij)+K3 d(ij),

(37.20)

где K_i - основные инварианты тензора K(ip). В частности, для тензора Коши уравнение Гамильтона-Кэли дает

C(ip)C(pq)C(qj)=I1 C(ip)C(pj)+I2 C(ij)+I3 d(ij).

(37.21)

Умножая обе части равенства (37.21) на обратный тензор Фингера B(jl), определяемый формулой (31.37), получаем

C(ip)C(pl)=I1 C(il)+I2 d(il)+I3 B(il).

(37.22)

Тогда последнее равенство в (37.19) имеет вид

¶I3 ¶C(ij) = I3 B(ij).

(37.23)

Соотношение (37.17) представим в виде

S(kl) = -  2r* r0*  ¶E ¶Ii  ¶Ii ¶C(ak) C(al) = -  2r* r0* й л  ¶E ¶I1 C(kl)+

+  ¶E ¶I2 (C(al)C(ak)-C(nn)C(kl))+I3  ¶E ¶I3 d(kl) щ ы .

(37.24)

Используя (37.21), получим окончательно

S(kl) = -  2r* r0* й л ж и I2  ¶E ¶I2 +I3  ¶E ¶I3 ц ш d(kl)+  ¶E ¶I1 C(kl))+I3  ¶E ¶I2 B(kl) щ ы .

(37.25)

Из последнего соотношения следует, что тензор S(kl) является симметричным. Тензор напряжений в пространстве Минковского сведется к виду

Smn = -  2r* r0* й л ж и I2  ¶E ¶I2 +I3  ¶E ¶I3 ц ш g*mn+  ¶E ¶I1 Cmn+I3  ¶E ¶I2 Bmn щ ы .

(37.26)

Таким образом, тензор энергии-импульса T_mn, полученный из канонического тензора энергии-импульса (37.4), оказался симметричным. Так как S_mnV_n=0, то тензор напряжений имеет лишь шесть независимых компонент.

Рассмотрим переход от упругой среды к идеальной жидкости. В нерелятивистском случае такой переход, как известно из [3], сводится к формальной замене [S\tilde]_ik® - Pd_ik, где P - давление. Поэтому естественным переходом в релятивистском случае от упругого тела к идеальной жидкости будет соотношение

S(kl)=-Pd(kl),

(37.27)

рассмотренное на гиперповерхности нормальной мировым линиям и являющееся поэтому релятивистски инвариантным. Из последнего соотношения следует,что

S(kl)hm(k)hn(l)=Smn=-P g*mn,

(37.28)

Аналогичное соотношение для идеальной жидкости вводится в работе [135]. Выразим тензор напряжений через энергию упругого сжатия

-Smn=P g*mn=r*  ¶P ¶ai(k) ai(l)hn(k)hm(l).

(37.29)

Так как для идеальной жидкости P = P(r^*), то

P g*mn=r*  ¶P ¶r*  ¶r* ¶ai(k) ai(l)hn(k)hm(l).

(37.30)

Выражение (37.9) по аналогии с (37.10) представим в форме

¶r* ¶abn abn =  ¶r* ¶ai(k)  ¶ai(k) ¶abn abm =  ¶r* ¶ai(k) ai(l)hn(k)hm(l).

(37.31)

Используя (37.9), формулу (37.30) можно записать как

Pg*mn=r*2  d P d r* g*mn,

(37.32)

что эквивалентно

P=r*2  d P d r*

(37.33)

или

P = у х  d P r* -  P r* .

(37.34)

Таким образом, тензор энергии-импульса для идеальной жидкости имеет вид

Tmn=(r* c2 +r* P+P)Vm Vn + Pdmn.

(37.35)

Соотношения (37.33-37.35) в точности совпадают с аналогичными выражениями в монографии В. Фока [3]. Отметим, что при выводе (37.33) мы не использовали никаких дополнительных предположений, какие делались при выводе аналогичного соотношения в [3].

Уравнения движения упругой среды получим из законов сохранения (37.5). Используя выражение (37.12), имеем

¶Tmn ¶xn =Vm  ¶ ¶xn (eVn) +eVn  ¶Vm ¶xn -  ¶Smn ¶xn =0.

(37.36)

Умножая последнее соотношение на V_m, получаем выражение

¶ ¶xn (eVn) = -Vm  ¶Smn ¶xn ,

подстановка которого в (37.36) дает

e  d Vm d s =g*ms  ¶Ssn ¶xn .

(37.37)

Последние уравнения представляют собой уравнения движения упругой среды.

Так как при выводе теоремы Нетер использовались "уравнения поля" (36.8), то естественно установить связь их с уравнениями движения. Если в электродинамике уравнениям поля приписывается явный смысл, то в теории упругости их смысл не ясен и поэтому его необходимо выяснить. Используя (37.11), находим

¶Tmn ¶xn =  ¶L ¶xm -  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶yb ¶xe ц ш  ¶yb ¶x m ц ш =

¶L ¶yb  ¶yb ¶xm +  ¶L ¶ ж и  ¶ye ¶xs ц ш  ¶ ¶xm ж и  ¶yb ¶xs ц ш -  ¶L ¶ ж и  ¶yb ¶xn ц ш  ¶ ¶xn ж и  ¶yb ¶xn ц ш -

-  ¶ ¶xe ж и  ¶L ¶ ж и  ¶yb ¶xe ц ш ц ш  ¶yb ¶x m =  ¶yb ¶xm ж и  ¶L ¶yb -  ¶ ¶xn ж и  ¶L ¶ ж и  ¶yb ¶xn ц ш ц ш ц ш ,

(37.38)

или

¶Tmn ¶xn  ¶xm ¶ye =  ¶L ¶ye -  ¶ ¶xn ж и  ¶L ¶ ж и  ¶ye ¶xn ц ш ц ш =0.

(37.39)

Таким образом, "уравнения поля" (36.8) оказались полностью эквивалентными уравнениям движения (37.37), так как оба соотношения могут быть получены из одних и тех же законов сохранения

¶Tmn ¶xn =0.

Пусть преобразование (36.9) соответствует бесконечно малому преобразованию Лоренца, или, что то же самое, бесконечно малому повороту. Как известно, конечное преобразование Лоренца записывается в виде

xmў=Lmўmxm,   LmўmLmўn=dmn,    Lmўm=const.

(30.22)

Рассмотрим бесконечно малые преобразования Лоренца, т.е.

Lme=dme+døme,

(38.1)

где dø_me - бесконечно малые параметры. Из условия ортогональности матриц Лоренца имеем

LmeLms=des+døse+døes+ dømedøms=des.

(38.2)

Из (38.2), пренебрегая вторым порядком малости, имеем

døse=-døes.

(38.3)

Таким образом, соотношение (36.9) можно представить в виде

xўm=xm+dømexe.

(38.4)

С другой стороны, из (36.10) имеем

dxm=dømexe=Xm(gs)dø(gs),   (h® (gs)),

(36.10)

где индекс h заменен на "собирательный" индекс (gs). Здесь скобки, естественно, не являются символом симметрирования. В результате имеем

(Xm(gs)-dmgxs)dø(gs)=0.

(38.5)

Учитывая антисимметрию бесконечно малых преобразований dø_gs и их произвольность, имеем из (38.5), что

Xm(gs)=  1 2 (dmgxs-dmsxg).

(38.6)

Так как при преобразовании координат (38.4) функции поля y^m ведут себя как совокупность скалярных функций, то

yўm(xўg)-ym(xg)=dym=0.

(38.7)

С другой стороны, из (36.12)

dym(xe) = ym(gs) dø(gs)=0.

(38.8)

Из (38.8) следует, что либо y^m_(gs)=y^m_(sg), либо y^m_(gs)=0. Но так как функции поля y^m есть скалярные функции при любых преобразованиях x_e, (а не только при преобразованиях трансляций или поворотов), то из равенства нулю dy^m в (36.12) и произвольности dø_h вытекает, что y^m_h=0, а следовательно и

ym(gs)=0.

(38.9)

Подстановка (38.9) и (38.6) в (36.20) дает

- Q   (gs),e  =TaeXa(gs)=  1 2 (Tgexs- Tsexg).

(38.10)

Введем обозначение

М0(sg),e=Tgexs- Tsexg.

(38.11)

В квантовой теории поля обычно под последней величиной понимается орбитальный момент волнового поля, а под величиной

Ssg,e=  ¶L ¶ ж и  ¶yn ¶xe ц ш yn(sg)

(38.12)

понимается спиновый момент. Их сумма представляет собой полный момент. В нашем случае в силу (38.9) спиновый момент равен нулю, поэтому орбитальный и полный момент совпадают. Из (36.19) вытекает, что должны иметь место соотношения

2 ¶ - Q   (gs),e  ¶xe =  ¶M0(sg),e ¶xe =0,

(38.13)

что эквивалентно следующему выражению, вытекающему из дифференцирования (38.11) и закона сохранения энергии (37.5), а именно

¶M0(sg),e ¶xe =Тgs-Tsg=0.

(38.14)

Как мы доказали ранее, тензор энергии-импульса симметричен, поэтому равенство (38.14) удовлетворяется автоматически и из него имеют место закон сохранения момента количества движения сплошной изотропной упругой среды. Проведя те же самые вычисления, как и при получении выражения (36.21), имеем закон сохранения в виде

- М   0 sg  =-  i c у х (Tg4xs- Ts4xg)d V=const.

(38.15)

Пространственные компоненты [`M]<sup>0</sup><sub>ik</sub> являются релятивистским обобщением закона сохранения момента импульса сплошной среды. Выясним, следуя [7], смысл сохраняющихся компонент [`M]⁰_4i.

- М   0 4i  =x4 ж и -  i c у х (Ti4d V ц ш +  i c у х xi T44d V=const.

(38.16)

В силу (37.6) имеем

x4 Pi+  i c у х xi T44d V=const.

(38.17)

В силу закона сохранения энергии

- у х T44d V=W = const.

(38.18)

Поделив обе части равенства (38.17) на W, получим

x4  Pi W -  i c Ri=const,   Ri є у х xi T44d V у х T44d V .

(38.19)

Здесь R_i есть релятивистское определение центра инерции системы. Дифференцируя (38.19) по времени t, получим с учетом сохранения полного импульса и энергии системы, что

dRi d t = vic=c2  Pi W =const,

(38.20)

т.е. центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью v_i^c.

В классической механике сплошных сред под законом Гука понимают закон, устанавливающий связь между тензорами напряжений и деформаций. Мы попытаемся установить эту связь и в релятивистском случае. Поскольку на некоторой актуальной гиперповерхности, ортогональной мировым линиям, среда покоится, то ее свойства эквивалентны свойствам среды в лагранжевой сопутствующей системе отсчета при классическом рассмотрении. Поэтому все основные выводы классической теории сплошной среды эквивалентны выводам релятивистского рассмотрения сточки зрения гиперповерхностей, нормальных мировым линиям частиц среды. Хотя тензор кривизны таких гиперповерхностей в общем случае отличен от нуля, однако кривизна их зависит не от тензоров деформаций, а от тензоров скоростей деформаций. Таким образом, в рамках СТО кривизна гиперповерхностей не влияет на тензор напряжений упругого тела, зависящий от тензора деформаций.

Как мы отмечали ранее, в силу рассматриваемой нами кинематики, для любого актуального (начального) момента "времени" y⁴=const в каждой точке пространства-времени имеется четыре репера (два ортогональных и два аффинных), а именно:

1. Система {O, x₁, x₂, x₃, x₄} с векторным базисом h_m (30.2), (30.38), g_mn=d_mn, x₄=ict, -dS²=d_mndx_mdx_n выбирается как система отсчета, в которой определяется перемещение или движение ( система наблюдателя).

2. Лагранжева система {M, y^k, [y\dot]⁴} с векторами базиса

¶ ® r   0  ¶yk = ® Ч h   k  ,    ¶ ® r   0  ¶ Ч y   4   = ® Ч h   4  ,

(31.11)

отвечающая положениям точек среды на некоторой начальной гиперповерхности [y\dot]⁴=const. В этой системе образы подвижных точек фиксированы. 4-радиус-вектор [r\vec]₀ соединяет начало координат СО с начальными координатами точек движущейся среды.

3. Лагранжева сопутствующая система {M, y^a с векторами базиса

¶ ® r   ¶ya = ® ^ h   a  ,

(31.12)

отвечающая измененным положениям точек среды на рассматриваемой (актуальной) гиперповерхности y⁴.

4. Эйлерова сопутствующая система, представляющая собой систему тетрад h_m(a), переносимых по Ферми-Уолкеру (30.75).

Дадим определение релятивистски упругого тела, пользуясь аналогией с известным классическим определением из монографии Л.И. Седова [44].

Назовем среду упругой, в которой компоненты тензора напряжений [^S]^ki, (S(ki)) на актуальной гиперповерхности для каждой частицы являются функциями компонент тензора деформаций [^u]_ij, U(ij), компонент метрического тензора данной гиперповерхности [^g]_ij, (d(ij)), температуры [^T] и других физико-химических параметров [^(c)]_i, т.е.

^ S   ij   = ^ f   ij   ( ^ u   kl   , ^ g   kl   , ^ T   , ^ c   i  ),

(39.1)

S(kl)=f(kl)(U(kl),d(kl), ^ T   , ^ c   i  ),

(39.2)

где первая формула соответствует сопутствующей лагранжевой, а вторая - сопутствующей эйлеровой системам отсчета. Так как в настоящей работе мы интересуемся чисто механическими процессами, то в дальнейшем параметры [^T] и [^(c)]_i указывать не будем. Конкретный вид функций [^f]^ij, (f(ij)) может быть различным для различных моделей сплошных сред. Как следует из опыта, напряжения и деформации во многих твердых телах связаны между собой законом Гука. Для малых деформаций, повторяя те же рассуждения, что и в классической теории упругости [44], можно написать

^ S   ij   = ^ A   ijkl   ^ u   kl  ,

(39.3)

S(ij)=A(ijkl)U(kl).

(39.4)

Соотношения (39.3) и (39.4), заданные на актуальной гиперповерхности y⁴=const, назовем релятивистским законом Гука. Все входящие в эти выражения величины, т.е. тензоры напряжений, деформаций и связывающие их коэффициенты, являются совокупностью скалярных функций относительно преобразований Лоренца. Тензоры [^A]^ijkl, A(ijkl) (первый является тензором относительно преобразований лагранжевых переменных y^k, а второй - относительно преобразований триад [h\vec](k)) имеют 81 компоненту, но из-за симметрии тензоров напряжений и деформаций число независимых компонент [^A]^ijkl, A(ijkl) равно 36. Если среда, подчиняемая закону Гука, обладает какими либо свойствами симметрии, то число независимых компонент [^A]^ijkl, A(ijkl) еще сокращается. В частности, для изотропной среды все [^A]^ijkl, A(ijkl) определяются всего двумя параметрами. Релятивистски изотропной средой (по аналогии с классической механикой сплошных сред) назовем такую среду, свойства которой одинаковы по всем направлениям, выбранным на некоторой актуальной гиперповерхности. Дадим более точное математическое определение симметрии и, в частности, изотропии, основываясь на известном классическом определении [44], с той лишь разницей, что все свойства среды мы рассматриваем на гиперповерхностях, ортогональных мировым линиям, в то время как при классическом описании свойства среды задаются в мгновенном состоянии на гиперплоскости t=const. Упругие свойства среды среды задаются с помощью тензоров [^A]^ijkl, A(ijkl).